張芬,吳紅星,石黃萍,周富磊

(1.上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,江西 上饒 334001;2.上饒中學(xué),江西 上饒 334001)

微積分的主要研究對象是初等函數(shù),初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算復(fù)合而成的[1－2]。近年來,許多學(xué)者對函數(shù)的求導(dǎo)方法進(jìn)行了研究[3－10]。文獻(xiàn)[3－4]討論了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;文獻(xiàn)[5]給出了隱函數(shù)的幾類求導(dǎo)方法;文獻(xiàn)[6－7]研究了冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法;文獻(xiàn)[8]研究了利用輔助函數(shù)來求解冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求導(dǎo)的過程相對簡便和易于理解;文獻(xiàn)[9]討論了如何求解由參數(shù)方程所組成函數(shù)的導(dǎo)數(shù);文獻(xiàn)[10]闡述了如何高效地求解高階導(dǎo)。本文擬對微積分中函數(shù)求導(dǎo)的若干方法進(jìn)行研究,分析相關(guān)函數(shù)求導(dǎo)時的易錯點,為教師在函數(shù)求導(dǎo)方面的教學(xué)提供便利,為大學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)求導(dǎo)提供幫助。

1 導(dǎo)數(shù)的四則運算法

引理1[1]如果函數(shù)u(x)和v(x)在點x處具有導(dǎo)數(shù),則他們的和、差、積及商(除分母為零的點外)都在x點處有導(dǎo)數(shù),并且:

引理1中的法則(1)和(2)適用于有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形。

例1 已知y＝sinx·cosx－ex＋arctanx－ln2,求y′。

解:由求導(dǎo)的四則運算公式可得:

說明:常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為零,例如:C(任意常數(shù))、e2及l(fā)na(其中a為任意常數(shù))等等各種形式的常數(shù)表達(dá)式,對其求導(dǎo)所得的導(dǎo)函數(shù)均為零。學(xué)生在求導(dǎo)的過程中往往會被e2和lna的常數(shù)形式所誤導(dǎo),對其求導(dǎo)的時候用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的公式去運算,那將導(dǎo)致所求結(jié)果錯誤,所以在求導(dǎo)的過程中一定要牢記無論何種形式的常數(shù)對其求導(dǎo)都等于零。

解:由求導(dǎo)的四則運算公式可得:

2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

設(shè)u＝u(x)在點x處可導(dǎo),函數(shù)y＝f(u)在點u＝u(x)處可導(dǎo),則可得復(fù)合函數(shù)y＝f(u)在點x處可導(dǎo),且其求導(dǎo)公式可以推廣到多個中間變量的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)上。

解:由題意可得,本題是復(fù)合函數(shù),故由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法可求出其導(dǎo)數(shù),現(xiàn)分別給出錯誤解法和正確解法,如下:

錯誤解法:函數(shù)y＝ef(x3)可看成由y＝eu,u＝f(x3)復(fù)合而成,故:

正確解法:函數(shù)y＝ef(x3)可看成由y＝eu,u＝f(x3),v＝x3復(fù)合而成,故:

說明:求導(dǎo)時我們應(yīng)采取“剝洋蔥”的方式,一層層往里“剝”。例3求導(dǎo)時學(xué)生往往只記得對f關(guān)于x求導(dǎo)得f′,而忽略了內(nèi)部x3關(guān)于x求導(dǎo),最終導(dǎo)致結(jié)果錯誤。

3 隱函數(shù)的求導(dǎo)法

首先,設(shè)為F(x,y)＝0隱函數(shù);其次,對F(x,y)＝0兩邊同時關(guān)于x求導(dǎo),求導(dǎo)的過程中把y看成y(x),再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法;最后,通過整理可得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

例4 設(shè)y4－sinxy－ex＋ln2＝0,求y′。

解:由題意可得,所給的函數(shù)是隱函數(shù),故求導(dǎo)的時候用隱函數(shù)的求導(dǎo)法,現(xiàn)分別給出錯誤解法和正確解法,并給出解決此類題目時的注意事項,如下:

錯誤解法:

正確解法:

說明:其中y4關(guān)于x求導(dǎo)時,應(yīng)將y看成y(x),即y4＝y(tǒng)4(x),故令u＝y(tǒng)(x),可得y4(x)＝u4,所以求導(dǎo)的時候利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法可得:

在求解此類隱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)時,學(xué)生容易錯誤地認(rèn)為y4關(guān)于x求導(dǎo)等于4y3,忽略了y是關(guān)于x的函數(shù),即y＝y(tǒng)(x),從而忘記對y(x)關(guān)于x求導(dǎo)。

4 冪指函數(shù)的求導(dǎo)法

從冪指函數(shù)y＝u(x)v(x)的形式上看,我們無法直接將其歸納為冪函數(shù)或者指數(shù)函數(shù),因為它既有冪函數(shù)的性質(zhì)也有指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),所以在求導(dǎo)的過程中我們不能直接用冪函數(shù)的求導(dǎo)法則或者指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則。冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式在微積分課本中沒有直接給出,在此我們將通過一個例題引入相關(guān)的求導(dǎo)法則。

例5 設(shè)y＝xcosx,求y′。

解:本例題無法直接通過求導(dǎo)公式求導(dǎo),所以在此得通過構(gòu)造函數(shù),然后再對其求導(dǎo),現(xiàn)給出兩種解法:

解法1:關(guān)于y＝xcosx兩邊同時取對數(shù),可得lny＝lnxcosx＝cosxlnx,然后根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法,分別對lny＝cosxlnx的兩邊關(guān)于x求導(dǎo),可得:

解法2:對于冪指函數(shù)y＝xcosx,可通過指數(shù)對數(shù)恒等變形,可得y＝elnxcosx＝ecosxlnx,則:

由以上兩種方法,我們可以歸納出冪指函數(shù)y＝u(x)v(x)的求導(dǎo)公式如下:

現(xiàn)給出冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式證明如下:

證明:因為y＝u(x)v(x)關(guān)于x可導(dǎo),所以,u(x),v(x)在定義域內(nèi)連續(xù)和可導(dǎo),故由導(dǎo)數(shù)的定義可知:

所以:

證畢。

解:冪指函數(shù)y＝xex可看成由u(x)＝x,v(x)＝ex復(fù)合而成,則運用冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式可得:

由本題可知,若記住了冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式,則在解決冪指函數(shù)的求導(dǎo)問題時可以事半功倍。

5 參數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法

除了上述幾種類型的求導(dǎo)法外,還有參數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法,也即y＝y(tǒng)(t),x＝x(t),此時讓我們求從所給的式子中,不難發(fā)現(xiàn),x和y之間沒有直接關(guān)系,而是通過一個中間變量t聯(lián)系在一起,由此可得:

相應(yīng)可得y關(guān)于x的二階導(dǎo),即:

解:由參數(shù)方程的求導(dǎo)法則可得:

所以:

說明:學(xué)生關(guān)于參數(shù)函數(shù)求一階導(dǎo)時,幾乎不會碰到易錯點,但對于求參數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)時,往往會犯相同的錯誤,即:只記得在參數(shù)函數(shù)一階導(dǎo)的基礎(chǔ)上對變量t求導(dǎo),而忽略了分母的x也需對t求導(dǎo),最后導(dǎo)致結(jié)果出錯,所以在求參數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)時,要牢記分子、分母需同時對t求導(dǎo)。