廣東省佛山市順德區(qū)杏壇中學(xué) (528325) 陳美茹

1.題目展示

(選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.5的拓廣探究第15題)已知點(diǎn)P(-2,-3)和以Q為圓心的圓(x-4)2+(y-2)2=9.

(1)畫出以PQ為直徑，Q′為圓心的圓，再求出圓Q′的方程；

(2)設(shè)圓Q與圓Q′相交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB是圓Q的切線嗎?為什么?

(3)求直線AB的方程.

2.題目的背景及考查目標(biāo)

(1)題目的基本背景

①圓的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程；

②圓周角定理的推論：圓的直徑所對(duì)的圓周角等于90°及切線的判定定理；

③幾何公理：平面內(nèi)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線.

(2)題目的主要考查目標(biāo)

①知識(shí)點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系；

②思想方法：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、坐標(biāo)法等；

③能力：運(yùn)算、推理論證、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力.

3.題目的解題思路

第(1)問(wèn)的分析：求圓Q′的方程，就得考慮求它的圓心與直徑.結(jié)合已知條件條件，可利用P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)求圓心Q′和直徑，而Q的坐標(biāo)由圓Q的方程可得.

圖1

解題關(guān)鍵點(diǎn)：把求圓Q′的方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓心Q′和直徑，可利用相關(guān)幾何特征輕易突破.

第(2)問(wèn)的分析：如何判斷是否切線，一般思路有：一是圓心到直線距離是否相等(從數(shù)的角度)；二是直線是否符合平面幾何的切線判定定理(從形的角度).而根據(jù)條件A、B是圓Q、Q′的公共點(diǎn)且PQ是圓Q′的直徑，可以得到PA⊥AQ、PB⊥BQ，于是符合切線判定定理，問(wèn)題解決.

(2)PA，PB是以Q為圓心的圓的切線.因?yàn)辄c(diǎn)A、B在圓Q:x2+y2-2x+y-14=0上，且PQ是圓Q′的直徑，所以PA⊥AQ、PB⊥BQ.所以PA，PB是以Q為圓心的圓的切線.

解題關(guān)鍵點(diǎn)：挖掘條件中隱含著PA⊥AQ、PB⊥BQ，并通過(guò)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為A、B與圓Q、Q′的關(guān)系.

第(3)問(wèn)的分析：求直線AB的方程，就得考慮與A、B有關(guān)數(shù)量條件：由已知A、B是圓Q、Q′的公共點(diǎn)，因此可轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系(即坐標(biāo)關(guān)系)：兩點(diǎn)坐標(biāo)是兩圓方程的公共解，也就是兩圓方程相減所得一次方程的解；聯(lián)系到兩點(diǎn)確定一條直線這一幾何公理，得出結(jié)論.

(3)A、B是圓Q、Q′的公共點(diǎn)，則其坐標(biāo)是(x-4)2+(y-2)2=9與x2+y2-2x+y-14=0的公共解，兩方程相減并化簡(jiǎn)得6x+5y-25=0，即A、B在直線6x+5y-25=0上.又兩點(diǎn)確定一條直線，則直線AB：6x+5y-25=0.

解題關(guān)鍵點(diǎn)：把A、B的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系；可通過(guò)把握幾何圖形上的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的解之間關(guān)系突破.

4.題目求解的思想方法

(1)找出條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的轉(zhuǎn)化；

(2)利用數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系(即坐標(biāo)關(guān)系)與幾何特征的互化；

(3)利用轉(zhuǎn)化與化歸，把A、B的幾何特征轉(zhuǎn)化為兩圓方程的公共解問(wèn)題，從而解決問(wèn)題.

5.題目的推廣

為挖掘這一教材習(xí)題的教學(xué)價(jià)值，可對(duì)其做如下變式，從而引導(dǎo)學(xué)生從“變”發(fā)現(xiàn)“不變”的解析幾何本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律.

意圖：通過(guò)變換問(wèn)題表征，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征背后的相同數(shù)學(xué)本質(zhì).

(2)改變探求方向，延伸特征研究.如第(1)問(wèn)改為“求出與圓Q：(x-4)2+(y-2)2=9關(guān)于P(-2,-3)對(duì)稱的圓的方程”，或者改為“若Q′為圓Q：(x-4)2+(y-2)2=9上動(dòng)點(diǎn)，求線段PQ′中點(diǎn)M的軌跡方程”；又如第(3)問(wèn)改為“求弦長(zhǎng)|AB|及△PAB的面積”等.

意圖： 通過(guò)延伸特征研究，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)利用數(shù)形結(jié)合思想與坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題.

(3)轉(zhuǎn)換問(wèn)題背景，實(shí)現(xiàn)方法遷移.如把題目改為：“已知點(diǎn)P(-1,-1)和以Q為圓心的圓(x-1)2+(y-1)2=9，過(guò)P作出圓Q的切線，兩個(gè)切點(diǎn)為A，B，求直線AB的方程.”

意圖：引導(dǎo)學(xué)生再次經(jīng)歷直線與圓的關(guān)系問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩圓相交問(wèn)題這一過(guò)程，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想.

(4)變靜為動(dòng)，加深數(shù)學(xué)理解.如把題目改為：“已知點(diǎn)P(-2,-3)和以Q為圓心的圓(x-4)2+(y-2)2=9，過(guò)P點(diǎn)的直線l與圓Q有交點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍.”或者根據(jù)原題中直線PQ：5x-6y-8=0，把題目改為：“已知點(diǎn)P(a,b)在直線5x-6y-8=0上，圓Q：(x-4)2+(y-2)2=9，試根據(jù)a的范圍討論以PQ為直徑的圓與圓Q的位置關(guān)系”等.

意圖：通過(guò)變靜為動(dòng)，提高學(xué)生對(duì)解析幾何的理解，滲透運(yùn)動(dòng)思想.

總之，習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)課的主要環(huán)節(jié)，它的有效性決定著教學(xué)目標(biāo)落實(shí)的程度.認(rèn)真剖析教材習(xí)題，從多角度挖掘其教學(xué)價(jià)值，這樣不僅能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，還能讓學(xué)生在解題的準(zhǔn)確性、靈活性和敏捷性上得到有效的提高.