丁海林

(江蘇市宿遷市鐘吾國(guó)際學(xué)校, 223800)

一、對(duì)開放式變式的認(rèn)知

“例題變式”是圍繞例題中所反映的數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征而進(jìn)行的一系列問題變化,使學(xué)生體會(huì)“變中的不變”．學(xué)生只有掌握了本質(zhì),才能準(zhǔn)確、靈活地應(yīng)用知識(shí)解決問題．“開放式”變式是變式的主動(dòng)權(quán)由“教師變式”轉(zhuǎn)向“學(xué)生變式”,教師只起必要的引導(dǎo)作用,讓學(xué)生成為變式的主體,讓學(xué)生由單純的“聽”轉(zhuǎn)向自己動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口,充分激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)的態(tài)度．總而言之“開放式變式”就是要讓學(xué)生“做數(shù)學(xué),研究數(shù)學(xué)”,這與陶行知先生的“教學(xué)做合一”教育思想是一致的．“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”就是讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)具在思維驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究的活動(dòng),是學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握數(shù)學(xué)、發(fā)展創(chuàng)新能力的重要途徑[1]．

下面筆者以公開課“‘心’動(dòng)之‘路’——探索圓在凸多邊形(圓)外滾動(dòng):圓心的運(yùn)動(dòng)路徑”為例,展示開放式變式的教學(xué)設(shè)計(jì)．

二、教學(xué)過程

1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

(1) 通過做實(shí)驗(yàn),經(jīng)歷從猜想到操作驗(yàn)證的過程．

(2) 強(qiáng)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生設(shè)計(jì)問題、解決問題的意識(shí)．

設(shè)計(jì)說明實(shí)驗(yàn)是最能有效的調(diào)動(dòng)手腦協(xié)做的手段,能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,通過猜想、觀察驗(yàn)證、數(shù)學(xué)解釋、解決問題的過程,發(fā)展了學(xué)生“行”“知”合一的能力．

2.實(shí)驗(yàn)器材

① 用厚度為2mm的亞克力板材制作的不等邊三角形、四邊形各30個(gè)．

② 半徑為1cm、厚度為2mm且圓心處有2mm的圓形窟窿的小圓形亞克力板30個(gè);直徑為10cm、厚度為3mm大圓形亞克力板30個(gè)．

③ 水彩筆30支和8k學(xué)案紙和畫圖操作紙各60張．

設(shè)計(jì)說明將三角形、四邊形設(shè)計(jì)成不等邊的多邊形是為了得到一般性結(jié)論．在實(shí)際操作過程中,為防止小圓形塑料板在滾動(dòng)過程中滑動(dòng),特地把器材上需要接觸的面做成磨砂狀,增加摩擦阻力．

三、教學(xué)過程

1. 憶一憶,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

引入:以蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上第19頁(yè)“做一做(圖略)”中的問題作為引入．同時(shí)讓學(xué)生回憶圓的兩個(gè)基本要素．接著追問“圓片滾動(dòng)過程中,圓心的路徑是什么圖形?”以此來(lái)引入課題——“心”動(dòng)之“路”．

設(shè)計(jì)說明筆者以七年級(jí)上冊(cè)第19頁(yè)的“做一做”中的問題作為開頭,以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn),再追問引導(dǎo)學(xué)生思考,激發(fā)學(xué)生的求知欲,引出本節(jié)課研究的主題．

2.畫一畫,走出思維誤區(qū)

例題如圖1，半徑為1cm的圓在一條長(zhǎng)為20cm的鐵絲上從一端滾動(dòng)到另一端,圓心滾動(dòng)的路徑是什么圖形?路徑長(zhǎng)是多少?

操作提示:

1.將直尺與已知線段AB重合;

2.將圓心有小孔的小圓靠在AB上;

3.將筆頭放在小圓的圓心處的孔里;

4.用筆頭帶動(dòng)小圓在線段AB上滾動(dòng)．

變式如圖2,半徑為1cm的圓O在一條長(zhǎng)為20cm的折線段上運(yùn)動(dòng),∠ACB=120°,圓心滾動(dòng)的路徑是什么圖形?路徑長(zhǎng)是多少?

設(shè)計(jì)說明“例題”教學(xué)中教師用一根鐵絲和一個(gè)圓演示運(yùn)動(dòng)過程,再讓學(xué)生把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型——幾何圖形來(lái)解決問題,強(qiáng)化學(xué)生的建模意識(shí)．在“例題”中學(xué)生畫圖前,出示“操作提示”,以引導(dǎo)學(xué)生正確使用教師準(zhǔn)備好各種實(shí)驗(yàn)工具．“變式”中教師繼續(xù)用“例題”教學(xué)中的那根鐵絲,將鐵絲彎折一次,使鐵絲變成一條折線段(形如圖2中的折線段ACB),以此來(lái)引入“變式”的問題．問題出示后,先讓學(xué)生猜想圓心的路徑(有的學(xué)生說運(yùn)動(dòng)路徑是一條折線),接著為了驗(yàn)證學(xué)生的猜想,再讓學(xué)生以小組合作的方式一起動(dòng)手畫圖驗(yàn)證做法是先用準(zhǔn)備好的模具畫出它的一個(gè)角(如圖2中的∠ACB),保持模具不動(dòng),讓小圓形木片沿著∠ACB的邊從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過點(diǎn)C最后到點(diǎn)B(圓心路徑如圖2中的虛線)．在這個(gè)問題中,關(guān)鍵是在角的頂點(diǎn)附近時(shí)圓心的路徑是什么圖形,此問題的抽象性、動(dòng)態(tài)的復(fù)雜性讓有的學(xué)生不易在靜態(tài)或想象中對(duì)其刻畫,甚至無(wú)從下手,而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以“做”為框架,在教師指導(dǎo)下,通過實(shí)際操作,親身觀察,獲得直觀的數(shù)學(xué)體驗(yàn),積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)過程,所以在猜想討論后,安排了動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)的環(huán)節(jié),讓學(xué)生能夠直觀感受到在整個(gè)過程中圓心的運(yùn)動(dòng)路徑分成兩段線段和一段圓?。麄€(gè)教學(xué)過程讓學(xué)生經(jīng)歷了猜想——討論——驗(yàn)證——解決問題等幾個(gè)主要步驟,讓學(xué)生積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展了學(xué)生的探索知識(shí)的能力．由于有實(shí)驗(yàn)操作的部分,把想象過程轉(zhuǎn)化為可視的實(shí)驗(yàn)活動(dòng),減少了教師的“教”,突出了學(xué)生的“學(xué)”,達(dá)到“知”“行”合一的效果．

3.比一比,探究一般規(guī)律

教學(xué)片段展示

師:我們剛剛研究了圓在線段和角的外部滾動(dòng),圓心的運(yùn)動(dòng)路徑情況．線段和角是我們學(xué)習(xí)過的基本的平面幾何圖形,大家想想看,我們還可以研究圓在什么幾何圖形上運(yùn)動(dòng)呢?

生4:三角形、四邊形、圓．

生5:還有五邊形等任意多邊形,扇形、雙曲線、拋物線．

師:你能將這些圖形分類嗎?你的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么?

生6:可以按圖形的邊是由直的線還是曲線來(lái)分類,我將它們分為三類,第一類是邊是直的線;第二類是邊是曲線;第三類是邊既有曲線又有直的線……

生7:可以按圖形是閉合圖形還是開放圖形來(lái)分類,我將它們分為兩類,第一類是閉合圖形;第二類是非閉合圖形……

師:剛剛兩位同學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)很清晰,分類也很準(zhǔn)確,圓在射線和直線上運(yùn)動(dòng)情況與線段相同,角是構(gòu)成多邊形的基本元素,下面請(qǐng)大家針對(duì)圓在三邊形、四邊形和圓上滾動(dòng)設(shè)計(jì)問題．

學(xué)生變式1如圖3,已知?ABC的周長(zhǎng)是20cm,半徑為1cm的⊙O在?ABC外部,繞三邊滾動(dòng)一周．圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形?路徑長(zhǎng)是多少?

學(xué)生變式2如圖5,已知四邊形的周長(zhǎng)是20cm,半徑為1 cm的⊙O在四邊形外繞四邊滾動(dòng)一周．圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少?

設(shè)計(jì)說明教師在學(xué)生討論交流得到“學(xué)生變式1”和“學(xué)生變式2”后,繼續(xù)用前面演示中彎折過的那根鐵絲,再次彎折一次,使鐵絲圍成一個(gè)封閉圖形——三角形,先讓學(xué)生觀察猜想圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是怎樣的圖形和路徑長(zhǎng)．由于在上一個(gè)活動(dòng)中獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)大部分學(xué)生不難猜想運(yùn)動(dòng)圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形(如圖4),在這個(gè)問題中,重點(diǎn)是要解決圓心在頂點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)路徑——弧長(zhǎng)怎么求,條件中并沒有告訴每個(gè)內(nèi)角的度數(shù),則不能分別得到每段弧的長(zhǎng),所以讓學(xué)生通過猜想、操作驗(yàn)證、討論以及合情推理得到各頂點(diǎn)處的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角之和是360°.接著教師繼續(xù)追問,將條件中的數(shù)字轉(zhuǎn)變?yōu)樽帜?進(jìn)而得到一般規(guī)律“圓心的路徑長(zhǎng)等于三角形的周長(zhǎng)加上滾動(dòng)的圓的周長(zhǎng)”．“學(xué)生變式2”讓學(xué)生先猜想圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少,再畫圖驗(yàn)證、推理說明,教師再用幾何畫板配合展示所有的輔助線(圖6),通過數(shù)形結(jié)合的方式,觀察發(fā)現(xiàn)各頂點(diǎn)處的圓心角和對(duì)應(yīng)內(nèi)角都是互補(bǔ)的關(guān)系．本部分以簡(jiǎn)單的圖形(三角形和四邊形)為例,得到所有頂點(diǎn)處的圓心角之和為360°．由此類推，圓在五邊形、六邊形…任意多邊形，外滾動(dòng)一周圓心角之和都是360°,突破了圓在凸多邊形外滾動(dòng)一周,在各個(gè)頂點(diǎn)處的圓弧正好拼成一個(gè)整圓這樣一個(gè)重大難點(diǎn)．最終總結(jié)出“圓心的路徑長(zhǎng)等于凸多邊形的周長(zhǎng)加上圓的周長(zhǎng)”．整個(gè)過程由特殊到一般,在逐漸深入探討的過程中,抓住問題的共性,進(jìn)而歸納出一般性的結(jié)論,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,順利的提煉出知識(shí)點(diǎn)的核心規(guī)律．

4.變一變,拓寬規(guī)律廣度

學(xué)生變式3當(dāng)半徑為r的⊙O(動(dòng)圓)在另一個(gè)半徑為R的圓(定圓)外部滾動(dòng)一周．動(dòng)圓的圓心運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形?路徑長(zhǎng)是多少?動(dòng)圓的圓心運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與動(dòng)圓周長(zhǎng)和定圓周長(zhǎng)有什么數(shù)量關(guān)系?

設(shè)計(jì)說明本節(jié)課的探索并不滿足于探索圓在凸多邊形外滾動(dòng)圓心的運(yùn)動(dòng)路徑情況,緊接著利用幾何畫板將多邊形的邊數(shù)不斷增加,讓學(xué)生感受多邊形的形狀趨近于圓,自然把問題過渡到圓在圓的外面滾動(dòng)的研究上．問題的設(shè)計(jì)仍由學(xué)生完成,提高了學(xué)生的積極性,也讓學(xué)生把本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際,解決問題的過程中鍛煉了學(xué)生思維的靈活性并加深對(duì)知識(shí)的理解,訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維,鍛煉了學(xué)生思維的發(fā)散性．

5.練一練,強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用

教學(xué)片段展示

師:我們剛剛研究了邊是直的線和邊是圓弧線的圖形,還有扇形、雙曲線、拋物線,其中圓在雙曲線、拋物線上滾動(dòng)超出了我們的能力范圍,在這不做研究．扇形的邊由圓弧線和線段共同構(gòu)成,請(qǐng)大家小組合作,設(shè)計(jì)出由線段和圓弧線構(gòu)成的幾何圖形,并給出一定的數(shù)據(jù)條件及與本節(jié)課相關(guān)的問題．

學(xué)生小組合作交流設(shè)計(jì)出了許多圖形,部分圖形如下:

學(xué)生變式4如圖7,半徑為1的圓在下列各圖外面,分別繞其邊滾動(dòng)一周,分別求出圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少?

設(shè)計(jì)說明教學(xué)的有效性在于授之以“漁”,本題不僅是為了強(qiáng)化對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用,也是為了讓學(xué)生繼續(xù)探索閉合曲線的邊由內(nèi)向外凸出的折線段和圓弧構(gòu)成時(shí),規(guī)律都是適用的．并且強(qiáng)調(diào)本節(jié)課研究的圖形的特點(diǎn)是角和邊是向外“凸”的,學(xué)生也設(shè)計(jì)出了許多凹多邊形,規(guī)律是否還適用,就留給學(xué)生課后繼續(xù)去探索．

四、教學(xué)思考

1.開放式變式使“教”更得法

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式以運(yùn)算和邏輯推理為主,很多時(shí)候?qū)W生需要配合教師的講解進(jìn)行“頭腦風(fēng)暴”式的思維活動(dòng),如果學(xué)生抽象思維能力不夠,就很難跟上節(jié)奏．而通過由學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行“開放式變式”這樣的形式,教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo),合理的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置,配合及時(shí)的“實(shí)驗(yàn)操作”,使晦澀難懂的“抽象”講解轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^形象的“實(shí)物”(學(xué)生畫的運(yùn)動(dòng)路徑)呈現(xiàn)在學(xué)生面前,一方面消除了抽象,另一方面也發(fā)展了學(xué)生的抽象思維．這樣的教學(xué)過程中,教師“教”得輕松,學(xué)生“學(xué)”得容易,不知不覺中提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使“學(xué)”更高效

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為探求或驗(yàn)證某個(gè)數(shù)學(xué)猜想,利用一定的技術(shù)手段,經(jīng)由數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與,在典型的環(huán)境中或特定的條件下進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)[2],能極大地提升學(xué)生科學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng),使學(xué)生“學(xué)”的方式更豐富,也更能發(fā)展學(xué)生的“學(xué)”力和創(chuàng)造精神．做實(shí)驗(yàn)可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的體驗(yàn)與感知．比如本節(jié)課設(shè)計(jì)了多次動(dòng)手操作畫圖,既鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手能力、觀察能力,也使學(xué)生“學(xué)”會(huì)了用實(shí)驗(yàn)來(lái)決問題的思想和方法,使得學(xué)習(xí)的效率更高．

3.“變式+實(shí)驗(yàn)”使“做”更充分

“教學(xué)做合一”是以“做”為中心．開放式例題變式和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的結(jié)合改變了傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式,以學(xué)生“設(shè)計(jì)問題”為主體、“探究活動(dòng)”為載體,學(xué)生通過親自操作,經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程,增強(qiáng)感觀對(duì)本來(lái)抽象知識(shí)的理解,同時(shí)也充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性,發(fā)展了學(xué)生“實(shí)踐創(chuàng)新”這一核心素養(yǎng)．

五、結(jié)束語(yǔ)

陶行知先生要求“教”“學(xué)”“做”有機(jī)的結(jié)合,它們是不可分割的整體,“做”是“教”與“學(xué)”的基礎(chǔ),教師的“教”不僅要教會(huì)學(xué)生知識(shí),更要教會(huì)學(xué)生在“做”中習(xí)得“學(xué)、用、創(chuàng)”的能力．不是“死讀書”而是活“學(xué)”活用,達(dá)到“知行統(tǒng)一”的效果．