秦永松, 雷慶祝

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 廣西 桂林 541006)

截面數(shù)據(jù)線性回歸模型刻畫了變量之間的數(shù)量關(guān)系,通過這種關(guān)系可以了解一個變量的變化如何影響另一個變量的變化,同時還可以對未來進行預(yù)測；在時間序列數(shù)據(jù)中,由一定時間間隔產(chǎn)生的數(shù)據(jù)可能存在某種相依模式,即將來的數(shù)據(jù)通常以某種隨機方式依賴于已有觀測數(shù)據(jù),而這種相依性使得利用過去預(yù)測未來成為可能。然而,在一個空間系統(tǒng)里,地理單元之間存在著交互效應(yīng)(稱為空間相依性),即空間單元里的一個量和其附近單元的相應(yīng)量有關(guān)系,且距離近的比距離遠(yuǎn)的關(guān)系更強(這里說的距離概念是廣義的距離——地理意義或經(jīng)濟意義上的距離,比如地理坐標(biāo)產(chǎn)生的距離或高鐵和城際車輛縮短了空間距離,又比如人際關(guān)系的遠(yuǎn)近也可看成一種距離),這種依賴關(guān)系導(dǎo)致空間效應(yīng)溢出；另一方面,在同一個地理空間里,不同地理單元之間存在差異(空間異質(zhì)性),如每個空間單元對應(yīng)的線性回歸方程中的回歸系數(shù)是隨機變化的；除此以外,如同時間序列一樣,過去的空間單元對現(xiàn)在的空間單元也存在影響,產(chǎn)生動態(tài)效應(yīng)?？臻g相依性、異質(zhì)性和動態(tài)效應(yīng)推動了空間計量經(jīng)濟模型(簡稱空間模型)的建立。空間計量經(jīng)濟模型最早由Cliff等[1]引入,它的演化過程分為3代:第1代是基于截面數(shù)據(jù)構(gòu)建的模型,其重要貢獻者之一Anselin[2]詳細(xì)回顧了這一部分工作；第2代是基于空間面板數(shù)據(jù)構(gòu)建的非動態(tài)模型,這部分工作將截面數(shù)據(jù)和時間序列混合在一起,最常見的是帶有特定空間(或特定時間)效應(yīng)(固定效應(yīng)或隨機效應(yīng))的模型；第3代是動態(tài)空間面板數(shù)據(jù)模型,這部分工作不僅考慮被解釋變量和解釋變量在空間上的滯后,還考慮它們在時間上的滯后,以及序列誤差的自相關(guān)性。模型的主要估計方法有最大似然估計或擬似然估計、基于工具變量或廣義矩的估計、貝葉斯估計及MCMC方法,可分別參看文獻[1-5],這些文獻多為空間截面數(shù)據(jù)模型下的研究情況,其中的方法在空間面板數(shù)據(jù)模型下同樣適用,空間面板數(shù)據(jù)模型下使用最多的是擬似然估計方法?？臻g面板數(shù)據(jù)模型的理論研究始于2000年,研究成果豐富,文獻[2，6-7]對這些方法有詳細(xì)描述。文獻[8-21]以及這些文獻所引文獻也給出了具體的模型參數(shù)的估計和檢驗?？臻g計量經(jīng)濟模型的其他研究進展如下:廣義空間計量經(jīng)濟模型的研究見Mozharovsky等[22]；空間計量經(jīng)濟模型變量選擇的研究見王曉瑞[23]、Zhu等[24]以及Wu等[25]；空間分位數(shù)回歸模型的研究見戴曉文等[26]、空間計量經(jīng)濟模型缺失數(shù)據(jù)的填補方法研究見李序穎[27]。

空間計量經(jīng)濟模型分別或同時從時、空方面定量刻畫空間單元之間的關(guān)系或隨時間變化的關(guān)系,廣泛應(yīng)用于區(qū)域經(jīng)濟、環(huán)境污染、交通運輸、疾病控制、房地產(chǎn)價值評估等方面,應(yīng)用學(xué)科遍及金融、經(jīng)濟地理、城市與區(qū)域、旅游、流行病學(xué)、環(huán)境科學(xué)、生態(tài)學(xué)等?？傊?空間數(shù)據(jù)幾乎在社會各個領(lǐng)域出現(xiàn),并有廣泛的應(yīng)用前景,因此其統(tǒng)計推斷(含模型參數(shù)的估計和檢驗)的研究顯得尤其重要。

本文從數(shù)理統(tǒng)計角度介紹空間數(shù)據(jù)的空間計量經(jīng)濟模型及空間計量經(jīng)濟模型的經(jīng)驗似然研究進展,結(jié)構(gòu)如下:第1章介紹幾種常見的空間計量經(jīng)濟模型,并簡要介紹空間模型除經(jīng)驗似然方法外的研究進展；第2章和第3章分別通過實例介紹空間截面模型和空間面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然方法；第4章介紹經(jīng)驗似然的背景及空間計量經(jīng)濟模型的經(jīng)驗似然研究進展。

1 空間計量經(jīng)濟模型

實際數(shù)據(jù)多以時空2個維度呈現(xiàn),如某時某地的GDP、房價、網(wǎng)絡(luò)銷售額、病毒感染人數(shù)(如新冠肺炎數(shù)據(jù))、生物種群數(shù)量等。在不同時間(按照先后次序)和空間得到的數(shù)據(jù)組成時空數(shù)據(jù)集合,稱為空間面板數(shù)據(jù)(又稱時空數(shù)據(jù)),T個時間點和n個空間位置的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下:

(1)

其中,對于固定的t、s,1≤t≤T,1≤s≤n,dts可為一維或者多維數(shù)據(jù)。如果把上述數(shù)據(jù)的空間(地點)固定在一個位置(即選定式(1)中的某列),就得到熟知的時間序列數(shù)據(jù)；類似地,如果把時間固定在一個時間點(即選定式(1)中的某行),就得到空間數(shù)據(jù)(或空間截面數(shù)據(jù))。把擬合這3類數(shù)據(jù)的模型分別稱為空間面板數(shù)據(jù)模型(非動態(tài)或動態(tài),又稱時空數(shù)據(jù)模型)、時間序列模型和空間截面數(shù)據(jù)模型,后2類模型都可以看成是第1類的特殊情形(見文獻[1])。這些模型統(tǒng)稱為空間計量經(jīng)濟模型,或空間模型。

1.1 空間權(quán)重矩陣與空間自相關(guān)性檢驗

要量化空間單元的相依性,首先要確定空間系統(tǒng)里哪些單元對某個特定單元有影響,這一點可以用鄰居或近鄰的概念來表達,并由此得到一個空間權(quán)重矩陣。假設(shè)一個空間系統(tǒng)有n個單位,這個空間系統(tǒng)的權(quán)重矩陣為一個n×n矩陣:W=(Wij),其中Wij表達空間單元i與空間單元j之間的近鄰關(guān)系(或者說”距離”,距離越遠(yuǎn)取值越小)。

一種最基本而且簡單的方式是利用空間地理位置關(guān)系定義的二值鄰接矩陣:如果空間單元i與空間單元j為鄰居,即“鄰接”(contiguity),則取Wij=1,否則取為0。鄰接關(guān)系可以分為:2個空間單元有公共邊、有公共點無公共邊、有公共邊或公共點,該3種情況依次稱為Rook鄰接(rook contiguity)、Bishop鄰接(bishop contiguity)及Queen鄰接(queen contiguity)。比如:設(shè)有3(n=3)個區(qū)域,區(qū)域2在中間,區(qū)域1和3在區(qū)域2的兩邊與區(qū)域2相鄰,但1和3不相鄰,按Queen鄰接關(guān)系可取Wn如下

權(quán)重矩陣的其他定義方法可參見文獻[2]。在實際中,為了保證模型的可識別性,通常將權(quán)重矩陣進行行標(biāo)準(zhǔn)化(行隨機化):將權(quán)重矩陣中每一個元素除以所在行的行和。

在建立空間計量經(jīng)濟學(xué)模型之前,通常要進行空間的相依性(又稱空間自相關(guān)性)檢驗?？臻g自相關(guān)檢驗方法主要有Moran指數(shù)檢驗、Wald檢驗、Lagrange Multiplier檢驗和Likelihood Ratio檢驗等(見文獻[2])。下面介紹Moran指數(shù)檢驗。

莫蘭指數(shù)(Moran’sI)是皮爾森積矩相關(guān)系數(shù)的推廣,由Moran[28]提出,文獻[1]在研究空間自相關(guān)性問題時,給出了莫蘭指數(shù)的漸近正態(tài)性。假設(shè)yi,i=1,2,…,n為來自n個區(qū)域的空間數(shù)據(jù),其莫蘭指數(shù)定義為

另外,在空間相依性分析中有一個被認(rèn)可的事實:整個空間上的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性(同質(zhì)性)假設(shè)不太現(xiàn)實,尤其是有大量空間數(shù)據(jù)的情形,于是出現(xiàn)很多針對這種空間結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性的建模方法研究。全局莫蘭指數(shù)可以給出數(shù)據(jù)的空間相依程度,但它忽略了數(shù)據(jù)潛在的不穩(wěn)定性。一些研究者建議關(guān)注局部相依模式并允許全局空間相依中存在局部的不穩(wěn)定。Anselin[29]對一些空間相依的局部指標(biāo)(LISA)進行總結(jié),并展示了利用局部莫蘭指數(shù)探索空間的聚集性和不穩(wěn)定性的方法。

1.2 空間截面(數(shù)據(jù))模型

一個地域空間單元上的某種經(jīng)濟指標(biāo)或?qū)傩灾蹬c鄰近區(qū)間單元上同一指標(biāo)或?qū)傩灾迪嚓P(guān),如:鄰近城市的住房價格存在相關(guān)性、區(qū)域生物物種的數(shù)量也受到鄰近區(qū)域物種數(shù)量的影響,為方便起見,先考察n個區(qū)域上的指標(biāo)值(如房價){yi}滿足如下最簡單的(截面數(shù)據(jù))空間(自)回歸模型(或空間滯后模型)

(2)

式中:Wn=(Wij)n×n為(已知)對角線元素為0的空間權(quán)重(鄰接)矩陣；ρ為(未知的空間數(shù)據(jù))回歸系數(shù)；{εi}為獨立的均值為0的隨機誤差序列。

在式(2)中加入解釋變量(如收入等)xi∈Rk,得到下述空間滯后(混合回歸)模型(SAR)

(3)

式中:β為解釋變量的回歸系數(shù)向量；其他記號的意義同式(2)。

基于空間異質(zhì)性產(chǎn)生了空間誤差模型(SEM)

(4)

空間回歸模型的另一種形式是含空間自回歸誤差的空間自回歸模型(SARSAR)

(5)

式中:Wn=(Wij)n×n和Mn=(Mij)n×n均為(已知)對角線元素為0的(鄰接)空間權(quán)重矩陣；ρ1和ρ2均為(未知的空間數(shù)據(jù))回歸系數(shù)；{ui}為(不可觀測的)空間模型隨機擾動序列；其他記號的意義同式(3)。模型(3)和模型(4)是模型(5)的特殊情形。模型(5)可以加入非線性項,變成

(6)

式中:g為未知函數(shù)；{ti}為區(qū)別于{xi}的解釋變量；其他記號的意義同式(5),稱此模型為空間部分線性自回歸模型。上述模型均稱為空間截面數(shù)據(jù)模型。如果同一個區(qū)域有不同時間點的觀察值,可以將模型(6)推廣到下文介紹的空間面板(縱向)數(shù)據(jù)模型。

結(jié)合解釋變量的空間效應(yīng)便可得到空間杜賓模型(SDM)

當(dāng)λ=0時,SDM模型退化為SAR模型；當(dāng)λ=-ρβ時,SDM模型退化為SEM模型。

1.3 空間面板 (數(shù)據(jù))模型

空間面板數(shù)據(jù)模型形式較多,較難一一列舉,為了后文討論方便,在此介紹幾種常見的空間面板數(shù)據(jù)模型。

模型1含空間自回歸誤差的空間自回歸(SARSAR)面板數(shù)據(jù)模型。

Ytn=ρtWnYtn+Xtnβt+Vtn,Vtn=λtMnVtn+Etn,1≤t≤T,

(7)

式中,

βt為(t時刻的)未知(協(xié)變量)回歸系數(shù),ρt和λt為(t時刻的)未知空間自回歸系數(shù),Vtn為(t時刻的)不可觀測的擾動項,Etn為(t時刻的)不可觀測的模型誤差,Wn=(Wij)n×n和Mn=(Mij)n×n為(已知的)空間(鄰接)權(quán)重矩陣。

在模型(7)中,如果λt≡0,模型稱為空間自回歸面板數(shù)據(jù)模型；如果ρt≡0,模型稱為含空間誤差的面板數(shù)據(jù)模型。模型(7)還有多種推廣,如加入不可觀察的空間效應(yīng)μ=(μ1,μ2,…,μn)T,可得如下含空間效應(yīng)和空間自回歸誤差的空間自回歸面板數(shù)據(jù)模型

Ytn=ρtWnYtn+Xtnβt+μ+Vtn,Vtn=λtMnVtn+Etn,1≤t≤T。

含空間效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型的背景介紹可參看文獻[30]。

模型2動態(tài)含空間自回歸誤差的空間自回歸(DSARSAR)面板數(shù)據(jù)模型。

數(shù)據(jù)同模型1,常見的動態(tài)空間面板數(shù)據(jù)模型為如下動態(tài)含空間自回歸誤差的空間自回歸面板數(shù)據(jù)模型

Ytn=ρt1WnYtn+γtYt-1,n+ρt2WnYt-1,n+Xtnβt+Vtn,Vtn=λtMnVtn+Etn,1≤t≤T,

(8)

式中:Ytn、Xtn、βt、λt、Wn、Mn、Vtn以及Etn同模型1；ρt1和ρt2為(t時刻的)未知空間自回歸系數(shù)；γt為(t時刻的)未知自回歸系數(shù)。在模型(8)中,如果λt≡0,模型稱為動態(tài)空間自回歸面板數(shù)據(jù)模型；如果ρt1≡ρt2≡0,模型稱為動態(tài)含空間誤差的面板數(shù)據(jù)模型。模型(8)也有多種推廣,如加入不可觀察的空間效應(yīng)μ=(μ1,μ2,…,μn)T,可得如下動態(tài)含空間效應(yīng)和空間自回歸誤差的空間自回歸面板數(shù)據(jù)模型

Ytn=ρt1WnYtn+γtYt-1,n+ρt2WnYt-1,n+Xtnβt+μ+Vtn,Vtn=λtMnVtn+Etn,1≤t≤T。

動態(tài)含空間效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型的背景介紹可參看文獻[30],這里說的動態(tài)是指模型中含有不同時間點的情況,此模型還可以推廣到高階動態(tài)含空間自回歸誤差的空間自回歸面板數(shù)據(jù)模型。

模型3含自回歸誤差的空間部分線性面板數(shù)據(jù)模型。

Ytn=ρtWnYtn+Xtnβt+g(Ztn)+Vtn,Vtn=λtMnVtn+Etn,1≤t≤T,

(9)

式中:Ytn、Xtn、βt、λt、Wn、Mn、Vtn以及Etn同模型1；Ztn=(zt1,zt2,…,ztn)T:g(Ztn)=(g(zt1),g(zt2),…,g(ztn))T,g為未知函數(shù)。在模型(9)中,如果λt≡0,模型稱為空間部分線性面板數(shù)據(jù)模型;如果ρt≡0,模型稱為含空間誤差的部分線性面板數(shù)據(jù)模型。模型(9)亦有多種推廣,如加入不可觀察的空間效應(yīng)μ=(μ1,μ2,…,μn)T,可得如下含空間效應(yīng)和空間自回歸誤差的空間部分線性面板數(shù)據(jù)模型:

Ytn=ρtWnYtn+Xtnβt+g(Ztn)+μ+Vtn,Vtn=λtMnVtn+Etn,1≤t≤T。

文獻[31-32]研究了某些特殊情形的含自回歸誤差的空間部分線性面板數(shù)據(jù)模型的統(tǒng)計推斷。

自文獻[1]提出空間模型以來,各種空間模型如雨后春筍般出現(xiàn),空間模型主要分為上文所述的3大類:截面數(shù)據(jù)模型、面板數(shù)據(jù)模型和動態(tài)面板數(shù)據(jù)模型。每一大類模型又分成如下3類:線性(參數(shù))模型、非參數(shù)模型和部分線性模型。每一大類模型中又依據(jù)是否含空間誤差可分為3類:(純)空間誤差模型、不含空間誤差的空間模型和含空間誤差的空間模型。另一個擴展模型的方向是利用空間權(quán)重矩陣指數(shù)(函數(shù))來反映空間相關(guān)性,比如模型(3)在此情形的形式如下

eρWn(y1,y2,…,yn)T=(x1,x2,…,xn)Tβ+(1,2,…，n)T,

模型(7)在此情形的形式如下

eρWnYtn=Xtnβt+Vtn,eλWnVtn=Etn,1≤t≤T。

其他模型的相應(yīng)形式可類似得出。此類模型稱為矩陣指數(shù)空間規(guī)范(matrix exponential spatial specification)模型,簡稱MESS模型。此類模型由Lesage等[33]提出,并被證明在理論和應(yīng)用上有較好的優(yōu)良性。

2 含空間誤差的空間自回歸截面模型的經(jīng)驗似然

本章介紹一類空間截面模型的經(jīng)驗似然研究在方法上的進展,詳細(xì)給出經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量的導(dǎo)出過程,并給出主要結(jié)果。本章研究如下含空間自回歸誤差的空間自回歸模型(SARSAR模型),即上文提到的模型(5):

Yn=ρ1WnYn+Xnβ+u(n),u(n)=ρ2Mnu(n)+(n),

(10)

E(n)=0,Var((n))=σ2In。

下面通過求擬似然函數(shù)、似然方程和得分函數(shù)等3 步導(dǎo)出經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量。

2.1 擬似然函數(shù)

令A(yù)n(ρ1)=In-ρ1Wn,Bn(ρ2)=In-ρ2Mn,且假定An(ρ1)及Bn(ρ2)均非奇異,則式(10)可改寫為

Yn=An(ρ1)-1Xnβ+An(ρ1)-1Bn(ρ2)-1(n)。

2.2 似然方程

令上述導(dǎo)數(shù)為0,得到如下似然方程

(Bn(ρ2)WnAn(ρ1)-1Xnβ)T

(11)

(12)

2.3 得分函數(shù)

假定0包含在{ωi(θ),1≤i≤n}的凸包內(nèi),基于上述得分函數(shù)定義經(jīng)驗似然統(tǒng)計量為

式中{pi}滿足

故

式中λ(θ)∈Rk+3為如下方程的根

Qin[34]證明了如下結(jié)果： 在一定正則條件下，當(dāng)n→∞時,有

{θ:n(θ)≤zα(k+3)}。

為了得到θ的部分分量的經(jīng)驗似然置信域,可以采用Qin等[35]中推論5的方法處理。

3 含空間誤差的面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然

本章介紹一類空間面板數(shù)據(jù)模型——含空間誤差的面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然研究在方法上的進展,詳細(xì)給出經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量的導(dǎo)出過程,并給出主要結(jié)果,總體框架與第2章相似,不同之處是面板數(shù)據(jù)模型得分函數(shù)的維數(shù)會相應(yīng)變大。本章討論的模型是模型(7)的特殊情形。為了表述方便,本章對記號進行調(diào)整,記號自成體系?？紤]如下面板數(shù)據(jù)模型

yt=Xtβt+t,t=λtWnt+μt,t=1,2,…,T,

式中:yt為響應(yīng)變量在n個單元上的觀察值；Xt為n×k解釋變量的觀察值；βt為k維回歸系數(shù)；t為n維誤差向量；Wn為n×n常數(shù)空間權(quán)重矩陣；μt=(μt1,…,μtn)T為n維列向量，且假定{μti}獨立、期望為0且每個的方差均為σ2。

將上述模型寫成矩陣形式如下

且

上述模型可進一步寫成

Y=Xβ+,

(13)

且

B=μ,

(14)

此處,Bt=(In-λtWn),t=1,2,…,T,B=[InT-(Λ?Wn)],Λ=diag(λ1,λ2,…,λT)為T×T對角矩陣,?為矩陣克羅內(nèi)克積,

求導(dǎo)數(shù)可得:

?L(θ)/?β=σ-2XTBTμ,

其中Ett為T×T矩陣,它的元素除(t,t)位置的元素為1外,其余元素為0。令上述導(dǎo)數(shù)為0,得到如下似然方程

XTBTμ=0,

-nTσ2+μTμ=0。

令

構(gòu)造經(jīng)驗似然的得分函數(shù)如下

其中ei為μ=B(Y-Xβ)的第i個分量,于是θ∈R(k+1)T+1的經(jīng)驗似然統(tǒng)計量如下

其中{pi}滿足

?

假定0包含在{ωi(θ),1≤i≤n}的凸包內(nèi),易知,

式中λ(θ)∈R(k+1)T+1為如下方程的根

Li等[36]證明了如下結(jié)果： 在一定的正則條件下,當(dāng)T固定,n→∞時,有

由此結(jié)果可類似于第2章方法構(gòu)造θ的經(jīng)驗似然置信域。

4 空間模型的經(jīng)驗似然研究進展

本章先簡要介紹經(jīng)驗似然方法產(chǎn)生的背景、經(jīng)驗似然的優(yōu)良性及其在非空間數(shù)據(jù)情形回歸模型中的研究進展,然后介紹經(jīng)驗似然方法在空間模型方面的研究進展。

對問題的背景所知甚少,僅知道部分信息(如總體分布的一階矩、二階矩等),自然希望尋找一定的途徑構(gòu)造和使用某種類似于參數(shù)似然函數(shù)的形式,以便有效加工這些部分信息,從而進行統(tǒng)計推斷,經(jīng)驗似然正是在這樣背景下產(chǎn)生的。Thomas等[37]利用經(jīng)驗似然思想建立截尾數(shù)據(jù)下生存概率的區(qū)間估計,Owen[38-39]首先系統(tǒng)地提出經(jīng)驗似然方法,并用來處理非參數(shù)統(tǒng)計問題。

經(jīng)驗似然有類似于Bootstrap的抽樣特性,與經(jīng)典或現(xiàn)代非參數(shù)統(tǒng)計方法比較有很多突出的優(yōu)點,如:用經(jīng)驗似然方法構(gòu)造置信區(qū)間，除有域保持性、變換不變性及置信域的形狀由數(shù)據(jù)自行決定等諸多優(yōu)點外,還有Bartlett糾偏性及無需構(gòu)造樞軸統(tǒng)計量等優(yōu)點(見Hall[40]及Hall等[41])。正因為如此,這一方法引起了許多統(tǒng)計學(xué)者的興趣,將這一方法應(yīng)用到各種統(tǒng)計模型和領(lǐng)域,如Owen[42]將其應(yīng)用到線性回歸模型的統(tǒng)計推斷；文獻[35]將經(jīng)驗似然引入廣義估計方程模型,推廣了文獻[38-39]的結(jié)果；Kolaczyk[43]把經(jīng)驗似然應(yīng)用于廣義線性模型的統(tǒng)計推斷；Chen等[44]發(fā)展了非參數(shù)回歸模型的經(jīng)驗似然；文獻[45-47]研究部分線性模型的經(jīng)驗似然；Cui等[48]研究變量含誤差的線性模型的經(jīng)驗似然；Xue等[49]研究變系數(shù)回歸模型的經(jīng)驗似然；在缺失數(shù)據(jù)情形,Xue[50]給出逆概率權(quán)填補下非參數(shù)回歸函數(shù)模型均值的經(jīng)驗似然置信區(qū)間；Tang等[51]利用逆概率權(quán)填補法填補缺失數(shù)據(jù),證明由估計方程定義的參數(shù)的經(jīng)驗似然估計的有效性；Chen等[52]綜述了回歸模型的經(jīng)驗似然方面的研究進展。經(jīng)驗似然方面的研究成果還有很多,不一一列舉。

4.1 空間截面數(shù)據(jù)的經(jīng)驗似然

上述結(jié)果都是在非空間數(shù)據(jù)情形經(jīng)驗似然的部分研究概況,經(jīng)驗似然方法在空間數(shù)據(jù)模型的應(yīng)用方面已有成果較少,主要成果集中在空間截面數(shù)據(jù)(即將時間固定在一個特定時間點所得到的數(shù)據(jù))模型的研究方面,早期成果有:Nordman[53]、Nordman等[54]及Bandyopadhyay等[55],將處理相依數(shù)據(jù)的分組經(jīng)驗似然方法應(yīng)用到空間計量經(jīng)濟模型的研究,得到一些有重要意義的結(jié)果,但這些結(jié)果不夠理想,主要問題是沒有提出一個較好的選擇分組數(shù)的方法,主要原因是文獻[53-55]沒有較好地利用由擬似然(QML)方法得到的估計方程的特性。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),對于某些空間計量經(jīng)濟模型,由QML方法得到的估計方程為模型誤差序列的線性-二次型的形式,這樣可以構(gòu)造一個鞅差序列,把二次型轉(zhuǎn)化為鞅差序列的線性形式,不需要對數(shù)據(jù)進行分組,可以直接利用經(jīng)驗似然方法。此轉(zhuǎn)化方法由文獻[34]和[56]獨立發(fā)現(xiàn),并成功應(yīng)用到含空間自回歸誤差的空間自回歸截面數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然推斷。另外,對于部分空間模型,基于廣義矩方法(GMM)得到的估計方程也為模型誤差序列的線性-二次型的形式,上述鞅差參換方法(詳見本文第2、3章)也可以使用。在基于GMM方法得到估計方程的基礎(chǔ)上,Qin等[57]及Qin[58]分別研究不含空間誤差的空間自回歸截面數(shù)據(jù)模型及含空間自回歸誤差的空間自回歸截面數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然推斷。Li等[59]研究含空間自回歸誤差的非參數(shù)回歸截面數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然推斷。

4.2 空間面板數(shù)據(jù)的經(jīng)驗似然

空間面板數(shù)據(jù)模型經(jīng)驗似然推斷的研究成果較少,已有結(jié)果主要集中在不含效應(yīng)(效應(yīng)的數(shù)學(xué)表述見第1章)的空間面板數(shù)據(jù)模型。文獻[36]研究含空間自回歸誤差的面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然推斷；Rong等[60]研究含空間自回歸誤差的空間自回歸面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然推斷；曾慶樊等[61]研究時變系數(shù)空間面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然推斷,這些論文均利用QML方法得到估計方程,再利用鞅差變換方法得到經(jīng)驗似然的得分函數(shù)。鞅差變換方法使用的前提是估計方程為模型誤差序列的線性-二次型的形式,這種條件在含效應(yīng)的空間面板數(shù)據(jù)模型(見第1章)中往往不成立,此時需要采用調(diào)整的經(jīng)驗似然方法處理。另外,動態(tài)空間面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗似然推斷也是值得研究的一個課題,同時,空間面板數(shù)據(jù)模型中對于空間和時間單元數(shù)(n和T)以及自變量的維數(shù)(k)是否趨于無窮大的各種假定下的經(jīng)驗似然推斷也值得研究。