張博宇， 張 偉

(北京工業(yè)大學(xué) 材料與制造學(xué)部機(jī)械結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)是由多層纖維增強(qiáng)材料鋪設(shè)而成，是具有兩種不同穩(wěn)定狀態(tài)的復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)。在機(jī)械力、智能材料、溫度場(chǎng)等外載荷驅(qū)動(dòng)下，可由一種穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N穩(wěn)態(tài)，并且無(wú)需持續(xù)的能量輸入即可維持穩(wěn)定構(gòu)型。Hyer[1]最早發(fā)現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)圓柱殼結(jié)構(gòu)具有雙穩(wěn)態(tài)特性。Daton-Lovett[2]發(fā)現(xiàn)反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)的復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)也能夠呈現(xiàn)出規(guī)則圓柱狀的兩種穩(wěn)態(tài)，引起了國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者的廣泛關(guān)注。雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)制造而成的產(chǎn)品在實(shí)際使用過(guò)程中不可避免地會(huì)受到周?chē)兓沫h(huán)境(例如溫度和濕度等)的影響，使雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)加工成型后不同穩(wěn)態(tài)的結(jié)構(gòu)形狀尺寸以及不同穩(wěn)態(tài)間的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過(guò)程發(fā)生改變，使得近年來(lái)眾多學(xué)者對(duì)溫度和濕度對(duì)雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的影響進(jìn)行研究。

復(fù)合材料從應(yīng)用性質(zhì)可分為功能和結(jié)構(gòu)復(fù)合材料兩大類(lèi)。功能復(fù)合材料主要具有特殊功能，目前已在航空航天、船舶海洋、石油化工、機(jī)械工程等方面得到了廣泛應(yīng)用[3]。結(jié)構(gòu)復(fù)合材料[4]是由增強(qiáng)物和基體組成，將增強(qiáng)材料按照一定方式加入到基底材料，具有明顯的非均勻性和各向異性性質(zhì)，從而克服單一材料性能的某些缺點(diǎn)，以獲得具有特殊力學(xué)性能的一類(lèi)新型材料。增強(qiáng)物起著承受載荷的主要作用，其幾何形式有長(zhǎng)纖維、短纖維和顆粒狀物等多種?；w起著黏結(jié)、支持、保護(hù)增強(qiáng)物和傳遞應(yīng)力的作用，常采用橡膠、石墨、樹(shù)脂、金屬和陶瓷等。

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料是一種高功能材料，它在力學(xué)性能、物理性能和化學(xué)性能等方面都明顯優(yōu)于單一材料，表現(xiàn)出高比模量、高比剛度、耐磨損和耐腐蝕等特性。復(fù)合材料層合板強(qiáng)大的可設(shè)計(jì)性，為振動(dòng)性能設(shè)計(jì)提供了極大潛力，使其在航空、航天和船舶等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在航空航天領(lǐng)域上，目前已經(jīng)有越來(lái)越多的部件采用纖維增強(qiáng)樹(shù)脂基復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)，所以對(duì)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的研究和開(kāi)發(fā)已從單純減輕重量角度，發(fā)展到了綜合考慮減重、增加使用壽命和承載能力等多種復(fù)雜因素的層面。這些結(jié)構(gòu)在使用過(guò)程中也會(huì)因各種實(shí)際復(fù)雜服役環(huán)境表現(xiàn)出各種非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題而影響設(shè)備的功能使用。振動(dòng)問(wèn)題產(chǎn)生的可能原因有結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)缺陷、制造誤差和安裝誤差等，所以有必要從復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的理論研究出發(fā)分析實(shí)際振動(dòng)問(wèn)題產(chǎn)生的本質(zhì)機(jī)理。因此，研究復(fù)合材料層合板的振動(dòng)特性工程意義極為重大，受到廣大科學(xué)工作者的高度重視。

按照纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板鋪層方式，可將其劃分為正交鋪設(shè)、反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)和一般角鋪設(shè)三種類(lèi)型。對(duì)于正交鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的研究，Harras等[5]研究了固支對(duì)稱(chēng)復(fù)合材料層合板的幾何非線(xiàn)性自由振動(dòng)，分析了非線(xiàn)性特性對(duì)共振頻率和非線(xiàn)性低階模態(tài)的影響。段紀(jì)成[6]討論了正交各向異性層合板的彎曲與振動(dòng)，建立了彎曲與振動(dòng)的控制方程與邊界條件。胡浩等[7]分析了幾何非線(xiàn)性黏彈性正交各向異性對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)的層合矩形板的非線(xiàn)性動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，得到了含有時(shí)間變量的非線(xiàn)性微積分方程。Leung等[8]利用三階剪切變形理論，研究了四邊簡(jiǎn)支條件下對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)的復(fù)合材料層合板非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為。Ye等[9]研究了正交對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)的復(fù)合材料層合板在參數(shù)激勵(lì)作用下的非線(xiàn)性振動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)，用攝動(dòng)分析法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的周期和混沌運(yùn)動(dòng)。Guo等[10-16]利用Reddy的高階剪切板理論研究了二自由度和三自由度正交對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)，受面外和面內(nèi)激勵(lì)聯(lián)合作用的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性及全局動(dòng)力學(xué)與混沌運(yùn)動(dòng)。

由于反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)的復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)常被應(yīng)用在直升飛機(jī)旋翼的設(shè)計(jì)中，對(duì)其非線(xiàn)性振動(dòng)特性的研究也在不斷增多。Swaminathan等[17]用改進(jìn)的高階剪切板理論得到了反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)靜態(tài)分析的解析解。Huang等[18]研究了在濕熱作用下剪切變形的反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性振動(dòng)和響應(yīng)，用高階剪切理論和von Karman變形理論，得到了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，分析了溫度，濕度變化和非線(xiàn)性因素等對(duì)固有頻率和振動(dòng)響應(yīng)的影響。Nath等[19]研究了彈性地基上反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)復(fù)合材料方板受到橫向連續(xù)載荷和階躍載荷作用的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。Soula等[20]利用經(jīng)典層合板理論、一階剪切變形理論和三階剪切變形理論研究了考慮阻尼影響的復(fù)合材料層合板的動(dòng)力學(xué)特性。同年，Aagah等[21]利用三階剪切變形理論研究了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)特性。Swaminathan等[22-23]用各種高階剪切簡(jiǎn)化理論和數(shù)值模型對(duì)反對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板進(jìn)行了靜力分析。Swaminathan等[24]又用高階剪切變形理論計(jì)算了反對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板自由振動(dòng)的固有頻率，指出Reddy的高階剪切理論得到的固有頻率比實(shí)際值偏高。

對(duì)于一般非對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)層合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能研究，Matsunaga[25-26]討論了角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的熱屈曲問(wèn)題并利用二維廣義的高階剪切變形理論研究了自由振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題。Weaver等[27]描述了非對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的大幅分叉現(xiàn)象，用[0°/90°]兩層的復(fù)合材料板驗(yàn)證了發(fā)生大幅分叉過(guò)程中能量的傳遞和結(jié)構(gòu)的變形情況。Guo等[28-29]研究了角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板在1∶1內(nèi)共振情況下非線(xiàn)性振動(dòng)的周期和混沌運(yùn)動(dòng)。Honda等[30]研究了短纖維和彎曲纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板振動(dòng)特性，考慮了由于短纖維引起的材料局部各向異性。

本文在經(jīng)典殼理論的基礎(chǔ)上，考慮溫度和濕度的影響，建立了反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)扁殼非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型。再應(yīng)用Galerkin方法對(duì)系統(tǒng)偏微分運(yùn)動(dòng)控制方程進(jìn)行三階離散，得到了雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在主共振Ω接近于ω1，內(nèi)共振為1∶2∶2條件下外激勵(lì)幅值變化對(duì)反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)條件下雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。

1 反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)扁殼的動(dòng)力學(xué)控制方程

反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合結(jié)構(gòu)是由正交各向異性單層結(jié)構(gòu)的材料主方向與坐標(biāo)軸夾角成0°和90°交錯(cuò)鋪設(shè)而成，剛度系數(shù)具有以下關(guān)系：(Q11)0°=(Q22)90°,(Q22)0°=(Q11)90°及Q16=Q16=0。因此有：A11=A22,A16=A26=D16=D26=B16=B26=0, 且可證明B12=B66,B22=-B11。選擇4層[0°/90°/0°/90°]作為鋪設(shè)方式，模型在激振器激發(fā)振動(dòng)下可以得到兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，如圖1所示。使用玻璃纖維和環(huán)氧樹(shù)脂基底作為制作材料，單層厚度為0.185 mm，其余材料參數(shù)如表1所示。

(a) 第一個(gè)平衡位置

(b) 第二個(gè)平衡位置圖1 雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)受激振器作用的模型圖Fig.1 Model diagram of bistable structure under the action of exciter

表1 S1002單層材料參數(shù)Tab.1 Single layer material parameters of S1002

在經(jīng)典層合殼理論的基礎(chǔ)上，考慮濕熱環(huán)境的影響，推導(dǎo)出濕熱環(huán)境下反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)殼的動(dòng)力學(xué)控制方程。首先，在濕度和溫度變化的環(huán)境中，單層殼材料主方向產(chǎn)生的應(yīng)力為

(1)

式中:α為材料的熱膨脹系數(shù)；β為材料的濕膨脹系數(shù)。

反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)復(fù)合材料的內(nèi)力N和內(nèi)力矩M的表達(dá)式可寫(xiě)作如下形式

(2)

式中:Aij為面向內(nèi)力與中面應(yīng)變有關(guān)的剛度系數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為拉伸剛度矩陣；Bij為彎曲、拉伸之間的耦合剛度矩陣；Dij為內(nèi)力矩與曲率及扭曲率有關(guān)的剛度系數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為彎曲剛度矩陣。

將式(1)代入式(2)中，可以得到

(3)

式中:NT、MT分別為由溫度產(chǎn)生的熱內(nèi)力和熱內(nèi)力矩；NH、MH分別為由濕度產(chǎn)生的濕內(nèi)力和濕內(nèi)力矩。

(4a)

(4b)

則中面產(chǎn)生的應(yīng)變和曲率可以表達(dá)為

(5)

其中，由溫度和濕度產(chǎn)生的應(yīng)變和曲率為

(6a)

(6b)

采用經(jīng)典非線(xiàn)性扁殼理論和馮卡門(mén)大變形理論，應(yīng)用Donnell圓柱殼中面的非線(xiàn)性幾何方程

(7a)

(7b)

(7c)

式中:u0,v0,w分別為圓柱殼中面上的點(diǎn)沿x,y,z方向上的位移；Rx,Ry分別為圓柱殼沿x,y方向上的初始截面曲率半徑。

由于扁殼振動(dòng)的主要方向是橫向撓度，因此忽略面內(nèi)的慣性。由于幾何方程中面內(nèi)位移與橫向位移之間存在耦合，故需引入相容方程以組成完整的方程組。平面應(yīng)力狀態(tài)下的雙曲扁殼的相容方程表達(dá)式為

(8)

扁殼振動(dòng)理論中獨(dú)立的內(nèi)力分量有六個(gè)：Nx、Ny、Nxy、Mx、My、Nxy，消去剪切力Nx、Qy后，可以得到3個(gè)動(dòng)力平衡方程

(9a)

(9b)

(9c)

式中:F為殼所受的外激勵(lì);γ為阻尼系數(shù)。3個(gè)內(nèi)力分量Nx、Ny、Nxy，可用艾雷應(yīng)力函數(shù)按下列方式加以聯(lián)系

(10a)

(10b)

(10c)

將式(7)代入式(8)中，可使動(dòng)力平衡方程式(9a)和式(9b)自動(dòng)滿(mǎn)足。再聯(lián)立式(3)與式(10)，可求得用Pij表示的中面應(yīng)變表達(dá)式

(11a)

(11b)

(11c)

可知，此時(shí)面內(nèi)、面外位移之間完成解耦，則非線(xiàn)性偏微分系統(tǒng)可以?xún)H由橫向位移w(x,y,t)和應(yīng)力函數(shù)Φ(x,y,t)表示。再將內(nèi)力和內(nèi)力矩的簡(jiǎn)化式(2)和中面應(yīng)變表達(dá)式(7)代入到動(dòng)力平衡方程式(9c)中，可得

(12)

代入相容方程式(8)中可得

(13)

在模態(tài)疊加法的討論中，連續(xù)系統(tǒng)的解可寫(xiě)作全部模態(tài)函數(shù)的線(xiàn)性組合。由于模型的邊界條件為四邊自由，中心固定支撐。因此，所選的形函數(shù)不需要滿(mǎn)足任何幾何邊界條件，則沿z方向的位移形函數(shù)表示如下

(14)

式中,Wij(t)為廣義坐標(biāo);wij(x,y)為系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)。下角標(biāo)i=0,1，…，M，j=0,1，…，N，所有形函數(shù)項(xiàng)均為非零的三角函數(shù)的組合運(yùn)算，其中M=4I+1，M×N即為近似時(shí)選取的自由度數(shù)。

由于所建模型為扁殼結(jié)構(gòu)，且橫向位移和應(yīng)力函數(shù)所定義的區(qū)域相同，因此假定它們可以以相同的形函數(shù)wij(x,y)進(jìn)行展開(kāi)。取橫向位移w、應(yīng)力函數(shù)Φ的振型函數(shù)形式如下所示

(15a)

(15b)

式中,Wij、Fmn分別為橫向位移w、應(yīng)力函數(shù)Φ的廣義坐標(biāo)，代入動(dòng)力平衡方程式(12)中有

(16)

代入相容方程式(13)中有

(17)

式中:()′=?/?x;()*=?/?y。

2 伽遼金離散

取λi=(πi)/L,γj=(πj)/L。將平衡方程式(16)兩邊同乘wab(x,y)，并在面積上積分

(18)

兩邊同除(ρhL2)/4，得到平衡方程式為

Ψab(Tkl+Cpq)=Fab

(19)

式中：

對(duì)相容方程式(17)的兩邊同乘wmn(x,y)，并在面積上積分有

(20)

令Fmn前系數(shù)為1，可得

(21)

將式(21)代入式(19)，可以得到最后的振動(dòng)微分方程表達(dá)式為

Ψab(Tab+Cab)=Fab

(22)

為書(shū)寫(xiě)方便，后續(xù)將撓度方向的位移wn改寫(xiě)為xn，ζn為系統(tǒng)的阻尼參數(shù)，ωn為系統(tǒng)的固有頻率之一；Mn為各個(gè)平方非線(xiàn)性項(xiàng)前的系數(shù)。

3 內(nèi)共振1∶2∶2時(shí)的攝動(dòng)分析

為了分析主共振，使強(qiáng)迫項(xiàng)的量階與非線(xiàn)性項(xiàng)和阻尼項(xiàng)一起出現(xiàn)在同一個(gè)攝動(dòng)方程中，引入與振幅有關(guān)的、無(wú)量綱的小參數(shù)ε。代入式(22)得系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程

εm4x1x2+εm5x1x3+εm6x2x3+ε(ΔT+ΔC)=

εf1cos(Ωt)

(23a)

εm10x1x2+εm11x1x3+εm12x2x3+ε(ΔT+ΔC)=

εf2cos(Ωt)

(23b)

εm16x1x2+εm17x1x3+εm18x2x3+ε(ΔT+ΔC)=

εf3cos(Ωt)

(23c)

根據(jù)ε的任意性，式中ε同次冪的系數(shù)必然自行平衡，從而得到如下方程組

ε0階

(24a)

(24b)

(24c)

ε1階

ΔC+f2cos(Ωt)

(25b)

ΔT+ΔC+f3cos(Ωt)

(25c)

由于式(24)的解依賴(lài)于參數(shù)ε，從而將解展開(kāi)為一次近似解一致展開(kāi)式

x1(t;ε)=x10(T0,T1)+εx11(T0,T1)

(26a)

x2(t;ε)=x20(T0,T1)+εx21(T0,T1)

(26b)

x3(t;ε)=x30(T0,T1)+εx31(T0,T1)

(26c)

由于式(24)是一個(gè)線(xiàn)性常微分方程，因此通解可以表示為

(27a)

(27b)

(27c)

將式(27)代入式(25)中，得

ΔC+cc+NST

(28a)

ΔC+cc+NST

(28b)

ΔC+cc+NST

(28c)

式中:cc為前面項(xiàng)的復(fù)共軛項(xiàng);NST為不產(chǎn)生長(zhǎng)期項(xiàng)的所有項(xiàng)。

同時(shí)利用有限元軟件ABAQUS對(duì)圖1的模型進(jìn)行仿真建模和數(shù)值分析，對(duì)比結(jié)果如表2所示。從表2可知，反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)層合扁殼前6階固有頻率值的理論與數(shù)值模擬對(duì)比結(jié)果的平均誤差率僅為0.197%，可知理論解與仿真結(jié)果具有良好的一致性，進(jìn)而驗(yàn)證了理論方法應(yīng)用在雙穩(wěn)態(tài)線(xiàn)性系統(tǒng)上的可行性。

表2 反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)扁殼固有頻率值的理論值與有限元對(duì)比Tab.2 Comparison between theoretical value and finite element method of natural frequency value of antisymmetric bistable shallow shell

由線(xiàn)性系統(tǒng)的固有頻率可知，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中第3～第5階存在1∶2∶2內(nèi)共振關(guān)系。在主共振Ω接近ω1的前提下，令Ω=ω1+εσ1,ω2=2ω1+εσ2,ω3=2ω1+εσ3,其中σ1、σ2、σ3為調(diào)諧參數(shù)，將其代入式(28)其可解性條件為

(29a)

(29b)

(29c)

此時(shí)引進(jìn)極進(jìn)式符號(hào)，令A(yù)n=(aneiθn)/2，并將所得結(jié)果分為實(shí)部和虛部，得到

(30c)

(30d)

(30e)

(30f)

式中：

γ1=θ2-2θ1+σ2T1

(31a)

γ2=θ3-2θ1+σ3T1

(31b)

γ3=σ1T1-θ1

(31c)

消去θ1和θ2，得到極坐標(biāo)下的平均方程

(32a)

(32b)

(32c)

(32d)

(32e)

(32f)

令A(yù)1=x1+ix2,A2=x3+ix4,A3=x5+ix6。同時(shí)代入式(29)的條件中，得到直角坐標(biāo)的平均方程，形式如下

(33c)

(33d)

(33e)

(33f)

4 內(nèi)共振1∶2∶2時(shí)的分叉和混沌動(dòng)力學(xué)分析

通過(guò)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在溫度為30 ℃，濕度為60%RH的條件下，主共振Ω接近于ω1和1∶2∶2內(nèi)共振結(jié)合的情況下的直角坐標(biāo)平均方程式(33a)～式(33f)，利用數(shù)值方法分析雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)隨外激勵(lì)改變而發(fā)生的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為特性。

首先給定初始條件為x1=0.1,x2=0.24,x3=0.15,x4=0.26,x5=0.13,x6=0.28,其他參數(shù)取值為μ1=0.25,μ2=0.12,μ3=0.2,m4=5.8,m5=3.4,m7=2.5,m13=1.2,ΔT=0.025, ΔC=0.065。在直角坐標(biāo)平均方程中，f1為與外激勵(lì)相關(guān)的參數(shù)，這里選定f1為控制參數(shù)來(lái)研究系統(tǒng)受到外激勵(lì)影響的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性。

反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)第1階和第2階模態(tài)的分叉圖，如圖2和圖3所示。橫坐標(biāo)軸表示的是與外激勵(lì)有關(guān)的f1的變化，縱坐標(biāo)軸表示的是與系統(tǒng)第1階和第2階振幅相關(guān)的x1和x3的變化。隨著外激勵(lì)的增大，該系統(tǒng)的分叉圖出現(xiàn)明顯的上下振動(dòng)現(xiàn)象，這表明反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)層合圓柱殼的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)的基本特征。在f1∈[6.5,7.3]的區(qū)間內(nèi)，雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)一直處于倍周期狀態(tài)之中。在f1∈[7.3,8.5]的區(qū)間內(nèi)，雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)處于混沌運(yùn)動(dòng)當(dāng)中，振幅不斷擴(kuò)大。

圖2 反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)第1階模態(tài)的分叉圖Fig.2 Bifurcation diagram of first-order modal of cross-ply laying bistable system

圖3 反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)第2階模態(tài)的分叉圖Fig.3 Bifurcation diagram of second-order modal of cross-ply laying bistable system

反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)圖，如圖4所示。橫坐標(biāo)軸表示的是與外激勵(lì)有關(guān)的f1的變化，縱坐標(biāo)軸表示的是最大李雅普諾夫指數(shù)。從圖4可知，在f1接近6.8左右的區(qū)間內(nèi)，最大李雅普諾夫指數(shù)小于零，當(dāng)在f1的其余區(qū)間內(nèi)，最大李雅普諾夫指數(shù)一直大于零，說(shuō)明雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)一直處于混沌狀態(tài)之中。下面將選定f1的取值，給出不同外激勵(lì)值下系統(tǒng)的波形圖、相圖、龐加萊截面圖以及頻譜圖。

圖4 反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.4 The maximum Lyapunov exponent diagram of cross-ply laying bistable system

選定不同外激勵(lì)f1的參數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相圖、時(shí)間歷程圖、Poincaré截面圖和頻譜圖,如圖5～圖8所示。在各圖中，圖(a)和圖(b)分別為在空間(x4,x5,x6)上的三維相圖和(t,x5)上的時(shí)間歷程圖，圖(c)和圖(d)分別為空間(x1,x2,x3)上的三維相圖和二維平面(x1,x2)的二階模態(tài)相圖，圖(e)和圖(f)分別為在二維平面(x1,x2)上的Poincaré截面和頻譜圖。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)圖5 f1=7.5時(shí)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)Fig.5 Chaotic motion when f1=7.5

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)圖6 f1=7時(shí)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)Fig.6 The periodic motion when f1=7

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)圖7 f1=8時(shí)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)Fig.7 Chaotic motion when f1=8

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)圖8 f1=8.5時(shí)系統(tǒng)的混沌運(yùn)Fig.8 Chaotic motion when f1=8.5

當(dāng)f1=7.5時(shí)，由圖5可知，系統(tǒng)發(fā)生了混沌現(xiàn)象。系統(tǒng)的相圖軌跡雜亂密集并且明顯有界，頻譜圖中出現(xiàn)了連續(xù)譜，龐加萊映射中出現(xiàn)無(wú)數(shù)映射點(diǎn)，最大李雅普諾夫指數(shù)大于零，這些都說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)中發(fā)生了混沌運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)f1=7時(shí)，由圖6可知，系統(tǒng)發(fā)生了周期現(xiàn)象。系統(tǒng)的二維、 三維相圖中呈現(xiàn)出環(huán)狀稠密軌道，龐加萊映射中出現(xiàn)密集映射點(diǎn)，頻譜圖是離散譜，且最大李雅普諾夫指數(shù)接近于零。由圖6的這些特征可判斷，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了概周期運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)f1=8時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，系統(tǒng)的相圖軌跡雜亂密集并且明顯有界，頻譜圖中出現(xiàn)了連續(xù)譜，龐加萊映射中出現(xiàn)無(wú)數(shù)映射點(diǎn)，最大李雅普諾夫指數(shù)大于零，這些都說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)中發(fā)生了混沌運(yùn)動(dòng)(見(jiàn)圖7)。

當(dāng)f1=8.5時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，系統(tǒng)的相圖軌跡雜亂密集并且明顯有界，波形圖表明系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)特征，頻譜圖中出現(xiàn)了連續(xù)譜，龐加萊映射中出現(xiàn)無(wú)數(shù)映射點(diǎn)，最大李雅普諾夫指數(shù)大于零，這些都說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)中發(fā)生了混沌運(yùn)動(dòng)(見(jiàn)圖8)。

5 結(jié) 論

本文對(duì)濕熱環(huán)境下的反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)建模和非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)分析。得出以下主要結(jié)論：

(1) 在經(jīng)典殼理論的基礎(chǔ)上，考慮溫度和濕度的影響，在本構(gòu)方程中加入熱膨脹系數(shù)和濕膨脹系數(shù)。

(2) 聯(lián)立相容方程和動(dòng)力平衡方程以建立模型，得到了反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)的偏微分運(yùn)動(dòng)控制方程。最后應(yīng)用Galerkin方法對(duì)系統(tǒng)偏微分運(yùn)動(dòng)控制方程進(jìn)行三階離散，得到了三自由度的常微分運(yùn)動(dòng)控制方程。

在溫度為30 ℃，濕度為60%RH的條件下進(jìn)行了多尺度分析和攝動(dòng)分析，得到了1∶2∶2內(nèi)共振條件下的反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。由系統(tǒng)分叉圖可知，反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)存在周期和混沌等典型非線(xiàn)性現(xiàn)象。取一定的參數(shù)值，利用相圖、時(shí)間歷程圖、頻譜、龐加萊映射、最大李雅普諾夫指數(shù)分析了系統(tǒng)的具體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，說(shuō)明激勵(lì)對(duì)雙穩(wěn)態(tài)模型的動(dòng)力學(xué)特性有顯著影響。