許曉娟

(廣東省廣州市增城區(qū)應(yīng)元學(xué)校,511300)

初中幾何既是教師教學(xué)的一大難點(diǎn),也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn).弄清幾何難的原由、研究幾何復(fù)習(xí)策略，對(duì)于攻克“幾何難學(xué)、幾何難教”意義重大.

一、初中幾何難點(diǎn)剖析

1. 輔助線的添加缺乏經(jīng)驗(yàn)

幾何題通常需要通過(guò)添加輔助線達(dá)到完善圖形,以凸顯圖形中線段、角之間關(guān)系的目的.但學(xué)生缺乏基本圖形的識(shí)別以及成功添加相應(yīng)輔助線的經(jīng)驗(yàn).

案例1(2020年天津中考題)如圖1,ABCD的頂點(diǎn)C在等邊?BEF的邊BF上,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,G為DE的中點(diǎn),連結(jié)CG.若AD=3,AB=CF=2,則CG的長(zhǎng)為______.

不少同學(xué)對(duì)此題中的條件“G為DE的中點(diǎn)”無(wú)從下手,甚至有部分同學(xué)連結(jié)了DF后,試圖證出DF垂直于GC的延長(zhǎng)線,學(xué)生有了添加輔助線的意識(shí),但缺乏添加輔助線的方法與技巧.

解法1構(gòu)造倍長(zhǎng)中線解決問(wèn)題

解法2構(gòu)造中位線解決問(wèn)題

案例2(2020年河南中考題)如圖2,在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連結(jié)EC,FD,點(diǎn)G,H分別是EC,FD的中點(diǎn),連結(jié)GH,則GH的長(zhǎng)度為______.

當(dāng)幾何圖形中出現(xiàn)“雙中點(diǎn)”條件時(shí),構(gòu)造中位線往往是首選的輔助線作法．

解如圖3,連結(jié)CH并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)T,連結(jié)ET.

易證?TDH≌?CFH,所以CH=TH,

反思輔助線添加的有效性教學(xué)依賴于教師在講解中講清輔助線添加的緣由,如案例2中遇中點(diǎn)、遇雙中點(diǎn)常見(jiàn)的幾種輔助線添加方法的總結(jié),而不是單純地講解法,及時(shí)總結(jié)輔助線添加經(jīng)驗(yàn),可以讓學(xué)生感受到輔助線添加有跡可循,降低學(xué)生對(duì)添加輔助線的恐懼感.

2.三類語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換存在障礙

初中數(shù)學(xué)的三類語(yǔ)言分別為符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言.符號(hào)語(yǔ)言是一種由數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和經(jīng)過(guò)改造的自然語(yǔ)言組成的科學(xué)語(yǔ)言,具有確定性強(qiáng)、通用性高、簡(jiǎn)潔明晰等特點(diǎn)[1].但與此同時(shí),符號(hào)語(yǔ)言也具有較強(qiáng)的抽象性,這是幾何題成為難題的重要原因.圖形語(yǔ)言是幾何題中的直觀圖形表示,與符號(hào)語(yǔ)言的抽象性不同,圖形語(yǔ)言具體而直觀,但卻需要學(xué)生具有較強(qiáng)的圖形處理能力[2].三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換既需要教師在定理新授課中有意識(shí)地設(shè)計(jì)圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié),又需要學(xué)生在解題中多次規(guī)范書寫訓(xùn)練,才能達(dá)到自然轉(zhuǎn)換的效果.

二、中考幾何復(fù)習(xí)策略分析

1.重視常見(jiàn)幾何模型的滲透應(yīng)用

初中常見(jiàn)的幾何模型如半角模型、手拉手模型、一線三垂直模型、對(duì)角互補(bǔ)模型等等,當(dāng)學(xué)生掌握了這些模型的條件與結(jié)論,并能獨(dú)立證明這些結(jié)論后,學(xué)生在復(fù)雜圖形中能夠快速發(fā)現(xiàn)模型中的基本圖形,運(yùn)用這些模型相應(yīng)的分析思路,便能夠在短時(shí)間內(nèi)找到解決幾何題的突破口.

案例3(2021越秀一模改編)如圖3,在四邊形ABCD中,∠A=∠ADC=90°,AB=AD=10,CD=15,點(diǎn)E,F分別為線段AB,CD上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)EF,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥直線EF,垂足為G.點(diǎn)E從點(diǎn)B向點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)D向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),E,F同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.當(dāng)GE=GD時(shí),求AE的長(zhǎng).

若是能夠抓住DG⊥直線EF,或GE=GD兩個(gè)幾何關(guān)系進(jìn)行思考,可以想到“遇垂直構(gòu)造一線三垂直”以及“遇等邊共頂點(diǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)”.下面對(duì)兩種模型進(jìn)行解析.

依題意得,BE=2t,AE=10-2t，DF=3t.

解法1構(gòu)造一線三垂直模型

如圖3,過(guò)點(diǎn)G作PQ⊥AB于點(diǎn)P,PQ⊥CD于點(diǎn)Q,設(shè)EP=x,易證?GEP≌?DGQ,?EPG∽?GQF,x=t.

解法2等邊共頂點(diǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)

如圖4,連結(jié)AG,將?EGA繞著點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到?DGM,易證點(diǎn)A，D，M三點(diǎn)共線.

過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AD于點(diǎn)N,

易證?DGN∽?FDG.

所以DG2=3t(10-t).

在Rt?DGN中,DG2=t2+(10-t)2,

反思此題也可以連結(jié)DE,得到∠DEG=45°,遇45°構(gòu)造共邊共角型相似也能解答,如圖5,?DEF∽?DNE;此題還可以根據(jù)等邊GE=GD,構(gòu)造一組全等的直角三角形,如圖6,?DGF≌?EGK;從以上解題思路我們發(fā)現(xiàn),通過(guò)圖中一些幾何特征聯(lián)想到相關(guān)模型,添加輔助線構(gòu)造該模型的基本圖形,進(jìn)而利用全等、相似或勾股定理得到變量間的數(shù)量關(guān)系是解決復(fù)雜圖形的基本套路.

2.重視一題多解的合理應(yīng)用

在中考二輪復(fù)習(xí)中,應(yīng)避免題海戰(zhàn)術(shù),用好經(jīng)典例題比無(wú)方向無(wú)重點(diǎn)的題海戰(zhàn)術(shù)更有效益.選好題,用好題,防止單純的就題論題,重點(diǎn)放在揭示思維過(guò)程上,引導(dǎo)學(xué)生多問(wèn)幾個(gè)為什么,力爭(zhēng)從多個(gè)角度切入解題,通過(guò)一題多解鞏固學(xué)生的解題能力,提高學(xué)生解題反應(yīng)靈敏度,并重視題后反思,最后達(dá)到在短時(shí)間內(nèi)提升備考效益的目的.

案例4(2020年廣州中考題)如圖7,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AB=6,BC=8,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC,交AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD,垂足為F,則OE+EF的值為( )

解法1由于本題中點(diǎn)E，F(xiàn)為定點(diǎn),矩形也是確定的,經(jīng)過(guò)測(cè)試,大多數(shù)學(xué)生第一反應(yīng)會(huì)選擇硬算出OE與EF的具體長(zhǎng)度來(lái)得出答案通過(guò)設(shè)DE=x,利用線段數(shù)量關(guān)系或三角形相似表示出其余邊,根據(jù)勾股定理列等式求解出x,最后完成求解可以看出學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)不足,題中給出OE+EF應(yīng)首選整體求值.

解法2在矩形ABCD中,

所以S?AOD=S?AOE+S?DOE

解法3由已知得,OE=AE·sin∠OAE,EF=DE·sin∠EDF.

在矩形ABCD中,AC=10,OA=OD,所以∠OAE=∠EDF.

OE+EF=(AE+DE)·sin∠OAE

3.重視一般性幾何結(jié)論的拓展證明

4.重視一類問(wèn)題的解決策略研究

中考復(fù)習(xí)是一次系統(tǒng)梳理知識(shí)的過(guò)程,不是逐個(gè)知識(shí)點(diǎn)的重現(xiàn)與鞏固尤其是中考二輪復(fù)習(xí)主要為專題復(fù)習(xí),應(yīng)以橫向?yàn)橹?對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理、歸納、糅合,及時(shí)總結(jié)一類問(wèn)題的解題策略.

解法1遇45°作高構(gòu)造等腰直角三角形

解法2遇45°作正方形構(gòu)造半角模型

如圖11,在線段BC上取點(diǎn)G,使得BG=BA=2,構(gòu)造正方形ABGH,則點(diǎn)H恰好在線段AD上,GH交AF于點(diǎn)K.

由正方形中半角模型結(jié)論可知,BE+HK=EK(此處證明忽略).

設(shè)HK=x則EK=1+x，GK=2-x,EG=2-1=1.

四、 結(jié)束語(yǔ)

幾何教學(xué)的三個(gè)關(guān)鍵詞可概括為作圖、思路、邏輯.幾何教學(xué)應(yīng)從學(xué)生最初接觸幾何圖形開始,有目的地訓(xùn)練學(xué)生的作圖能力,通過(guò)一題多解、多解歸一訓(xùn)練學(xué)生幾何問(wèn)題解決的發(fā)散性思維.最后通過(guò)反思某一類問(wèn)題的常見(jiàn)解決策略提高學(xué)生的邏輯推理能力,及時(shí)滲透幾何模型,積累解題經(jīng)驗(yàn),并輔助以信息技術(shù)演示,提高學(xué)生的直觀想象能力,從而達(dá)到教會(huì)學(xué)生研究幾何圖形的基本思路和探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法的目標(biāo).