江蘇省如東縣馬塘初級中學 (226400) 王 陳

涂榮豹教授在文[1]中提到：教學生學會思考就是教“解題思路是怎樣想到的”，也就是說要“讓學生自己想到”.但是，解題思路的教學一直是數(shù)學解題教學的難題.本文就一道2021年上海中考題為例，談談解題教學的設計及其思考.

一、求解思路

考題(2021年上海中考題)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是對角線AC的中點，聯(lián)結BO并延長交邊CD或邊AD于點E.

(2)若DE=2，OE=3，求CD的長.

圖1

(2)由于點E的位置并沒有明確，所以需要分類討論，比如點E在AD上或點E在CD上.

情形1：如圖2，當點E在AD上時，可先證出四邊形ABCE是矩形.設AD=CD=x，在Rt△ACE和Rt△DCE中，將CE“算兩次”，即CE2=AC2-AE2，CE2=CD2-DE2，可得62-(x-2)2=x2-22，解得x=1或x=1(舍去).故CD=1.

圖2

二、解題教學微設計

教學環(huán)節(jié)一 基礎熱身

出示“考題”，預設以下問題啟發(fā)學生自主尋找“考題”第(1)①、②問的思路.

問題1：△DAC與△OBC形狀有什么特殊？你是從題目中哪些條件解讀出來的？

問題2：圖1中，與∠DAC相等的角有哪些，用一個記號把它們都標注出來；

問題3：若BE⊥CD，△BEC成為一個直角三角形了，它會是一個特殊的直角三角形形嗎？

問題4：“破譯”出圖形中有多個30°的銳角之后，待分析的值，你們有哪些好的思路呢？你能直接看出△ADC的三邊之比嗎？

教學環(huán)節(jié)二 拾級而上

預設以下問題，啟發(fā)學生自主攻克“考題”第(2)問的第1種情形“點E在AD上”.

問題5：再讀一下“題干”，點E有沒有明確在四邊形ABCD的哪條邊上？在開始處理第(2)問時，你覺得首先要怎樣去思考？(預設學生要想到分類討論，考慮點E在不同的邊上)

問題6：當點E在邊AD上時，你覺得本題的圖形該如何構造？有哪些特殊的地方呢？比如四邊形ABCE是否比較特殊？

問題7：如圖2，在△ACD中，CE可看成該三角形高，這個三角形中有哪些線段的長是確定的？還有哪些邊長之間具有等量關系？該如何求△ACD的邊長CD呢？

問題8：“算兩次”是種重要的解題方法，在本題中，你體會到“算兩次”方法的價值了嗎？

教學環(huán)節(jié)三 攻克難點

問題9：當點E在CD上時，圖形仍然可以用圖1進行分析，除了第(1)①問已證過的兩個三角形相似(△DAC∽△OBC)之外，本圖中還有哪些三角形也能相似嗎？(預設：△EOC∽△ECB)

問題10：上面兩組三角形相似能帶來哪些對應邊成比例，將它們書寫、對齊，研究一下，這些對應邊中共有幾個未知量，能否用較少的未知數(shù)來表示它們？

圖3

問題11：設AD=CD=x，再設OB=OC=m，試用含x，m的式子，表示出兩組相似三角形的相應對應邊的比例式，整理一下，看看有什么進展？是否消去m得到關于x的方程？

問題12：另解思考，如圖3，延長BE，AD交于點F，能否用含x的式子表示EF？從而運用△DEF∽△CEB列出關于x的方程.

教學環(huán)節(jié)四 解后回顧

小結問題1：本題求解過程中，你覺哪一個步驟是最關鍵的，請說說你的理解；

小結問題2：反觀解題過程中，遇到了不少基本圖形、特殊圖形，你覺得這些基本圖形的哪些性質對解題是有較大幫助的？

小結問題3：有同學針對第(2)問總是容易漏解，你有什么好的建議給他說說嗎？

小結問題4：繼續(xù)探究“考題”最后一問，點E在邊CD上時，有沒有其他的方法？(預設兩種輔助線構造方法，如圖4，連接DO并延長交BC于F，過點F作FG∥BE交CD于點G；或者如圖5，作AF∥BE交CD的延長線于點F，供同學們課后繼續(xù)探究)

圖4

圖5

三、解題教學的一些思考

(1)精心預設教學引導語，讓學生自己想到解法

如涂榮豹教授指出的，解題教學要“以尋找思路為核心”，特別是解題教學的重點不是“解題”而是“學解題”.學生往往特別關注解題結果，而“學解題”的關鍵是解題方法或思路是如何發(fā)生、找到、接通的.所以在本文“考題”的教學微設計中，我們注重給出了針對每個小問的教學引導語，以問題驅動教學進程，讓學生能在這些啟性用語的幫助下，自己想到解法.這樣學生不僅解決了問題，而且收獲了解題方法和解題自信.特別是，經(jīng)常安排這樣的啟發(fā)式教學，學生在以后獨立遇到陌生問題的探究時，就可以聯(lián)想到老師是如何啟發(fā)自己理解題意、獲得思路.長此以往，學生會在“春風化雨、潤物無聲”中提升解題能力.

(2)重視解題回顧與反思，讓學生想清關鍵步驟

解題教學的最后環(huán)節(jié)要安排回顧與反思，精心預設一些小結問題，帶領學生圍繞本課所學進行回顧反思，特別是可以針對解題進程中的關鍵步驟進行回顧，考慮到不同層次學生對解題全過程中的關鍵步驟的理解可能會有差異，這時可安排學生小組內先交流，然后再全班匯報.另外，課堂上因為教學時間所限，若針對某個問題的“一題多解”沒有能充分展開，可以作為小結時提出其他解法的一些思路或輔助線構造，安排學有余力的學生課后繼續(xù)鉆研.

(3)開展“一題一課”教學，讓學生“長時間思考”

圍繞一道典型考題安排一節(jié)課進行專題教學是目前老師踐行“一題一課”成功經(jīng)驗，實踐表明，這類課型可以促進學生圍繞某個經(jīng)典問題進行“長時間思考”，從“快思”走向“慢想”的效果是對這類問題更具深刻的理解，也就能更好地踐行“學深、悟透、學活”的教學目標.