羅天舒,周書偉,湛奇昊,張秋長

(廈門大學(xué) 嘉庚學(xué)院,福建 漳州 363105)

費馬原理是光學(xué)理論的重要基礎(chǔ)之一,是幾何光學(xué)領(lǐng)域中高度概括性的原理[1－2],它令之前似乎彼此獨立無關(guān)的光的直線傳播定律、反射定律、折射定律以及光路可逆性原理有了一個統(tǒng)一簡捷、優(yōu)美的表述。費馬原理大多應(yīng)用于透明介質(zhì)中的幾何光學(xué)問題的研究[3－8],暫未發(fā)現(xiàn)推廣應(yīng)用在吸收介質(zhì)中。雖然有研究利用費馬原理研究了光線在各向同性介質(zhì)界面處的旋轉(zhuǎn)和折射,獲得折射率比值為復(fù)數(shù)形式的折射定律[9],但該文中的復(fù)折射率的虛部不同于吸收介質(zhì)的復(fù)折射率的虛部,前者代表光線旋轉(zhuǎn),后者與光的衰減有關(guān)。對于吸收介質(zhì),有研究者用吸收介質(zhì)的復(fù)折射率參數(shù)代替透明介質(zhì)中的折射率參數(shù)獲得吸收介質(zhì)中復(fù)數(shù)形式的折射定律[1,10－11],但這樣處理會出現(xiàn)光路不可逆[12],有一定的局限性,必須考慮等幅面與等相面兩單位矢量之間的夾角對光線實際路徑的影響[13]。本文通過定義復(fù)有效折射率,利用費馬原理推導(dǎo)出光在吸收介質(zhì)界面折射時的折射定律,最后用傳播的有效折射率代替透明介質(zhì)折射定律中的折射率即可獲得光在吸收介質(zhì)中的折射定律,為費馬原理在吸收介質(zhì)中的應(yīng)用提供一種思路。

1 光在吸收介質(zhì)中的傳播

圖1 光在吸收介質(zhì)中的傳播

參數(shù)Ns、Nq可以分別看作是光在吸收介質(zhì)中傳播的有效折射率和衰減的有效折射率。定義為復(fù)有效折射率,則吸收介質(zhì)中的復(fù)波矢為

2 光在吸收介質(zhì)界面的折射

考慮光從空氣中的A點經(jīng)過界面P點折射到吸收介質(zhì)的B點。如圖2所示,已知點A和y軸之間的距離AC＝z1、點B和y軸之間的距離BD＝z2、CD＝l,令CP＝x、CE＝x2,E點為衰減矢量qt的反向延長線和y軸的交點,P點不固定的,但它涵蓋了光學(xué)路徑長度如下:

圖2 光在吸收介質(zhì)界面的折射

根據(jù)幾何關(guān)系可知:

根據(jù)費馬原理,x和x2滿足如下方程:

將(5)式代入(6)式計算得:

由(3)式可知,NsdNs＝NqdNq,同時可獲得如下關(guān)系:

從上式可知,用傳播的有效折射率代替透明介質(zhì)折射定律中的折射率即可獲得吸收介質(zhì)中的折射定律。結(jié)合(3)式可得傳播的有效折射率和衰減的有效折射率分別表示如下:

Born和Wolf分析和處理光從介質(zhì)入射到吸收介質(zhì)時,給出了一組計算公式,已知介質(zhì)(折射率為ni)一側(cè)的入射角θi和吸收介質(zhì)的復(fù)折射率,即可計算在吸收介質(zhì)一側(cè)發(fā)生的實折射角[1]:

上式中折射角θτ是基于Snell公式的一般意義上在吸收介質(zhì)一側(cè)的復(fù)折射角,nt和θt分別是基于Snell公式的吸收介質(zhì)的等效實數(shù)折射率和光在吸收介質(zhì)一側(cè)的實折射角,q和γ是計算時引入的中間參數(shù)。

圖3 光從空氣入射吸收介質(zhì)時折射角θt與入射角θi關(guān)系

當(dāng)介質(zhì)均為非吸收時,κ＝0,由(10a)式可知Ns＝n,則(9)式簡化為:

上式和Snell折射定律的形式完全一致。

3 算例

根據(jù)(10)式,考慮光從空氣(ni＝1)入射20%濃度IntralipidTM溶液[16](復(fù)折射率為1.365＋i0.008)以及復(fù)折射率分別為1.365＋i0.08、1.365＋i0.8的三種樣品對Ns和Nq分別進(jìn)行模擬計算。從圖4可知,當(dāng)θi入射角較大,且吸收介質(zhì)的虛部較小時,傳播的有效折射率可以用實部代替計算。從圖5可知,衰減的有效折射率隨入射角的增大而變大,且虛部越大衰減的有效折射率也越大。

圖4 傳播有效折射率N s和入射角θi的關(guān)系

圖5 衰減有效折射率N q和入射角θi的關(guān)系

再考慮吸收介質(zhì)的實部相同,分別按(9)式對20%濃度IntralipidTM溶液以及取另四種樣品的折射率實部均為1.365、虛部則分別為0的透明介質(zhì)0.08、0.8和1.6的三種吸收介質(zhì)進(jìn)行模擬計算。如圖6所示,當(dāng)θi較小時,折射角θt與θi近似成線性變化關(guān)系,當(dāng)θi比較大時,折射角θt隨θi的增大基本保持不變。當(dāng)虛部較小時吸收介質(zhì)中的折射角和透明介質(zhì)的折射角幾乎重合。

圖6 折射角θt與入射角θi關(guān)系

4 結(jié)論

通過定義復(fù)有效折射率,利用費馬原理研究光在吸收介質(zhì)界面的折射,可以獲得光通過吸收介質(zhì)界面時的折射定律。當(dāng)入射角較大,且吸收介質(zhì)的虛部較小時,吸收介質(zhì)中的折射角和透明介質(zhì)的折射角幾乎重合,傳播的有效折射率可以用復(fù)折射率的實部代替;衰減的有效折射率隨入射角的增大而變大,且虛部越大衰減的有效折射率也越大;當(dāng)入射角較小時,折射角與入射角近似成線性變化關(guān)系。