三維微分系統(tǒng)的極限環(huán)與等時(shí)中心

2022-10-19 05:05黃文韜古結(jié)平王勤龍

廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 2022年5期

黃文韜，古結(jié)平，王勤龍

(1.廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林 541006； 2.廣西職業(yè)師范學(xué)院教育學(xué)院，廣西南寧 530007；3.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西桂林 541004)

近百年來(lái)，常微分方程定性理論得到迅速發(fā)展, 已在無(wú)線電技術(shù)、天體力學(xué)、航空工程、自動(dòng)控制、生物學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，同時(shí)應(yīng)用技術(shù)的發(fā)展也反過(guò)來(lái)促進(jìn)微分方程定性理論的發(fā)展。微分動(dòng)力系統(tǒng)的極限環(huán)分支和等時(shí)中心問(wèn)題是微分方程定性理論中相互關(guān)聯(lián)的經(jīng)典問(wèn)題，其研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

微分系統(tǒng)的極限環(huán)研究來(lái)自實(shí)踐，許多應(yīng)用學(xué)科如物理學(xué)、力學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、電子學(xué)和金融學(xué)等領(lǐng)域都可能出現(xiàn)極限環(huán)現(xiàn)象，極限環(huán)在非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究中扮演著非常重要的角色。極限環(huán)是世界著名數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincaré)[1]19世紀(jì)后期最先發(fā)現(xiàn)，隨后的進(jìn)一步發(fā)展受著名的Hilbert 23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的第16問(wèn)題[2]所推動(dòng)，成為微分方程定性理論研究的主要問(wèn)題之一。然而，Hilbert第16問(wèn)題自1900年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)提出后，至今仍未解決，對(duì)于簡(jiǎn)單的平面二次系統(tǒng)的極限環(huán)最大個(gè)數(shù)及其位置分布問(wèn)題仍是開放問(wèn)題。關(guān)于平面微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支研究，國(guó)內(nèi)外已產(chǎn)生豐富的研究成果，可參看綜述文獻(xiàn)[3-4]。

中心-焦點(diǎn)問(wèn)題(Poincaré中心問(wèn)題)與極限環(huán)分支研究緊密相連，解決以上2個(gè)問(wèn)題都涉及焦點(diǎn)量或Lyapunov常數(shù)的計(jì)算。對(duì)經(jīng)典中心問(wèn)題，很多工作已經(jīng)完成，見文獻(xiàn)[5-7]及其中的參考文獻(xiàn)。如果一個(gè)系統(tǒng)的奇點(diǎn)是中心(奇點(diǎn)附近的所有解都是周期性的)，那么自然產(chǎn)生的問(wèn)題是中心點(diǎn)附近的所有解是否具有相同的周期，這就是等時(shí)中心問(wèn)題，其研究不僅是微分方程定性理論中的一個(gè)重要領(lǐng)域，而且在實(shí)際中也有應(yīng)用[8]。等時(shí)中心問(wèn)題的第一個(gè)非線性例子，最早可追溯到1673年荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯(Huygens)所設(shè)計(jì)的旋輪擺鐘[9]。然而等時(shí)中心問(wèn)題的研究直到20世紀(jì)下半葉才開始引起重視，并出現(xiàn)大量研究成果，例如文獻(xiàn)[10-13]及文中的參考文獻(xiàn)。

在實(shí)際中，微分方程所描述的數(shù)學(xué)模型的維數(shù)往往會(huì)大于2[14]，因此，對(duì)三維甚至更高維系統(tǒng)的極限環(huán)分支和等時(shí)中心問(wèn)題的研究也很重要。當(dāng)極限環(huán)分支和等時(shí)中心研究從平面微分系統(tǒng)擴(kuò)展到n維系統(tǒng)(n≥3)，系統(tǒng)復(fù)雜性和定性分析難度相較于二維系統(tǒng)都有很大提升，奇點(diǎn)鄰域內(nèi)所具有的極限環(huán)最大個(gè)數(shù)與中心等時(shí)性問(wèn)題將會(huì)變得更具有挑戰(zhàn)性，這是因?yàn)楦呔S向量場(chǎng)中不僅可能存在極限環(huán)分支行為，而且可能有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，例如混沌[15]。

近幾十年來(lái)，計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展給微分方程定性理論研究帶來(lái)十分便捷的工具，特別是符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)的出現(xiàn)與推廣極大促進(jìn)了極限環(huán)分支和等時(shí)中心的研究，一些三維系統(tǒng)甚至高維系統(tǒng)在不變曲面上的極限環(huán)分支與等時(shí)中心問(wèn)題開始得到探索。本文將針對(duì)三維光滑系統(tǒng)，如Lotka-Volterra系統(tǒng)，Lorenz、Chen和Lü系統(tǒng)以及三維分片光滑系統(tǒng)，介紹其極限環(huán)分支與等時(shí)中心的一些研究進(jìn)展。

1 不變曲面上具有Hopf分支的三維多項(xiàng)式系統(tǒng)

對(duì)于三維多項(xiàng)式實(shí)系統(tǒng)

(1)

式中Pn(x,y,z)、Qn(x,y,z)和Rn(x,y,z)是n次多項(xiàng)式函數(shù)。若系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)(0,0,0)有1個(gè)孤立的Hopf奇點(diǎn)，即系統(tǒng)(1)在奇點(diǎn)(0,0,0)的線性化矩陣有一對(duì)純虛特征值和一個(gè)實(shí)特征值，則系統(tǒng)(1)可以通過(guò)一個(gè)坐標(biāo)變換與時(shí)間尺度變換轉(zhuǎn)化為如下形式的三維多項(xiàng)式系統(tǒng)

(2)

式中x、y、z、λ∈R,P(x,y,z)、Q(x,y,z)和R(x,y,z)是次數(shù)至少為2的多項(xiàng)式函數(shù)，且P(0,0,0)=Q(0,0,0)=R(0,0,0)=0。通常極限環(huán)定義在二維平面上，而對(duì)三維或更高維系統(tǒng)的Hopf分支(當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)在奇點(diǎn)附近產(chǎn)生極限環(huán)的現(xiàn)象)問(wèn)題，往往需要限制在一個(gè)二維不變流形上討論，如此便可將平面極限環(huán)的定義和Poincaré-Bendixson定理等推廣到三維或更高維系統(tǒng)。

目前，對(duì)于一般三維多項(xiàng)式光滑系統(tǒng)的極限環(huán)和等時(shí)中心研究主要集中于二次系統(tǒng)，而且關(guān)于極限環(huán)的大部分結(jié)果屬于擾動(dòng)細(xì)焦點(diǎn)情形，有少量結(jié)果是擾動(dòng)中心情形，下面介紹相關(guān)成果。

2010年，Wang等[16]研究如下形式的三維非線性動(dòng)力系統(tǒng)在中心流形上的Hopf分支問(wèn)題

(3)

式中x、y、u、d、Akjl、Bkjl、dkjl∈R(k、j、l∈N)。給出一種與逐項(xiàng)待定中心流形過(guò)程同步計(jì)算系統(tǒng)(3)在中心流形上分支點(diǎn)的奇點(diǎn)量遞推算法，證明奇點(diǎn)量和對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)量之間的代數(shù)等價(jià)關(guān)系。作為方法的應(yīng)用，該文同時(shí)考慮如下三維三次多項(xiàng)式系統(tǒng)的例子

(4)

式中δ、d>0、Akjl、Bkjl、Dkjl∈R。利用奇點(diǎn)量遞推算法計(jì)算得到系統(tǒng)(4)的前5階奇點(diǎn)量，獲得5個(gè)小振幅極限環(huán)圍繞單一奇點(diǎn)的結(jié)果。該算法省掉了傳統(tǒng)方法中需要降維和計(jì)算中心流形的過(guò)程，并且是遞推的，避免復(fù)雜積分運(yùn)算和解方程，便于在計(jì)算機(jī)代數(shù)軟件上編程實(shí)現(xiàn)。這種不需計(jì)算中心流形而直接得到高維系統(tǒng)焦點(diǎn)量的方法還有Tian等[17]和Romanovskic等[18]給出的方法。文獻(xiàn)[17]的方法還可以求三維以上系統(tǒng)的焦點(diǎn)量與周期常數(shù)，但出現(xiàn)多層求和運(yùn)算，計(jì)算較復(fù)雜。

2014年，Tian等[19]考慮如下三維二次系統(tǒng)在中心流形上的多重Hopf分支問(wèn)題

(5)

式中α、β>0且aij、bij、cij(i,j=1,2,3)為參數(shù)。系統(tǒng)(5)的前2個(gè)方程采用Bautin方程形式(任何具有圍繞奇點(diǎn)的周期軌道的二次系統(tǒng)都可通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換得到這一形式)。顯然，對(duì)任意參數(shù)值，原點(diǎn)都是系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)，且當(dāng)α=0時(shí)，原點(diǎn)為Hopf臨界點(diǎn)?？紤]a13=a23=a33=b13=b23=b12=c11=c22=c23=0,β=b11=c12=1情形，得到如下最簡(jiǎn)三維二次系統(tǒng)

(6)

通過(guò)系統(tǒng)(6)焦點(diǎn)量的計(jì)算，證明了以下極限環(huán)分支結(jié)果(定理1)。

定理 1[19]系統(tǒng)(5)的參數(shù)a11、a12、a22、b33、c33、c13為任意非零常數(shù)，則至少有7個(gè)小振幅極限環(huán)圍繞系統(tǒng)(5)的原點(diǎn)。

對(duì)比Bautin[20]1952年獲得平面二次向量場(chǎng)從單個(gè)初等焦點(diǎn)或初等中心可分支出3個(gè)小振幅極限環(huán)的結(jié)果，定理1證明了三維二次向量場(chǎng)從單個(gè)平衡點(diǎn)可分支出比3個(gè)更多的極限環(huán)，獲得二次向量場(chǎng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的一個(gè)新下界。

上述系統(tǒng)(4)、(5)考慮從單一細(xì)焦點(diǎn)分支出極限環(huán)的情形。對(duì)中心的情形，2015年，Yu等[21]也研究系統(tǒng)(5)的極限環(huán)個(gè)數(shù)，不同的是，取系統(tǒng)(5)的系數(shù)為α=a33=a13=a23=b33=b13=b23=c11=c22=c13=c23=0,β=b11=c12=c33=1,a22=-a11，得到一個(gè)具有中心類型奇點(diǎn)的三維二次系統(tǒng)，添加二次擾動(dòng)項(xiàng)，獲得如下擾動(dòng)系統(tǒng)

(7)

式中0<ε?1是擾動(dòng)參數(shù)。當(dāng)ε=0時(shí)，根據(jù)Bautin[20]的結(jié)論，系統(tǒng)(7)限制在中心流形上的原點(diǎn)是一個(gè)中心。當(dāng)ε≠0時(shí)，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)(7)的參數(shù)進(jìn)行微擾，得到定理2。

定理 2[21]通過(guò)適當(dāng)選擇擾動(dòng)參數(shù)aij0、bij0、cij0以及系統(tǒng)系數(shù)a11、a12, 系統(tǒng)(7)至少有10個(gè)小振幅極限環(huán)從原點(diǎn)分支出來(lái)。

相比前面通過(guò)擾動(dòng)三維二次系統(tǒng)(5)的細(xì)焦點(diǎn)而得到的7個(gè)小振幅極限環(huán)的結(jié)果，定理2獲得的10個(gè)極限環(huán)從數(shù)目上更進(jìn)一步。

最近，Sánchez等[22]考慮二次、三次、四次和五次系統(tǒng)(2)|λ=1限制在中心流形上的中心環(huán)性數(shù)問(wèn)題，得到定理3～6。

定理 3[22]二次系統(tǒng)

在原點(diǎn)處有一個(gè)中心，在完全二次擾動(dòng)下，該系統(tǒng)存在11個(gè)極限環(huán)。

定理 4[22]三次系統(tǒng)

在原點(diǎn)處有一個(gè)中心，在完全三次擾動(dòng)下，系統(tǒng)存在31個(gè)小振幅極限環(huán)。

定理 5[22]四次系統(tǒng)

在原點(diǎn)處有一個(gè)中心，在完全四次擾動(dòng)下，系統(tǒng)存在54個(gè)小振幅極限環(huán)。

定理 6[22]五次系統(tǒng)

在原點(diǎn)處有一個(gè)中心，其中f(x,y)=(1-x-y)(1+2x-y)，且在完全五次擾動(dòng)下，該系統(tǒng)存在92個(gè)極限環(huán)。

文獻(xiàn)[22]獲得的極限環(huán)結(jié)果采用并行運(yùn)算方法來(lái)計(jì)算Lyapunov常數(shù)。另外，定理3得到的11個(gè)極限環(huán)結(jié)果是目前關(guān)于三維二次系統(tǒng)從單一奇點(diǎn)分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的最好結(jié)果。除了擾動(dòng)系統(tǒng)單一奇點(diǎn)產(chǎn)生極限環(huán)的結(jié)果，還有學(xué)者研究系統(tǒng)對(duì)稱奇點(diǎn)產(chǎn)生極限環(huán)的問(wèn)題。2014年，Du等[23]利用文獻(xiàn)[16]所給奇點(diǎn)量方法,研究如下三維二次系統(tǒng)的極限環(huán)問(wèn)題

(8)

式中A、B、C為實(shí)參數(shù)。系統(tǒng)(8)中將變量x變?yōu)?x是不變的，因此位于一個(gè)對(duì)稱向量場(chǎng)上，稱為“YOU”對(duì)稱(系統(tǒng)關(guān)于“y-o-u”平面對(duì)稱)。顯然，系統(tǒng)(8)有2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)(1,1,1)和(-1,1,1)。這2個(gè)奇點(diǎn)在三維向量場(chǎng)中具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因此只需研究其中一個(gè)奇點(diǎn)的Hopf分支。運(yùn)用文獻(xiàn)[16]提出的奇點(diǎn)量方法，利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)計(jì)算，得到奇點(diǎn)(1,1,1)的前4階奇點(diǎn)量，給出定理7。

定理 7[23]系統(tǒng)(8)的奇點(diǎn)(1,1,1)成為一個(gè)4階細(xì)焦點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立

基于定理7中細(xì)焦點(diǎn)階數(shù)條件，得到定理8。

定理 8[23]假設(shè)系統(tǒng)(8)的奇點(diǎn)(1,1,1)是一個(gè)4階細(xì)焦點(diǎn)，則在一定參數(shù)擾動(dòng)條件下，系統(tǒng)(8)的奇點(diǎn)(1,1,1)能分支出4個(gè)極限環(huán)，其中2個(gè)極限環(huán)是穩(wěn)定的。相應(yīng)地，系統(tǒng)(8)一共能分支出8個(gè)極限環(huán)，其中4個(gè)極限環(huán)是穩(wěn)定的。

2016年，Du等[24]研究如下三維二次對(duì)稱系統(tǒng)的Hopf分支問(wèn)題

(9)

式中：B1、B2、C1、C2是實(shí)參數(shù)，δ是充分小的實(shí)參數(shù)，且系統(tǒng)(9)|δ=0“YOU”對(duì)稱。當(dāng)δ=0時(shí)，點(diǎn)(1,0,1)和(-1,0,1)是系統(tǒng)的2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)。運(yùn)用文獻(xiàn)[16]方法計(jì)算系統(tǒng)(9)|δ=0奇點(diǎn)(1,0,1)的前5階Lyapunov常數(shù)，得到定理9～10。

定理 9[24]系統(tǒng)(9)|δ=0的奇點(diǎn)(1,0,1)成為一個(gè)5階細(xì)焦點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立

式中m3、m4是關(guān)于C1、C2的表達(dá)式。

定理 10[24]在一定參數(shù)擾動(dòng)條件下，系統(tǒng)(9)的奇點(diǎn)(1,0,1)能分支出5個(gè)極限環(huán)，其中3個(gè)是穩(wěn)定環(huán)，而且系統(tǒng)(9)一共能分支出10個(gè)極限環(huán)，其中6個(gè)是穩(wěn)定環(huán)。

Guo等[25]2018年考慮如下系統(tǒng)

(10)

(11)

式中系數(shù)Aij、Bij、Cij是實(shí)參數(shù), 系統(tǒng)(10)的奇點(diǎn)(1,0,0)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(11)的原點(diǎn)。運(yùn)用規(guī)范形方法計(jì)算得到系統(tǒng)原點(diǎn)的前4階焦點(diǎn)量表達(dá)式。進(jìn)一步，運(yùn)用結(jié)式與行列式方法證明以下定理11，獲得三維二次系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的一個(gè)新下界。

眾所周知，運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件模擬3個(gè)以上極限環(huán)很困難。模擬m(m≥3)個(gè)極限環(huán)的難點(diǎn)主要在于如何適當(dāng)?shù)貜呐R界點(diǎn)選擇參數(shù)擾動(dòng)，使截?cái)嗟囊?guī)范形具有m個(gè)正實(shí)根。若擾動(dòng)可以逐步進(jìn)行，并且每一步擾動(dòng)一個(gè)參數(shù)，那么這個(gè)過(guò)程仍然很簡(jiǎn)單。然而，如果規(guī)范形的多項(xiàng)式方程是耦合的，那么要找到合適的擾動(dòng)非常具有挑戰(zhàn)性。文獻(xiàn)[25]給出一種模擬4個(gè)極限環(huán)的方法，模擬結(jié)果與定理11的結(jié)論一致。

2019年，Guo等[26]受文獻(xiàn)[24]啟發(fā)，考慮如下三維二次系統(tǒng)在中心流形上的極限環(huán)問(wèn)題

(12)

式中a1、b1、b2、b3、c1、c2、c3是實(shí)參數(shù)，滿足a1>0,b3>0,c3>0,|δ|?1。顯然系統(tǒng)(12)也是“YOU”對(duì)稱的，具有2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)(1,0,1)和(-1,0,1)。為減少系統(tǒng)(12)參數(shù)，引入如下尺度變換

系統(tǒng)(12)變?yōu)槿缦孪到y(tǒng)

(13)

系統(tǒng)(13)相比系統(tǒng)(12)減少2個(gè)參數(shù)，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的定性分析難度。對(duì)系統(tǒng)(13)再引入變換

x=y1+1,y=x1,u=u1+1,

則轉(zhuǎn)換為如下系統(tǒng)

(14)

利用規(guī)范形理論，文獻(xiàn)[26]證明定理12，是目前關(guān)于三維二次對(duì)稱系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的最好結(jié)果。

定理 12[26]系統(tǒng)(12)有12個(gè)呈6-6分布的極限環(huán)圍繞2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)(1,0,1)和(-1,0,1)。

在此基礎(chǔ)上，Guo等[26]找到系統(tǒng)(14)的一個(gè)全局中心流形，解決了系統(tǒng)(12)的中心問(wèn)題。

定理 13[26]對(duì)系統(tǒng)(14)|δ=0，當(dāng)C2=0時(shí)，?！胾1=0是系統(tǒng)的一個(gè)不變代數(shù)曲面(定義了全局中心流形)，且原點(diǎn)是限制于該中心流形上的中心(即當(dāng)C2=0時(shí)，系統(tǒng)(12)|δ=0的臨界點(diǎn)(1,0,1)和(-1,0,1)是中心)。

如果一個(gè)系統(tǒng)的奇點(diǎn)是中心(奇點(diǎn)附近的所有解都是周期性的)，那么自然產(chǎn)生的問(wèn)題是中心點(diǎn)附近的所有解是否具有相同的周期，這就是等時(shí)中心問(wèn)題。Guo等[26]在求得系統(tǒng)(14)的一個(gè)中心流形,得到系統(tǒng)的中心條件后，繼續(xù)考慮等時(shí)中心問(wèn)題。通過(guò)將中心流形代入三維系統(tǒng)降為平面系統(tǒng)，再利用平面系統(tǒng)周期常數(shù)的計(jì)算方法以及尋找線性化變換，文獻(xiàn)[26]證明系統(tǒng)(14)的以下2組等時(shí)中心條件。

定理 14[26]對(duì)系統(tǒng)(14)，假設(shè)δ=0且C2=0，則：

值得一提的是，Guo等還給出中心與極限環(huán)的數(shù)值模擬結(jié)果，進(jìn)一步說(shuō)明前面得到結(jié)果的正確性。在模擬三維微分系統(tǒng)的中心和極限環(huán)方面，由于技術(shù)上的困難，目前相關(guān)結(jié)果很少。

2021年，Li等[27]研究如下對(duì)稱三維二次系統(tǒng)的極限環(huán)和可積性問(wèn)題

(15)

式中b6、b7、b8、c2、c4、c6、c8是實(shí)參數(shù)；(0,0,0)和(-2,0,0)是系統(tǒng)(15)的2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)。系統(tǒng)(15)的可積性條件在定理15中給出。

定理 15[27]系統(tǒng)(15)在原點(diǎn)鄰域有一個(gè)解析的局部首次積分當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立

⑤b8=0。

在定理15可積性條件基礎(chǔ)上，作者研究了系統(tǒng)(15)中心的環(huán)性數(shù)問(wèn)題，得到定理16。

定理 16[27]對(duì)于定理15中給定的條件①、②、③、④、⑤，系統(tǒng)(15)原點(diǎn)的環(huán)性數(shù)分別為2、5、4、4、1。

由于系統(tǒng)(15)的對(duì)稱性，對(duì)系統(tǒng)的奇點(diǎn)(-2,0,0)也有相同的可積性與極限環(huán)結(jié)論。

關(guān)于三維光滑多項(xiàng)式微分系統(tǒng)在中心流形上的等時(shí)中心問(wèn)題(可線性化問(wèn)題)，Edneral等[28]2012年考慮如下三維微分系統(tǒng)

(16)

在中心流形上的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，利用形式級(jí)數(shù)法解決了系統(tǒng)(16)在中心流形上的中心-焦點(diǎn)判定問(wèn)題，找到了中心流形上的如下5組中心條件：

①S=0;

②a=b=c+f=8c+T2-U2=4(e-d)-T2U2=2(e+d)+TU=0,S=1;

③a=b=c=f=d+e=0,S=1;

④d+e=c=f=T-2a=U-2b=0,S=1;

⑤c=d=e=f=0,S=1。

(17)

(18)

的等時(shí)中心問(wèn)題。他們首先求出系統(tǒng)的一個(gè)中心流形u2+v2-w=0，把三維系統(tǒng)(18)降維到平面系統(tǒng)，再用平面動(dòng)力系統(tǒng)的方法研究三維系統(tǒng)在中心流形上的等時(shí)中心問(wèn)題，證明得到系統(tǒng)(18)原點(diǎn)在中心流形上成為等時(shí)中心的2組充分必要條件，即定理17。

定理 17[29]系統(tǒng)(18)是可線性化的當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立

①a01b10+b11=b10=a11-b11=0;

②a01b10+b11=a01=a11-b11=0。

式中：a11=d；a01=-b+ia；b11=d；b10=-b-ia。

2013年，Romanovski等[30]繼續(xù)研究系統(tǒng)(16)在其余4個(gè)中心條件下的中心等時(shí)性問(wèn)題，給出以下等時(shí)中心和臨界周期分支結(jié)果(定理18～21)。

定理 18[30]當(dāng)中心條件(17)中的①滿足時(shí)，系統(tǒng)(16)有1個(gè)等時(shí)中心當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0，且系統(tǒng)(16)的中心沒(méi)有臨界周期分支。

定理 19[30]當(dāng)中心條件(17)中的②滿足時(shí)，系統(tǒng)(16)有1個(gè)等時(shí)中心當(dāng)且僅當(dāng)α=β=0，且系統(tǒng)(16)的中心沒(méi)有臨界周期分支。

定理 20[30]當(dāng)中心條件(17)中的③滿足時(shí)，系統(tǒng)(16)有1個(gè)等時(shí)中心當(dāng)且僅當(dāng)d=0，且系統(tǒng)(16)的中心沒(méi)有臨界周期分支。

定理 21[30]當(dāng)中心條件(17)中的④滿足時(shí)，在微小擾動(dòng)下，從系統(tǒng)(16)在中心流形上的中心至多能分支出一個(gè)臨界周期，且能擾動(dòng)出1個(gè)臨界周期。

2013年，Hu等[31]考慮如下具有3個(gè)不變平面的三維多項(xiàng)式系統(tǒng)的可積性與可線性化問(wèn)題

(19)

借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的符號(hào)計(jì)算，找到系統(tǒng)(19)的12組可積性條件和12組可線性化條件，通過(guò)構(gòu)造系統(tǒng)(19)的達(dá)布(Darboux)積分因子和雅可比(Jacobi)積分因子，證明可積性條件的充分性，利用達(dá)布可線性化理論證明系統(tǒng)(19)的12組可線性化條件。

2019年，Wang等[32]給出一種不需要計(jì)算三維系統(tǒng)的中心流形，直接找出等時(shí)中心條件的方法。他們定義了三維多項(xiàng)式系統(tǒng)(3)的等時(shí)常數(shù)并給出遞推算法，同時(shí)考慮如下Moon-Rand系統(tǒng)

(20)

和一類復(fù)三維二次系統(tǒng)

(21)

在中心流形上的等時(shí)中心問(wèn)題作為方法的應(yīng)用。利用三維系統(tǒng)等時(shí)常數(shù)遞推算法找出系統(tǒng)(20)、(21)的等時(shí)中心條件，運(yùn)用待定Darboux不變曲線或曲面方法，找到線性化變換，證明條件的充分性。

定理 22[32]系統(tǒng)(20)的原點(diǎn)是一個(gè)等時(shí)中心當(dāng)且僅當(dāng)c1=c2=c3=0。

定理 23[32]系統(tǒng)(21)的原點(diǎn)是一個(gè)等時(shí)中心當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立

①b1=b2=0; ②a1=a2=0; ③b1=a2=0; ④a2=-a1,b1=-b2。

在三維光滑對(duì)稱系統(tǒng)的等時(shí)中心研究方面， Li等[33]研究如下三維對(duì)稱二次系統(tǒng)在中心流形上的等時(shí)中心問(wèn)題

(22)

式中b6、b8、c2、c4、c6、c7、c8是實(shí)參數(shù)。顯然系統(tǒng)(22)的2個(gè)奇點(diǎn)A(-2,0,0)和B(0,0,0)關(guān)于平面x=-1對(duì)稱，屬于“YOU”對(duì)稱型。按c7=0和c7=1兩種情形研究系統(tǒng)(22)在中心流形上的可線性化問(wèn)題，定理24、25。

定理 24[33]具有c7=0的系統(tǒng)(22)在中心流形上是可線性化的當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立

③b8=b6-2=0;

此外，在每一種情況下，系統(tǒng)(22)在中心流形上都是可線性化的。

定理 25[33]具有c7=1的系統(tǒng)(22)在中心流形上是可線性化的當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立

③b8=b6-2=0;

2 三維Lotka-Volterra系統(tǒng)

近幾十年來(lái)，在許多生物系統(tǒng)中已經(jīng)研究了極限環(huán)問(wèn)題[34-35]，比較著名的例子就是三維Lotka-Volterra (LV)系統(tǒng)。本章將介紹三維LV系統(tǒng)在中心流形上的極限環(huán)分支和等時(shí)中心研究成果?？紤]如下形式的三維LV系統(tǒng)

(23)

這是三維二次系統(tǒng)的特殊情形，該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)具有重要的生物學(xué)意義[34]。當(dāng)ri>0,aij>0(i,j=1,2,3)時(shí)，系統(tǒng)(23)稱為三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)，描述的是3個(gè)物種之間共享和爭(zhēng)奪同一資源、棲息地或領(lǐng)土的關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)(23)共有8個(gè)平衡點(diǎn)，包括原點(diǎn)、1個(gè)正平衡點(diǎn)、3個(gè)軸向平衡點(diǎn)和3個(gè)平面平衡點(diǎn)。考慮到其生物學(xué)意義，一般研究正平衡點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)(23)的正平衡點(diǎn)為(1,1,1)。

眾所周知，二維LV系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)極限環(huán)分支現(xiàn)象[36]，而對(duì)于一般三維LV系統(tǒng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)其存在復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，例如倍周期混沌路徑[37]。1979年，Coste等[38]首次證明三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)極限環(huán)的存在性。之后，在Hirsch定理[39]的基礎(chǔ)上，Zeeman[40]1993年給出三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的33種穩(wěn)定等價(jià)類，并證明只有其中6類(第26～31類)能夠產(chǎn)生極限環(huán)，且僅第27類可能有異宿環(huán)。剩余27類系統(tǒng)的緊極限集都是不動(dòng)點(diǎn)，因此，這些類下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為已得到充分描述。第26～31類LV系統(tǒng)能有多少個(gè)極限環(huán)的問(wèn)題，吸引了眾多學(xué)者的研究興趣，目前已取得一些成果，主要集中于三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)，有少部分結(jié)果是關(guān)于三維LV非競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的極限環(huán)研究。

作變換ui=xi-1,i=1,2,3，系統(tǒng)(23)可轉(zhuǎn)化為

(24)

記系統(tǒng)(24)在原點(diǎn)(0,0,0)的Jacobian矩陣為 -A，稱A為相互作用矩陣。1994年，Hofbauer等[41]給出1個(gè)第27類的三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)例子，該系統(tǒng)的相互作用矩陣為

其中μ=71/48=1.479 666…。該系統(tǒng)存在1個(gè)亞臨界的Hopf分支：第1個(gè)焦點(diǎn)量是正的。作者證明了這類系統(tǒng)至少存在2個(gè)極限環(huán)，其中一個(gè)是通過(guò)Hopf分支產(chǎn)生的小振幅極限環(huán)，另一個(gè)是由于異宿環(huán)的存在，運(yùn)用Poincaré-Bendixson定理證明得到的大環(huán)。同時(shí)他們還提出猜想1。

猜想 1[41]對(duì)于三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)(23)，在單形(carrying simplex)邊界上的異宿環(huán)情形下，下列條件等價(jià)于系統(tǒng)有一個(gè)中心：

① 在正平衡點(diǎn)有一對(duì)純虛特征值；

② 第1個(gè)焦點(diǎn)量為零；

③ 異宿環(huán)是中性穩(wěn)定的，此外，條件③可以被條件④取代；

④ 第2個(gè)焦點(diǎn)量為零。

注Carrying simplex是系統(tǒng)(23)的一個(gè)不變流形，即它與二維單形同胚，且吸引除原點(diǎn)之外的所有軌道。

2000年，Xiao等[42]證明對(duì)于沒(méi)有任何異宿環(huán)的三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)，其所分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)有限，即定理26。

定理 26[42]存在平衡點(diǎn)E(1,1,1)的一個(gè)小鄰域，使得在這個(gè)鄰域內(nèi)方程(23)的極限環(huán)個(gè)數(shù)是有限的，即方程(23)在E(1,1,1)周圍不可能存在無(wú)窮多個(gè)極限環(huán)。

此外，文獻(xiàn)[42]還討論如下1個(gè)屬于第27類的三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

(25)

式中ε1和ε2是小參數(shù)。類似文獻(xiàn)[41]中例子，系統(tǒng)(25)至少存在2個(gè)極限環(huán)，其中一個(gè)是由Hopf分支產(chǎn)生的小振幅極限環(huán)，另一個(gè)是由于系統(tǒng)存在一個(gè)異宿環(huán)，運(yùn)用Poincaré-Bendixson定理證明得到的大環(huán)。

2002年，Lu等[43]考慮如下三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

(26)

式中aij<0且1=(1,1,1)是系統(tǒng)(26)唯一的正平衡點(diǎn)。這個(gè)系統(tǒng)可寫成向量形式

(27)

(28)

det(A)=(A11+A22+A33)tr(A)<0,

(29)

式中A11=a22a33-a23a32,A22=a11a33-a13a31,A33=a11a22-a12a21。他們分別給出了第26～29類的三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)例子，即在系統(tǒng)(28)中分別取

式中參數(shù)μ分別取

使得矩陣A滿足式(29)。文獻(xiàn)[43]證明這些系統(tǒng)都至少存在2個(gè)極限環(huán)，其中第27類系統(tǒng)有一個(gè)異宿環(huán)。緊接著，Lu等[44]考慮1個(gè)具有如下相互作用矩陣A的第27類系統(tǒng)

其中μ=-117/8-(633/640)λ，證明這個(gè)系統(tǒng)存在3個(gè)極限環(huán)，其中2個(gè)是通過(guò)Hopf分支產(chǎn)生的小振幅極限環(huán)，第3個(gè)大極限環(huán)是由于異宿環(huán)的存在性，運(yùn)用Poincaré-Bendixson定理證明得到。

2006年，Gyllenberg等[45]考慮如下1個(gè)第29類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

(30)

式中

這里μ和λ是正參數(shù)，且μ=148 137 475/100 576 964-(11 422 593/100 576 964)λ，證明三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)(30)存在3個(gè)小振幅極限環(huán)。2009年，Gyllenberg等[46]構(gòu)造了1個(gè)第27類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

(31)

其中

這里μ、λ和n是負(fù)參數(shù)，且μ=-3(-312+11λn)/(50n)。文獻(xiàn)[46]證明了三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)(31)存在4個(gè)極限環(huán)，其中1個(gè)是由于系統(tǒng)存在一個(gè)異宿環(huán)，運(yùn)用Poincaré-Bendixson定理證明得到的大環(huán)，剩余3個(gè)是通過(guò)Hopf分支產(chǎn)生的小振幅極限環(huán)。

前面已提到的第27類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的極限環(huán)成果中，Lu等[44]和Gyllenberg等[46]通過(guò)構(gòu)造第27類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)，分別證明3個(gè)和4個(gè)極限環(huán)的存在性，這些結(jié)果反駁了Hofbauer和So在1994年提出的猜想1，同時(shí)Gyllenberg等還在文獻(xiàn)[46]中提出一個(gè)新猜想。

猜想 2[46]

(ⅰ)三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)(31)至少有5個(gè)極限環(huán)。

(ⅱ)對(duì)系統(tǒng)(31)，在carrying simplex邊界上存在異宿環(huán)的情形下，猜想1條件①、②、④和

⑤ 第3個(gè)焦點(diǎn)量為零，

不能推導(dǎo)出條件③。特別地，條件①、②、④和⑤不會(huì)意味著正平衡點(diǎn)是一個(gè)中心。

(ⅲ)對(duì)系統(tǒng)(31)，在carrying simplex邊界上存在異宿環(huán)的情形下，條件①、②、③和④不能推出條件⑤。特別的，條件①、②、③和④不會(huì)意味著正平衡點(diǎn)是一個(gè)中心。

在第30、31類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)問(wèn)題研究方面，相關(guān)研究成果很少。直到2009年，Gyllenberg等[47]給出2個(gè)屬于第30、31類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的例子，即在系統(tǒng)(31)中分別取相互作用矩陣為

這里μ和λ是負(fù)參數(shù)，且

文獻(xiàn)[47]證明這2個(gè)系統(tǒng)都至少存在2個(gè)極限環(huán)，其中一個(gè)極限環(huán)是通過(guò)Hopf分支產(chǎn)生的小振幅極限環(huán)，另一個(gè)極限環(huán)是由異宿環(huán)的存在性，以及運(yùn)用Poincaré-Bendixson定理證明得到的大環(huán)。

2011年， Wang等[48]考慮具有如下相互作用矩陣A的三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

式中λ、μ、h、n是負(fù)參數(shù)，且

利用奇點(diǎn)量方法和Poincaré-Bendixson定理研究第26～31類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的極限環(huán)分支問(wèn)題，證明第26～31類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)至少存在3個(gè)小振幅極限環(huán)。特別地，第27～29類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)有4個(gè)極限環(huán)，其中第29類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)，目前仍是最好結(jié)果。

2016年，Yu等[49]對(duì)第26、27類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的極限環(huán)問(wèn)題進(jìn)行探索，構(gòu)造2個(gè)具有如下相互作用矩陣A的第27類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

式中pi>0，i=1,2,3,4。通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的焦點(diǎn)量，證明這2個(gè)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)Hopf分支至少可產(chǎn)生4個(gè)小振幅極限環(huán)，此外還證明了Gyllenberg等[46]所提出猜想2中的(ii)和(iii)。另外，還構(gòu)造了2個(gè)具有如下相互作用矩陣A的第26類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

其中pi>0,i=1,2,3,4。同樣通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的焦點(diǎn)量，證明這2個(gè)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)Hopf分支至少可產(chǎn)生4個(gè)小振幅極限環(huán)，這是目前第26、27類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)從單一奇點(diǎn)分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的最好結(jié)果。

到目前為止，已發(fā)現(xiàn)第26～31類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的極限環(huán)最大個(gè)數(shù)是4。然而，第26～31類三維LV競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)最多有幾個(gè)極限環(huán)仍然是一個(gè)開放問(wèn)題。

非競(jìng)爭(zhēng)性的三維LV系統(tǒng)的極限環(huán)研究比較少，Wang等[50]2011年構(gòu)造1個(gè)具有如下相互作用矩陣A的三維LV非競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

(32)

其中μ=hλ。利用奇點(diǎn)量方法，得到定理27、28。

定理 27[50]系統(tǒng)(32)的平衡點(diǎn)E(1,1,1)是一個(gè)4階細(xì)焦點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)n=(h+2ω2)/h，h=2ω2(1-6ω2)/(ω2-1)，且ω=ω0≈0.321 8。

定理 28[50]若定理27的條件成立，則從系統(tǒng)(32)的平衡點(diǎn)E(1,1,1)能分支出4個(gè)極限環(huán)。

最近，Wang等[51]考慮1個(gè)具有如下相互作用矩陣A的三維LV非競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

(33)

式中：n、h、s、v、λ是實(shí)數(shù)；v=-ω2-hn；λ=s/h,hs<0。文獻(xiàn)[50]證明該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)E(1,1,1)最多能分支出5個(gè)極限環(huán)，這是目前關(guān)于三維LV系統(tǒng)從單一奇點(diǎn)分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的最好結(jié)果。

在三維LV系統(tǒng)的等時(shí)中心或可線性化問(wèn)題研究方面，近幾年有一些成果。2012年，Aziz等[52]分別考慮原點(diǎn)是(1∶-1∶1)、(2∶-1∶1)和(1∶-2∶1)共振臨界點(diǎn)的三維LV系統(tǒng)

(34)

的可積性和可線性化問(wèn)題。通過(guò)逐一分析這3種共振情形，分別得到系統(tǒng)(34)的7組、11組和25組可積性條件。在此基礎(chǔ)上，分別證明系統(tǒng)(34)存在10組、13組和23組可線性化條件。

2019年，Aziz[53]研究如下三維LV系統(tǒng)在原點(diǎn)的局部可積性和可線性化問(wèn)題

(35)

式中(λ∶μ∶v)=(1∶3∶-1)。首先給出系統(tǒng)(35)在原點(diǎn)處可積的15組條件，在此基礎(chǔ)上，得到系統(tǒng)(35)的16組可線性化條件。

最近，Aziz等[54]研究三維LV系統(tǒng)

(36)

在原點(diǎn)的局部可積性和可線性化問(wèn)題。利用Darboux方法證明系統(tǒng)(36)在原點(diǎn)處可積，并給出20組可積性條件，在此基礎(chǔ)上得到系統(tǒng)(36)的20組可線性化條件。

3 Lorenz、Chen和Lü系統(tǒng)

1963年，荷蘭氣象學(xué)家洛倫茲(Lorenz)[55]在研究大氣中熱流體對(duì)流時(shí)引入如下著名的Lorenz系統(tǒng)

(37)

式中σ和ρ分別是Prandtl數(shù)和Rayleigh數(shù)，b是對(duì)流圓柱體的縱橫比。Lorenz系統(tǒng)形式簡(jiǎn)潔，但蘊(yùn)含豐富的動(dòng)力學(xué)行為，由于涉及長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題，吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注。Lorenz系統(tǒng)在變換(x,y,z)→(-x,-y,z)下不變，對(duì)所有參數(shù)(ρ,σ,b)，原點(diǎn)是系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)。此外，當(dāng)b(ρ-1)>0時(shí)，系統(tǒng)還存在一對(duì)非平凡的孤立對(duì)稱奇點(diǎn)

眾所周知，如果Lorenz系統(tǒng)的3個(gè)參數(shù)ρ、σ、b都為正數(shù)，那么原點(diǎn)處不會(huì)出現(xiàn)Hopf分支，但非平凡平衡點(diǎn)E±會(huì)出現(xiàn)亞臨界Hopf分支。

如下Chen系統(tǒng)[56]

(38)

和Lü系統(tǒng)[57]

(39)

式中參數(shù)(A,B,C)∈R3。經(jīng)過(guò)時(shí)間變量和狀態(tài)變量的線性縮放后，Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)一般可簡(jiǎn)化為L(zhǎng)orenz系統(tǒng)的特例。下面介紹Lorenz、Chen和Lü系統(tǒng)的一些可積性與極限環(huán)研究進(jìn)展。

近幾十年來(lái)，多位學(xué)者從可積性角度，利用不同可積性理論對(duì)Lorenz系統(tǒng)(37)進(jìn)行深入研究，例如文獻(xiàn)[58-62]。2002年，Llibre等[63]對(duì)Lorenz系統(tǒng)(37)的達(dá)布不變量、不可約達(dá)布多項(xiàng)式、有理首次積分和代數(shù)可積性進(jìn)行完整分類。在此基礎(chǔ)上，Zhang[64]2002年運(yùn)用權(quán)值齊次多項(xiàng)式和達(dá)布可積性理論，描述系統(tǒng)(37)的所有指數(shù)因子和達(dá)布首次積分。2005年，Llibre等[65]考慮系統(tǒng)(37)的形式可積性和解析可積性，給出定理29、30。

定理 29[65]若σ=0，則Lorenz系統(tǒng)(37)可積，具有2個(gè)首次積分

式中：

F1=x(ρ2x3-(1+b)ρx2y+bxy2+x3y2+b(b-1)ρxz-2ρx3z-b(b-1)yz+(1-b)x2yz+bxz2+x3z)；

基于定理30，可以得到如下Lorenz系統(tǒng)可積性結(jié)論(定理31、32)。

定理 31[65]假設(shè)σ≠0且b不是負(fù)有理數(shù)，那么Lorenz系統(tǒng)(37)沒(méi)有形式冪級(jí)數(shù)首次積分。特別地，系統(tǒng)(37)在原點(diǎn)鄰域沒(méi)有解析首次積分。

定理 32[65]假設(shè)σ≠0且b滿足非共振條件k1b+k2(1+σ)≠0(?k1,k2∈Z+,k1+k2>0),那么Lorenz系統(tǒng)(37)在原點(diǎn)鄰域沒(méi)有任何解析首次積分。

2003年，Li等[66]首次研究Chen系統(tǒng)(38)的Hopf分支，運(yùn)用分析方法和分岔圖輔助分析，得到極限環(huán)分支結(jié)論：當(dāng)C>0時(shí)，有l(wèi)1(0)<0，所以Hopf分支是非退化和超臨界的，即對(duì)參數(shù)A0，所以Hopf分支是非退化和亞臨界的，即對(duì)參數(shù)A>A0(C)=3C/4，經(jīng)Hopf分支可從系統(tǒng)(38)的平衡點(diǎn)分支出唯一且不穩(wěn)定的極限環(huán)。

2009年，Mello等[67]研究Lü系統(tǒng)(39)的余維1、2和3 Hopf分支，證明參數(shù)空間中存在一條直線C1={(A,B,C)∈R3∶A≠0,B=A/5,C=Cc}，其中非平凡平衡點(diǎn)Q±是余維2的Hopf點(diǎn)，從系統(tǒng)(39)的平衡點(diǎn)Q±能分支出2個(gè)極限環(huán)。另外，文獻(xiàn)[67]還有以下猜想：對(duì)于直線C2={(A,B,C)∈R3∶A≠0,B=2A,C=Cc}上的參數(shù)值，系統(tǒng)(39)在中心流形上的非平凡平衡點(diǎn)Q±是非線性中心。Mahdi等[68]2011年證明了這個(gè)猜想，得到了該系統(tǒng)的局部中心流形是代數(shù)規(guī)則曲面，并且該曲面是唯一的結(jié)論。

2012年，Llibre等[69]利用權(quán)值齊次多項(xiàng)式和求解偏微分方程的特征方法，描述了Chen系統(tǒng)(38)和Lü系統(tǒng)(39)具有多項(xiàng)式首次積分的所有參數(shù)值。

定理 33[69]對(duì)于A≠0，Chen系統(tǒng)(38)有1個(gè)多項(xiàng)式首次積分當(dāng)且僅當(dāng)B=C=0。在此情況下，任何多項(xiàng)式首次積分都是變量y2+z2+2az的一個(gè)多項(xiàng)式。

定理 34[69]對(duì)于A≠0，Lü系統(tǒng)(39)有1個(gè)多項(xiàng)式首次積分當(dāng)且僅當(dāng)B=C=0。在此情況下，任何多項(xiàng)式首次積分都是變量y2+z2的一個(gè)多項(xiàng)式。

2012年，Wang等[70]考慮Chen系統(tǒng)(38)在中心流形上多重極限環(huán)的存在性問(wèn)題，給出定理35～37。

定理 35[70]Chen系統(tǒng)(38)的平衡點(diǎn)Ei(i=1,2)是2階細(xì)焦點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)

2A3-2A2C-2AC2-C3=0,即A=κ0C,

定理 36[70]存在Chen系統(tǒng)(38)的某些擾動(dòng)系數(shù)，使得在原點(diǎn)的足夠小鄰域內(nèi)有2個(gè)極限環(huán)。

定理 37[70]在定理36條件下，Chen系統(tǒng)(38)經(jīng)Hopf分支存在4個(gè)小振幅極限環(huán)。

Wang等[71]還研究了Lü系統(tǒng)(39)的多重Hopf分支，證明Lü系統(tǒng)(39)經(jīng)Hopf分支也同樣有4個(gè)小振幅極限環(huán)圍繞2個(gè)非平凡對(duì)稱奇點(diǎn)。

2014年，Algaba等[72]研究Lorenz、 Chen和Lü系統(tǒng)在中心流形上的Hopf分支問(wèn)題，給出定理38～40。

定理 38[72]Lorenz系統(tǒng)(37)的原點(diǎn)發(fā)生Hopf分支的條件由下式給出

σ=-1,ρ>1,b≠0。

當(dāng)b>-2時(shí)，產(chǎn)生超臨界分支；當(dāng)b<-2時(shí)，呈現(xiàn)亞臨界分支；當(dāng)b=-2時(shí)，出現(xiàn)無(wú)窮余維的退化Hopf分支。

定理 39[72]Lorenz系統(tǒng)(37)的非平凡平衡點(diǎn)在半直線上(在中心流形上的中心)發(fā)生余維無(wú)窮的Hopf分支的條件為σ=-1,b=-2,ρ>1。

定理 40[72]Lorenz系統(tǒng)(37)的非平凡平衡點(diǎn)在以下2個(gè)點(diǎn)(σ,ρ,b)∈Shnt發(fā)生余維3的Hopf分支

P1≈(-0.646 547,-6.605 871,-1.709 567),

P2≈(-0.010 001 2,-0.039 696 5,-1.408 456)。

此外，這些是系統(tǒng)(37)唯一的余維3 Hopf分支點(diǎn)。

由上述Lorenz系統(tǒng)結(jié)果還得到一些Chen和Lü系統(tǒng)Hopf分支的類似結(jié)果，不再贅述。與此同時(shí)，Wang等[73]利用奇點(diǎn)量方法研究Lorenz系統(tǒng)(37)在中心流形上的多重極限環(huán)分支和中心-焦點(diǎn)判定問(wèn)題，給出定理41～44。

定理 41[73]Lorenz系統(tǒng)(37)在局部中心流形上的非平凡平衡點(diǎn)E±是中心當(dāng)且僅當(dāng)σ=1。

定理 42[73]Lorenz系統(tǒng)(37)的非平凡平衡點(diǎn)E±是3階細(xì)焦點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)ω=ω(k),σ=σ(k),k=1,2,

式中：

定理 43[73]假設(shè)定理42中條件成立，則在Lorenz系統(tǒng)(37)的單一非平凡平衡點(diǎn)附近可產(chǎn)生3個(gè)小振幅極限環(huán)，其中在特定條件下，可產(chǎn)生2個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)。

定理 44[73]在定理43條件下，Lorenz系統(tǒng)(37)的2個(gè)對(duì)稱奇點(diǎn)E±經(jīng)Hopf分支共可產(chǎn)生6個(gè)且至多6個(gè)小振幅極限環(huán)。

由以上結(jié)果可知，雖然這3個(gè)混沌系統(tǒng)(Lorenz、Chen和Lü系統(tǒng))密切相關(guān)，但Lorenz系統(tǒng)在Hopf分支方面與Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)還有很大不同。

2018年，Huang等[74]考慮Lorenz系統(tǒng)(37)在σ≠0情形下的可積性問(wèn)題，通過(guò)研究系統(tǒng)亞純首次積分和形式首次積分的存在性，證明定理45、46。

① 系統(tǒng)(37)在函數(shù)無(wú)關(guān)性意義下有且僅有一個(gè)形式首次積分;

② 若系統(tǒng)(37)有一個(gè)形如Φ(x,y,z)exp(-λt)的時(shí)變形式首次積分，則

③ 若系統(tǒng)(37)有一個(gè)形如Φ(x,y,z)exp(-λt)的時(shí)變形式首次積分，且(σ+1)/m?Q,則存在正整數(shù)k∈N，使得λ=-k(σ+1)。

2007年，Li等[75]考慮廣義Lorenz標(biāo)準(zhǔn)型

(40)

的Hopf分支問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)(40)在中心流形上的第一階Lyapunov量，證明當(dāng)a≠b時(shí)，系統(tǒng)奇點(diǎn)能分支出1個(gè)極限環(huán)，但細(xì)焦點(diǎn)階數(shù)尚未確定，并且沒(méi)有討論a=b的情形。Liu等[76]2014年繼續(xù)完善文獻(xiàn)[75]中工作，對(duì)a≠b的情形，利用結(jié)式方法分解Lyapunov量中的代數(shù)變量，證明細(xì)焦點(diǎn)階數(shù)為3；對(duì)a=b的情形，通過(guò)尋找系統(tǒng)(40)的一個(gè)不變曲面，證明系統(tǒng)的達(dá)布可積性。

對(duì)如下廣義Lorenz系統(tǒng)

(41)

式中a、b、c、d是實(shí)參數(shù)。2012年，Wu等[77]描述了系統(tǒng)(41)的所有達(dá)布多項(xiàng)式和有理首次積分，其結(jié)論包括Lorenz系統(tǒng)(37)、Chen系統(tǒng)(38)和Lü系統(tǒng)(39)的情形。然而，Algaba等[78]2014年發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[77]的不足，主要提升了2方面的工作：一方面，當(dāng)c≠0時(shí)，通過(guò)時(shí)間和坐標(biāo)的線性縮放，證明廣義Lorenz系統(tǒng)(41)和Lorenz系統(tǒng)(37)的等價(jià)性，從而得到相同結(jié)果，這一方法更加直接，避免文獻(xiàn)[63]中復(fù)雜計(jì)算和推理；另一方面，當(dāng)c=0時(shí)，找到系統(tǒng)(41)的一個(gè)新的達(dá)布多項(xiàng)式，這也是系統(tǒng)的一個(gè)首次積分，從而證明文獻(xiàn)[77]中定理1.1和推論1.2是不正確的。另外，Algaba等[79]還考慮系統(tǒng)(41)在中心流形上的中心問(wèn)題，證明當(dāng)d=-2a,c=a,a(a+b)>0時(shí)，廣義Lorenz系統(tǒng)(41)在解析的中心流形上有一個(gè)中心，并將這個(gè)結(jié)論分別運(yùn)用到標(biāo)準(zhǔn)Lorenz、Chen和Lü系統(tǒng)，得到Lorenz系統(tǒng)(37)、Chen系統(tǒng)(38)和Lü系統(tǒng)(39)在解析中心流形上的中心條件分別為

b=-2,σ=-1,ρ<1;

B=2A,C=A,A≠0;

B=2A,C=A,A≠0。

2019年，Yu等[80]研究如下一類擴(kuò)展Lorenz系統(tǒng)

(42)

在中心流形上的極限環(huán)分支問(wèn)題。當(dāng)am/(ap+rm)≥0，ap+rm≠0時(shí)，系統(tǒng)(42)有對(duì)稱平衡點(diǎn)

作變換

系統(tǒng)(42)可轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)Lorenz系統(tǒng)(37)，但系統(tǒng)(37)和系統(tǒng)(42)不是拓?fù)涞葍r(jià)的。文獻(xiàn)[80]證明以下Hopf分支結(jié)果(定理47～49)。

定理 47[80]當(dāng)a>0,m<0時(shí)，系統(tǒng)(42)在臨界點(diǎn)n=0從原點(diǎn)E0能發(fā)生Hopf分支。當(dāng)am>0,a+n>0時(shí)，在臨界點(diǎn)p=pH從對(duì)稱平衡點(diǎn)E±能發(fā)生Hopf分支。此外，不可能同時(shí)從原點(diǎn)E0和E±產(chǎn)生Hopf分支。

定理 48[80]當(dāng)a>0,m<0時(shí)，系統(tǒng)(42)可在臨界點(diǎn)n=nH=0從原點(diǎn)E0發(fā)生Hopf分支，且若r>0(r<0)，則Hopf分支是超臨界的(亞臨界的)，在原點(diǎn)E0附近產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán)。在這種情況下，不能同時(shí)從E±發(fā)生Hopf分支。

定理 49[80]當(dāng)am>0,a+n>0時(shí)，在臨界點(diǎn)p=pH從對(duì)稱平衡點(diǎn)E±能發(fā)生Hopf分支。在E+或E-附近的小極限環(huán)最大數(shù)目可達(dá)到3個(gè)，其中外部是一個(gè)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的極限環(huán)。因此，從對(duì)稱平衡點(diǎn)E±分支出的極限環(huán)最大總數(shù)為6。

另外，文獻(xiàn)[80]還運(yùn)用Matlab給出幾個(gè)例子的數(shù)值模擬，以此說(shuō)明理論結(jié)果的正確性。2019年，García等[81]研究Lorenz、Chen和Lü系統(tǒng)在中心流形上的中心環(huán)性數(shù)問(wèn)題，證明以下極限環(huán)分支結(jié)果(定理50)。

① 在保持奇點(diǎn)性質(zhì)為Hopf點(diǎn)的族內(nèi)擾動(dòng)下，任何中心(原點(diǎn)或E±)的環(huán)性數(shù)為0；

② 在全族系統(tǒng)(37)內(nèi)的擾動(dòng)下，任何中心(原點(diǎn)或E±)的環(huán)性數(shù)為1。

基于定理50中Lorenz系統(tǒng)環(huán)性數(shù)結(jié)果，可以得到定理51。

① 在保持奇點(diǎn)性質(zhì)為Hopf點(diǎn)的族內(nèi)擾動(dòng)下，任何中心(原點(diǎn)或E±)的環(huán)性數(shù)為0；

② 在全族(38)和(39)內(nèi)的擾動(dòng)下，任何中心(原點(diǎn)或E±)的環(huán)性數(shù)為1。

4 三維分片光滑系統(tǒng)

分片光滑系統(tǒng)在機(jī)械、電子、力學(xué)和自動(dòng)化工程中有大量應(yīng)用，近些年對(duì)它的動(dòng)力學(xué)行為，特別是極限環(huán)分支的研究已成熱點(diǎn)。平面分片光滑系統(tǒng)極限環(huán)的研究已有大量結(jié)果，例如線性分片光滑系統(tǒng)有2個(gè)極限環(huán)[82]、3個(gè)極限環(huán)[83]；二次分片光滑系統(tǒng)有5個(gè)和8個(gè)極限環(huán)[84]；三次分片光滑系統(tǒng)分支出11個(gè)極限環(huán)[85]、18 個(gè)極限環(huán)[86-87]、n次擾動(dòng)分支出極限環(huán)[88]等。平面、三維甚至更高維分片光滑系統(tǒng)都有比對(duì)應(yīng)的光滑系統(tǒng)更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。就分支問(wèn)題而言，它不是光滑系統(tǒng)分支的簡(jiǎn)單推廣，還會(huì)出現(xiàn)一些新的分支，如非光滑Hopf分支、C-分支、邊界碰撞分支等，所以分片光滑系統(tǒng)的分支問(wèn)題比光滑系統(tǒng)更具有挑戰(zhàn)性。近年來(lái)一些學(xué)者開始探索三維分片光滑系統(tǒng)的分支問(wèn)題，特別是極限環(huán)分支問(wèn)題，但這方面的文獻(xiàn)還很少，下面介紹部分相關(guān)成果。

2005年，F(xiàn)reire等[89]研究如下三維分片光滑線性系統(tǒng)的極限環(huán)分支問(wèn)題

(43)

式中：x∈R3，L、C和R分別表示R3在x1<-1、|x1|≤1、x1>1的區(qū)域。在可觀測(cè)性的一般條件下，每個(gè)系統(tǒng)(43)都可以寫成如下廣義Liénard形式

(44)

式中sat(x1)=sign(x1)·min{|x1|,1}是標(biāo)準(zhǔn)飽和度，使系統(tǒng)(43)中

選擇T為分支參數(shù)，對(duì)臨界值Tc=D/M,M>0，系統(tǒng)(43)在C區(qū)域有一個(gè)線性中心，即矩陣AC有一對(duì)純虛特征值。通過(guò)分析分支參數(shù)，得到以下極限環(huán)存在的判據(jù)(定理52)。

定理 52[89]考慮具有M>0,Tc=D/M,γ=DM-Dm+dM-tM2≠0的系統(tǒng)(44)。對(duì)T=Tc，系統(tǒng)發(fā)生焦點(diǎn)-中心-極限環(huán)分支，也就是說(shuō)，對(duì)T=Tc，在C區(qū)域存在線性中心構(gòu)形，使得當(dāng)γ(T-Tc)>0且T-Tc足夠小時(shí)，從線性中心產(chǎn)生一個(gè)極限環(huán)。

定理52的結(jié)果被用于準(zhǔn)確預(yù)測(cè)與經(jīng)典Van der Pol振蕩器相關(guān)的三維電子電路中對(duì)稱周期振蕩的產(chǎn)生。同一時(shí)間，Carmona等[90]考慮具有2個(gè)區(qū)域的三維連續(xù)分片線性系統(tǒng)的極限環(huán)分支問(wèn)題，獲得與定理52類似的結(jié)果，證明有界線性中心構(gòu)形中切于分離面的周期軌道產(chǎn)生一個(gè)極限環(huán)。文獻(xiàn)[90]還將所得結(jié)果應(yīng)用于Chua振蕩器非對(duì)稱周期振蕩的研究。接著，F(xiàn)reire等[91]2007年考慮文獻(xiàn)[90]所研究系統(tǒng)的一種退化分支情形，證明在一定參數(shù)條件下，該系統(tǒng)最多產(chǎn)生2個(gè)極限環(huán)，且在Chua電路中解釋了這一結(jié)論的合理性。2013年，Ponce等[92]考慮三維對(duì)稱分片光滑線性系統(tǒng)(44)的fold-Hopf分支，證明該系統(tǒng)可同時(shí)分支出3個(gè)極限環(huán)，且給出了判定這些極限環(huán)的穩(wěn)定性條件。另外，文獻(xiàn)[92]還將獲得的理論結(jié)果應(yīng)用于一個(gè)廣義Chua電路系統(tǒng)中。

關(guān)于線性控制系統(tǒng)的極限環(huán)，2004年，Moreno等[93]研究如下閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)

(45)

式中u=(1+λ3)x1+3(1-λ2)x2+3(1+λ)x3,λ<0。這是一個(gè)三維分片光滑線性控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)[93]嚴(yán)格證明了對(duì)于參數(shù)λ的唯一固定值，系統(tǒng)(45)在原點(diǎn)共存著一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)與一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。后來(lái)Ponce等[94]2009年通過(guò)數(shù)值計(jì)算，表明在λ的2個(gè)數(shù)值區(qū)間，系統(tǒng)(45)有2個(gè)極限環(huán)，其中一個(gè)是穩(wěn)定的極限環(huán)。Llibre等[95]2011年研究一類三維分片光滑線性控制系統(tǒng)的極限環(huán)問(wèn)題，運(yùn)用代數(shù)方法確定了該類系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)。

最近，F(xiàn)reire等[96]研究如下三維分片光滑線性系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在不變曲面上的極限環(huán)問(wèn)題

(46)

式中x<0；且

(47)

其中x>0。運(yùn)用平均理論分別討論系統(tǒng)(46)、(47)在半齊次和非齊次情形下的極限環(huán)分支問(wèn)題，同時(shí)給出了系統(tǒng)(46)和(47)的一個(gè)特例，證明從無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心能分支出1個(gè)極限環(huán)的結(jié)論。另外，該團(tuán)隊(duì)還在文獻(xiàn)[97]中類似考慮一個(gè)三維對(duì)稱分片光滑線性系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的Hopf分支，運(yùn)用閉合方程法給出系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的大振幅極限環(huán)的存在性及穩(wěn)定性判據(jù)。作為方法的應(yīng)用，研究Bonhoeffer-van der Pol oscillator振蕩器中大振幅極限環(huán)的分支問(wèn)題。

5 結(jié)語(yǔ)

本文綜述三維微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支與等時(shí)中心的一些相關(guān)研究進(jìn)展。

在研究的系統(tǒng)方面，目前主要集中于包括三維LV系統(tǒng)、Lorenz系統(tǒng)族等的三維多項(xiàng)式光滑系統(tǒng)，以及三維分片光滑系統(tǒng)。所研究的光滑系統(tǒng)大多數(shù)是三維二次系統(tǒng)，這主要是由于研究極限環(huán)與等時(shí)中心的過(guò)程中涉及到大量符號(hào)計(jì)算，隨著系統(tǒng)參數(shù)的增多和次數(shù)的升高，對(duì)計(jì)算機(jī)軟、硬件的要求更高，一般三維高次系統(tǒng)往往會(huì)出現(xiàn)超出計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)計(jì)算能力的情況。

在研究方法方面，研究極限環(huán)的方法主要有Poincaré-Bendixson環(huán)域定理、Hopf分支(多重Hopf分支)方法、Melnikov函數(shù)方法以及平均值方法。而等時(shí)中心的研究主要是求系統(tǒng)中心點(diǎn)的周期常數(shù)，計(jì)算周期常數(shù)的常用方法有從周期函數(shù)T(h)的展開式中求出hk的系數(shù)直接方法[98]、規(guī)范形方法[99]與復(fù)系統(tǒng)方法[7,13,100]。以上方法各有優(yōu)勢(shì)，規(guī)范形方法通過(guò)變換減少系統(tǒng)參數(shù)，從而降低計(jì)算復(fù)雜性，但尋找合適的變換是難點(diǎn)；Melnikov函數(shù)方法需要進(jìn)行大量積分運(yùn)算；復(fù)系統(tǒng)方法將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到復(fù)數(shù)域中，運(yùn)用遞推公式進(jìn)行計(jì)算，避免復(fù)雜的積分運(yùn)算和解方程。在研究中首先要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是尋找系統(tǒng)的不變代數(shù)曲面或中心流形，這在理論分析和計(jì)算上都非常困難，而且沒(méi)有一般快捷的方法。有些算法雖然可以省略直接求中心流形，但在證明等時(shí)中心的充分性時(shí)還是需要求出相對(duì)簡(jiǎn)單可用的中心流形，這就是三維微分系統(tǒng)等時(shí)中心研究結(jié)果偏少的原因。