張師超, 李佳燁

(1.廣西師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院, 廣西 桂林 541004; 2.中南大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院, 湖南 長沙 410083)

當(dāng)前，人工智能迎來了第3次發(fā)展熱潮，主要?dú)w功于大數(shù)據(jù)資源的利用需求增長和深度學(xué)習(xí)技術(shù)的突破[1]。嚴(yán)格地說，AlphaGo展現(xiàn)出的對人類棋手棋譜歸納學(xué)習(xí)能力，給人一種智慧革命的震撼[2-3]。所以，這次熱潮是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)為主的機(jī)器學(xué)習(xí)獲得快速發(fā)展的一次機(jī)遇，是人工智能引導(dǎo)工業(yè)革命的一次期盼，也是人工智能自身再突破發(fā)展的又一次起航[4]。

深度學(xué)習(xí)現(xiàn)在幾乎是機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)挖掘的代名詞，近幾年發(fā)表在相關(guān)會(huì)議和期刊上的研究成果幾乎是清一色的深度學(xué)習(xí)改良與應(yīng)用。比如，Albawi等[5]指出卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在圖像處理和自然語言處理等領(lǐng)域表現(xiàn)十分出色，取得了驚人的結(jié)果。Zhang等[6]提出異構(gòu)圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具體地，首先引入一種帶重啟的隨機(jī)游走策略來為每個(gè)節(jié)點(diǎn)采樣固定大小的強(qiáng)相關(guān)異構(gòu)鄰居，并根據(jù)節(jié)點(diǎn)類型對它們進(jìn)行分組；然后，設(shè)計(jì)一個(gè)包含2個(gè)模塊的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)體系結(jié)構(gòu)，以聚集這些采樣相鄰節(jié)點(diǎn)的特征信息；最后，利用一個(gè)圖上下文丟失和一個(gè)小批量梯度下降過程以端到端的方式訓(xùn)練模型。苗旭鵬等[7]利用圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將計(jì)算圖的子圖優(yōu)化建模成經(jīng)典的子圖匹配問題，并估計(jì)每種子圖替換規(guī)則的可行性。黃春等[8]為深度學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)了批處理分塊矩陣乘法。其實(shí)，AlphaGo的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)涵蓋了人工智能的核心基礎(chǔ)領(lǐng)域：知識表示、推理、機(jī)器學(xué)習(xí)和知識庫[9-13]。眾所周知，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種經(jīng)典的知識表示方法，通過神經(jīng)元從仿生學(xué)角度模擬人類的智能行為[14-15]。深度學(xué)習(xí)擴(kuò)展了傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表示能力，增加了隱藏層次，執(zhí)行特征學(xué)習(xí)[16-17]。Zhang等[18]提出數(shù)據(jù)的超類表示，改進(jìn)了推薦算法運(yùn)行效率，提高了推薦的速度。Yue等[19]利用矩陣表示對區(qū)間值直覺模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行改進(jìn)，提高了最終真值的計(jì)算效率。Moroz[20]提出一個(gè)知識表示的概念模型，把知識表示為一種活躍的智力物質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上研究在組織實(shí)踐中單獨(dú)或集體產(chǎn)生的知識轉(zhuǎn)化過程的形而上學(xué)。該方法被應(yīng)用到感知行為模型，它可以考慮機(jī)器人在其路徑上遇到障礙物時(shí)可能出現(xiàn)的行為場景。Huang等[21]提出一種耦合本體和規(guī)則的知識表示方法，使用語義Web技術(shù)來豐富機(jī)器可讀的方式，并正式表示地理可視化知識。除此之外，它還開發(fā)了一個(gè)原型系統(tǒng)來推斷出相應(yīng)的幾何圖形，以便在不同條件下進(jìn)行可視化。可見，人工智能的核心基礎(chǔ)問題依然是知識表示。

本文介紹一種知識表示方法——矩陣表示，稱為知識矩陣表示。該方法利用矩陣的強(qiáng)大表示能力，將知識的某種關(guān)系表示成矩陣并定義相應(yīng)演算。例如，在時(shí)態(tài)推理中，Allen[22-23]定義了時(shí)間區(qū)間的代數(shù)理論，為時(shí)間區(qū)間關(guān)系演算奠定了基礎(chǔ)。其實(shí)，時(shí)間區(qū)間關(guān)系可以采用矩陣方法表示，是一個(gè)5×5的矩陣[24]，時(shí)態(tài)關(guān)系演算與傳播可以通過矩陣計(jì)算獲得[25-26]。本文將重點(diǎn)描述時(shí)間區(qū)間關(guān)系的矩陣表示方法，同時(shí)，也闡述另外2種知識的矩陣表示方法：不確定性規(guī)則的矩陣表示和訓(xùn)練樣本關(guān)系的矩陣表示。這3種矩陣表示方法針對不同的應(yīng)用且是相互獨(dú)立的，但它們都巧妙地改進(jìn)了相應(yīng)的算法。具體地，時(shí)間區(qū)間關(guān)系的矩陣表示把時(shí)間區(qū)間關(guān)系轉(zhuǎn)化成矩陣表示，這樣，時(shí)態(tài)關(guān)系的演算和傳播就可以通過矩陣計(jì)算來進(jìn)行了，可以有效提高時(shí)間區(qū)間關(guān)系的計(jì)算效率；不確定性規(guī)則的矩陣表示把不確定規(guī)則轉(zhuǎn)化成一個(gè)條件概率矩陣，并利用該矩陣建立一個(gè)計(jì)算公式，以此來提高不確定性推理的效率；訓(xùn)練樣本關(guān)系的矩陣表示可以把訓(xùn)練樣本和測試樣本之間的關(guān)系存儲(chǔ)到矩陣中，在KNN中，通過該矩陣表示可以得到測試數(shù)據(jù)的K值和K個(gè)近鄰，這使得KNN懶惰學(xué)習(xí)的部分被數(shù)學(xué)模型化，從而提高了KNN中尋找測試數(shù)據(jù)K近鄰的效率。從這3種類型的知識矩陣表示可以看出，矩陣具有強(qiáng)大的表達(dá)能力，期待在更多領(lǐng)域中獲得推廣應(yīng)用。

1 時(shí)間區(qū)間關(guān)系的矩陣表示

時(shí)態(tài)推理是一門研究含有時(shí)態(tài)詞的命題及其推理形式的學(xué)科，其核心問題是時(shí)態(tài)關(guān)系演算[22-23]。最簡單的時(shí)態(tài)命題是一個(gè)命題P附加一個(gè)時(shí)間區(qū)間I，即命題P在時(shí)間I期間為真。所以，時(shí)態(tài)關(guān)系演算通常被看成是區(qū)間關(guān)系演算[22]，Allen[22-23]定義了時(shí)間區(qū)間的13種關(guān)系，見表1。

表1 Allen的13種時(shí)間區(qū)間關(guān)系與符號約定

1983年，Allen[22]不僅定義了時(shí)間區(qū)間的13種基本關(guān)系，也定義了復(fù)合關(guān)系表。2018年全國科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì)公布的計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)名詞中，艾倫區(qū)間代數(shù)(Allen’s interval algebra)就是其中之一。

1.1 時(shí)態(tài)矩陣表示

Allen區(qū)間代數(shù)的基本元素：時(shí)間區(qū)間I的2個(gè)端點(diǎn)值。其實(shí)，I可以被看成是時(shí)間軸的一個(gè)劃分，分成5個(gè)部分：區(qū)間的左邊IL、左端點(diǎn)I-、內(nèi)部I1、右端點(diǎn)I+、右邊IR。則13種時(shí)間區(qū)間的關(guān)系可以被重新描述，如表2所示。

表2 13種時(shí)間區(qū)間關(guān)系的簡化說明

根據(jù)上述劃分，文獻(xiàn)[24]將2個(gè)時(shí)間區(qū)間X和Y之間的關(guān)系表示為矩陣，

(1)

式中X*·Y#∈{0,1}，*,#∈{L,-,1,+,R}。X*·Y#=1，當(dāng)且僅當(dāng)X*和Y#的交集是非空的，否則,X*·Y#=0。

時(shí)間區(qū)間X和Y的13種關(guān)系可以分別被表示成如下矩陣：

總結(jié)以上時(shí)間區(qū)間之間的關(guān)系，如表3所示。

表3 時(shí)間區(qū)間X和Y的13種關(guān)系的矩陣表示對應(yīng)

1.2 時(shí)態(tài)關(guān)系演算

定義1給定3個(gè)時(shí)間區(qū)間A、B和C,操作?和⊕定義如下：

1)B!·C%?A*·B@∈{0,1},且B!·C%?A*·B@=1，如果B!·C%=1且A*·B@=1。否則B!·C%?A*·B@=0。

2)B!·C%⊕A*·B@∈{0,1}，且B!·C%⊕A*·B@=1，如果B!·C%=1或者A*·B@=1。否則B!·C%⊕A*·B@=0。

式中：!,%,*，@∈{L,-,1,+，R}；?是邏輯“與”運(yùn)算；⊕是邏輯“或”運(yùn)算。

接下來，為了利用上面的矩陣更好地表示時(shí)間區(qū)間關(guān)系，定義矩陣的?和⊕操作。

定義2給定3個(gè)時(shí)間區(qū)間A、B和C,MA,B=(da,b)5×5和MB,C=(eb,c)5×5是時(shí)態(tài)關(guān)系矩陣，矩陣的操作?和⊕定義如下：

MA,C=MB,C?MA,B=((eb,1?d1,b)⊕(eb,2?d2,b)⊕…⊕(eb,5?d1,5))5×5，

NA,C=MA,B⊕MB,C=(da,b)5×5⊕(eb,c)5×5=(da,b⊕eb,c)5×5。

例如，讓A

(2)

因?yàn)镸i⊕MA,C=MA,C(i= 2, 4, 6, 7, 9)及Mi⊕MA,C≠M(fèi)A,C(i= 1, 3, 5, 8, 10, 11, 12, 13)，所以，A和C之間的關(guān)系可能是{>,mi,oi,f,d}之一。

Zhang等[24]提出的時(shí)態(tài)推理方法巧妙地把時(shí)間區(qū)間關(guān)系用一個(gè)矩陣表示，并根據(jù)矩陣構(gòu)建了合適的時(shí)態(tài)推理規(guī)則，是一個(gè)很大的改進(jìn)。時(shí)態(tài)關(guān)系演算在矩陣表示中就是矩陣計(jì)算：

Ma=M1⊕M2⊕…⊕M13；Mb=M1⊕M3⊕M5⊕M9⊕M11；

Mc=M2⊕M4⊕M6⊕M7⊕M9；Md=M2⊕M4⊕M6⊕M9⊕M11；

Me=M7⊕M8⊕M13；Mf=M5⊕M9⊕M11；

Mg=M1⊕M3⊕M5⊕M9⊕M10；Mh=M11⊕M12⊕M13；

Mi=M6⊕M7⊕M9；Mj=M5⊕M7⊕M9⊕M11；

Mk=M6⊕M10⊕M11；Ml=M1⊕M3⊕M5；

Mm=M5⊕M6⊕M7⊕M8⊕M9⊕M10⊕M11⊕M12⊕M13；

Mn=M5⊕M7⊕M10；Mo=M2⊕M4⊕M6；

Mp=M7⊕M8⊕M13；Mq=M11⊕M12⊕M13。

(3)

1.3 時(shí)態(tài)關(guān)系傳播

13種時(shí)態(tài)關(guān)系的傳播可以用表4來描述。

表4 13種時(shí)態(tài)關(guān)系傳播

時(shí)態(tài)關(guān)系傳播例子：

(M3⊙M4)⊙M3=(M4?M3)⊙M3=Me⊙M3=

(M7⊕M8⊕M13)⊙M3=(M7⊙M3)⊕(M8⊙M3)⊕(M13⊙M3)=

(M3?M7)⊕(M3?M8)⊕(M3?M13)=M3⊕M3⊕M3=M3。

(4)

2 不確定性規(guī)則的矩陣表示

給定一個(gè)規(guī)則X→Y對應(yīng)的關(guān)系矩陣，

MY|X=p(y|x)=p(Y=y|X=x)=[p(yj|xi)]m×n,

式中：p(yj|xi)=p(Y=yj|X=xi)是Y=yj的條件概率；X∈{x1,x2,…,xm}；Y∈{y1,y2,…,yn}。給定X=a=(p(a1),p(a2),…,p(am))，則能夠通過式(5)得到Y(jié)=b=(p(b1),p(b2),…,p(bn))。

b=aMY|X。

(5)

式(5)是貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中著名的概率傳播[27-28]，其中MY|X是一個(gè)條件概率矩陣，它的第i行表示所有的事件Y在xi發(fā)生的條件下發(fā)生的概率，第j列表示第j個(gè)事件yj在X發(fā)生的條件下發(fā)生的概率，每一個(gè)元素p(yj|xi)表示第j個(gè)事件yj在xi發(fā)生的條件下發(fā)生的概率。本章的目的是尋找一個(gè)新的近似傳播方法來替代式(5)[29]，具體地，如以下4點(diǎn)：

1) 編碼向量a為一個(gè)整數(shù)EX(a)。

2) 編碼向量b為一個(gè)整數(shù)EY(b)，其中b=aMY|X。

按照矩陣表示模型，需要構(gòu)造以下形式的多項(xiàng)式函數(shù)，

(6)

不失一般性，假設(shè)n=2，即得到公式(7)，

(7)

接下來，首先對EX和EY進(jìn)行編碼。

定義3設(shè)R(X)={x1,x2,…,xk}，X的狀態(tài)空間為

編碼器EX被定義為

EX(p1,p2,…,pk)=10dp1+102dp2+…+10kdpk。

(8)

式中d>0是一個(gè)正整數(shù)。如果被要求的小數(shù)位數(shù)為r，則d=r+1，否則d=n+1。

理論 1以上的編碼器，即式(8)，是一對一映射的。

證明歸謬法。讓(p1,p2,…,pk)的編碼等于(p′1,p′2,…,p′k)的編碼，即，

EX(p1,p2,…,pk)=EX(p′1,p′2,…,p′k)。

(9)

假設(shè)當(dāng)i=j1,j2,…,jm時(shí)，pi-p′i≠0，其中j1

(10)

(11)

加入系數(shù)之后，進(jìn)一步得到

(12)

因?yàn)閖m-1

(13)

與之前的假設(shè)相矛盾，因此編碼器EX()是一對一映射的。證畢。

bi=(INT(F(a)/10(i-1)d)-INT(F(a)/10id)×10d)/10d。

(14)

式中i=1,2,…,m，INT()是取整函數(shù)。為了確保概率和為1的性質(zhì)，最終結(jié)果如下：

b1=max{0,1-(b2+b3+…+bm)}；bi=bi/(b1+b2+b3+…+bm),ifb2+b3+…+bm>1。

(15)

在計(jì)算模型中，假設(shè)因計(jì)算誤差導(dǎo)致僅p(y1)的概率被改變，解碼時(shí)設(shè)置b1=max{0,1-(b2+b3+…+bm)}。

(16)

利用式(16)分別對k2、k1和k0求偏導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，得到：

(17)

(18)

(19)

通過求解，可以得到k2、k1和k0的值如下：

(20)

(21)

(22)

式中：

3 樣本關(guān)系的矩陣表示

作為十大數(shù)據(jù)挖掘算法之一的KNN分類，被廣泛應(yīng)用于文本分類、模式識別和圖像處理等領(lǐng)域[30-32]。它的核心思想是，尋找到測試樣本的K個(gè)近鄰并把近鄰樣本的多數(shù)標(biāo)簽作為測試樣本的預(yù)測標(biāo)簽。其中，尋找測試樣本的K個(gè)近鄰(測試樣本與訓(xùn)練樣本之間的關(guān)系)至關(guān)重要，影響著算法的最終預(yù)測準(zhǔn)確性。

本章利用矩陣表示的方法來構(gòu)建測試數(shù)據(jù)和訓(xùn)練數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。給定一個(gè)包含n個(gè)訓(xùn)練樣本的數(shù)據(jù)矩陣X∈Rn×d，m個(gè)測試樣本的數(shù)據(jù)矩陣Y∈Rm×d，構(gòu)建式(23)所示的目標(biāo)函數(shù)來進(jìn)行矩陣表示下的一步KNN：

(23)

(24)

式(24)中W∈R6×5，它表示了5個(gè)測試數(shù)據(jù)和6個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。在矩陣W的第1列中，第3、4、5個(gè)位置的元素為零，即表明與第1個(gè)測試數(shù)據(jù)關(guān)系最近的訓(xùn)練樣本是第1、2、6個(gè)訓(xùn)練樣本，且它的最佳K值為3。相似地，對于第2個(gè)測試數(shù)據(jù)，它的近鄰是第1、2、3、5個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，它的最佳K值為4；對于第3個(gè)測試數(shù)據(jù)，它的近鄰是第2、3、4個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，它的最佳K值為3；對于第4個(gè)測試數(shù)據(jù)，它的近鄰是第1、4、5、6個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，它的最佳K值4；對于第5個(gè)測試數(shù)據(jù)，它的近鄰是第2、3、6個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，它的最佳K值是3。

通過以上目標(biāo)函數(shù)，可以把KNN算法通過矩陣表示的一步計(jì)算來進(jìn)行。即，通過式(24)的矩陣表示計(jì)算，可以得到所有測試數(shù)據(jù)的最佳K值和對應(yīng)的K個(gè)近鄰。接下來，需要對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，以得到最終的W值。

3.1 優(yōu)化

在這一節(jié)中，對所提出的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。首先通過定理1可以對式(23)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

定理 1公式(23)等價(jià)于

(25)

式中θ可以由式(26)得到，

(26)

(27)

通過求解式(28)來得到θ的最優(yōu)解，

(28)

進(jìn)一步得到θ的最優(yōu)解為

(29)

由式(29)，式(28)可以寫成

(30)

因此，式(23)可以重新寫為

(31)

當(dāng)α=0時(shí)，式(31)可以看成是Group lasso。在Group lasso中，所有的樣本被分組，每一組中的樣本都是相似度很高的。組與組之間的樣本是相似度很低的。它用l1-范數(shù)對組內(nèi)進(jìn)行稀疏，用l2-范數(shù)對組間進(jìn)行不稀疏。這樣可以有效地從所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)中選出測試數(shù)據(jù)的近鄰樣本，并得到最佳K值。

式(31)等價(jià)于

(32)

式中Q和F都是對角矩陣，它們的對角線元素為：

(33)

(34)

(35)

(36)

下面給出算法的偽代碼。

算法 1一步KNN算法。

輸入：訓(xùn)練樣本X∈Rn×d，訓(xùn)練數(shù)據(jù)的標(biāo)簽Xlabel∈R1×n，測試數(shù)據(jù)Y∈Rm×d，可調(diào)參數(shù)α和β；

輸出：測試數(shù)據(jù)的類標(biāo)簽。

1.初始化t=0；

2.隨機(jī)初始化矩陣W(0)；

3.利用余弦相似函數(shù)或模糊C均值聚類對數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，從而構(gòu)建IGg；

4.do{

4.1 通過式(34)計(jì)算F(t+1)；

4.2 通過式(33)計(jì)算Q(t+1)；

4.3 通過式(36)計(jì)算W(t+1)；

4.4 更新t=t+1；}

5. while (式(23)收斂)

如上述偽代碼所示，在算法中，本節(jié)采用交替迭代優(yōu)化的方法來求解W，即固定一個(gè)變量去求解其他變量的方法。當(dāng)W被隨機(jī)初始化之后，可以利用W中的值來計(jì)算出F和Q矩陣，然后根據(jù)式(36)計(jì)算出新的W矩陣，不斷迭代，直到式(23)收斂，從而獲得最終的W矩陣。

3.2 收斂性分析

為了證明所提出的目標(biāo)函數(shù)是收斂的，首先引入下面的引理和推論[33]。

引理1對于任何2個(gè)非負(fù)向量a∈Rd×1和b∈Rd×1，以下式子成立：

(37)

推論1根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式，可以得到

(38)

因此，可以得到

(39)

接下來，證明目標(biāo)函數(shù)式(32)的值在每次迭代中是單調(diào)遞減的，即目標(biāo)函數(shù)是收斂的。通過設(shè)置W在第t次迭代的值為W(t)，式(32)可以寫成

(40)

進(jìn)一步，可以得到如下式子：

(41)

根據(jù)引理1，可得：

(42)

由式(41)和式(42)可得：

(43)

至此，可以證明所提出的目標(biāo)函數(shù)是收斂的。

在這一節(jié)中，KNN分類可以被分為3步：1)利用距離函數(shù)或相似性計(jì)算函數(shù)來得到測試數(shù)據(jù)與所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)的距離；2)根據(jù)這些距離，選取離測試數(shù)據(jù)最近的K個(gè)近鄰；3)根據(jù)K個(gè)近鄰的類標(biāo)簽來獲取測試數(shù)據(jù)的標(biāo)簽。而用樣本關(guān)系的矩陣表示可以把前2步合并為一步，如式(24)所示，矩陣W中記錄著訓(xùn)練數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)的相似性和它的K個(gè)近鄰的索引信息。

4 未來工作展望

本文主要從3方面介紹知識矩陣表示，即：時(shí)態(tài)推理中的區(qū)間關(guān)系；產(chǎn)生式規(guī)則的相互關(guān)系；KNN的近鄰尋找和K值計(jì)算。矩陣表示在這3個(gè)方向上都簡化了算法的過程，使其從知識表示的根本上改進(jìn)了相應(yīng)算法。但是在這3方面仍然具有一些挑戰(zhàn)：

1)高維數(shù)據(jù)帶來的挑戰(zhàn)。在人工智能時(shí)代，隨著數(shù)據(jù)的海量增長，各行各業(yè)的數(shù)據(jù)維度都在不斷增長，從而帶來“維度災(zāi)難”，這給人工智能算法帶來巨大的挑戰(zhàn)[34-35]。因此，本文所提出的知識矩陣表示方法也面臨這樣的挑戰(zhàn)，比如，在KNN算法中，本文雖然巧妙地把它的近鄰尋找和K值計(jì)算轉(zhuǎn)化成了矩陣表示下的矩陣計(jì)算，但是它仍然面臨高維數(shù)據(jù)的挑戰(zhàn)。因?yàn)殡S著數(shù)據(jù)維度的增加，KNN算法的分類性能是先增后減的，當(dāng)維度增加到一定程度時(shí)，它的性能會(huì)不斷下降。另一方面，隨著數(shù)據(jù)維度的增加，測試數(shù)據(jù)的最近鄰和最遠(yuǎn)鄰距離的區(qū)分度越來越低，這已在文獻(xiàn)[36]中得到證明。

2)噪聲和缺失數(shù)據(jù)帶來的挑戰(zhàn)。數(shù)據(jù)在收集或采集過程中往往會(huì)產(chǎn)生噪聲，比如高斯噪聲和白噪聲，這些噪聲都會(huì)對算法的性能帶來一定影響[37-38]。除了噪聲，數(shù)據(jù)中也可能存在缺失值[39-40]。如何處理數(shù)據(jù)中的噪聲和缺失值是十分重要的。比如，在有缺失值的數(shù)據(jù)中，矩陣表示的形式就需要發(fā)生改變：①可以先對缺失值進(jìn)行填充，然后再用矩陣表示；②改進(jìn)矩陣表示方法，直接表示含有缺失值的數(shù)據(jù)，并應(yīng)用于后續(xù)的數(shù)據(jù)挖掘任務(wù)。

除了以上2點(diǎn)存在于矩陣表示的問題之外，還可以擴(kuò)寬矩陣表示的范圍，即，矩陣表示不局限于本文提到的3個(gè)方向。比如：從矩陣表示下深度學(xué)習(xí)模型、矩陣表示下的隨機(jī)森林算法和矩陣表示下的關(guān)聯(lián)規(guī)則模型等方向進(jìn)行一系列的研究。當(dāng)然，知識矩陣表示的演算方法不固定，它需要針對具體內(nèi)容的具體問題來定義。

綜上所述，未來的研究可著眼于2方面的工作：①從降維、去噪和缺失值填充等方面去改進(jìn)本文所提出的知識矩陣表示方法；②把知識矩陣表示應(yīng)用到其他方向中，針對不同的模型定義不同的矩陣表示方法。