云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院（650500）陳坤美

一、高考數(shù)學(xué)開放題的命制要求與分類

隨著素質(zhì)教育的逐步推進和落實，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）和《中國高考評價體系說明》進一步要求高考數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計不僅要注重與“雙基”緊密聯(lián)系，還要突出對核心素養(yǎng)的考查?！缎抡n標(biāo)》在“命題原則”中指明，“數(shù)學(xué)高考命題既要有一定數(shù)量的應(yīng)用問題，還應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，重點考查學(xué)生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識；《中國高考評價體系說明》則強調(diào)“高考命題要通過多種形式命制結(jié)論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題，增強試題的開放性和探究性，引導(dǎo)學(xué)生打破常規(guī)進行獨立思考和判斷，提出解決問題的方案，考查學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)”。

條件和結(jié)論是一個問題最基本的兩個要素，一般將“條件明確，結(jié)論唯一”的問題稱為封閉題，而將“條件明確，結(jié)論不唯一”“條件不明確，結(jié)論唯一”“條件不明確，結(jié)論不唯一”的問題稱為開放題。在《新課標(biāo)》與《中國高考評價體系說明》的指導(dǎo)下，2021 年10 套數(shù)學(xué)高考卷中共設(shè)置了6 道不同程度的開放題。

二、2021年高考數(shù)學(xué)開放題例析

（一）條件明確，結(jié)論不唯一

［例1］（北京卷第14題）若P(cosθ,sinθ) 與關(guān)于y軸對稱，寫出一個θ的值_________。

解析：

圖1

評析：此題由于θ的多值性導(dǎo)致結(jié)論有無限多個，如果將所求改編為“θ的值為___________”，則題目就會成為一道封閉題，這對通過賦值試錯找到答案的學(xué)生而言解決問題的成功率將降低。這啟示我們在教學(xué)中可以嘗試將具有唯一標(biāo)準(zhǔn)答案的封閉題改編為答案不唯一的開放題。這類開放題的起點較低，適用于開放題教學(xué)的初始階段，能讓不同思維水平的學(xué)生參與學(xué)習(xí)，同時獲得成功的學(xué)習(xí)體驗，從而增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

［例2］（新高考Ⅱ卷第14 題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=___________。

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當(dāng)x∈(0,+∞)時，f′(x) ＞0；③f′(x)是奇函數(shù)。

解析：

根據(jù)條件①給出的抽象函數(shù)性質(zhì)可以判斷f(x)是一個冪函數(shù)，即f(x)=x?（x是自變量，?是常數(shù)）。由條件②可知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，從而?＞0。依據(jù)條件③并結(jié)合“奇函數(shù)的原函數(shù)為偶函數(shù)”能確定f(x)為偶函數(shù)。容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)?是正偶數(shù)時都滿足要求，如x2，x4，x6等。若將?限制為正有理數(shù)，則有?=為非零同號的互質(zhì)整數(shù)），要使f(x)為偶函數(shù)，則p只能為奇數(shù)，q只能為偶數(shù)，于是等也滿足題意。兩類解可以綜合表示為f(x)=為非零同號的互質(zhì)整數(shù)且p為奇數(shù)，q為偶數(shù)）。

評析：首先根據(jù)條件②③猜想一個f(x)，再驗證其是否滿足條件①能快速獲得答案，這能彰顯學(xué)生思維的靈活性，但沒有體現(xiàn)出思維的深刻性。要想獲得更完備的答案，學(xué)生需要綜合調(diào)用冪函數(shù)的定義與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性、導(dǎo)數(shù)等知識。在有限的考試時間內(nèi)學(xué)生很難達到這個要求，因此教師在平時的教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，引導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度、深層次地看待問題。

例1 與例2 均屬于“條件明確，結(jié)論不唯一”的開放題，考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力，指向思維靈活性、創(chuàng)造性以及數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

（二）條件不明確，結(jié)論唯一

［例3］（新高考Ⅱ卷第22 題）已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b。

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，證明：f(x)有一個零點。

解析：

（1）當(dāng)a≤0 時，f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞) 上單調(diào)遞增；當(dāng)0 ＜a＜時，f(x) 在(ln 2a,0)上單調(diào)遞減，在(-∞,ln 2a)，(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a=時，f(x)在R 上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞時，f(x) 在(0,ln 2a) 上單調(diào)遞減，在(-∞,0)，(ln 2a,+∞)上單調(diào)遞增。

（2）若選①，結(jié)合（1）可知f(x)的最大值為f(0)，最小值為f(ln 2a)。根據(jù)f(0)=b-1，f(ln 2a)=2a(ln 2a-1) -a(ln 2a)2+b以及a，b的取值范圍通過適當(dāng)放縮可證明f(0)和f(ln 2a)均大于0。因此，若f(x) 有零點，則只可能在(-∞,0) 上，于是在(-∞,0)上取特殊值并計算因為所以f(x)在上存在零點，又因為f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，所以f(x)只有一個零點。

若選②，由（1）可知f(x)的最大值為f(ln 2a)，最小值為f(0)。此時f(0)和f(ln 2a)均小于0，因此若f(x)有零點，則只可能在(0,+∞)上，于是在(0,+∞) 上取特殊值a+1 并計算f(a+1)，因為f(a+1) ＞0，f(0)＜0，所以f(x)在(0,a+1)上存在零點，又因為f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)只有一個零點。

評析：第（2）小問供選擇的兩個條件均給出a的取值范圍以及2a與b的大小關(guān)系，選擇不同的條件卻得到同一結(jié)論，即f(x)有一個零點。這從側(cè)面說明兩個備選條件具有等價性，而兩種解答思路也展現(xiàn)出相似性，因此對選擇①或②的考生而言相對公平，這也是高考公平的一種表現(xiàn)。同時此題延續(xù)傳統(tǒng)命題風(fēng)格，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識設(shè)置為壓軸題，一方面以開放題形式呈現(xiàn)，容易對考生造成更大的心理壓力，另一方面又能較好地區(qū)分不同考生的能力，對高考人才選拔有積極作用，這種命題趨勢值得師生關(guān)注和重視。本題突出對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)的深入考查。

（三）條件不明確，結(jié)論不唯一

［例4］（北京卷第16 題）已知在△ABC中，c=2bcosB，C=

（1）求B的大??；

（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求BC邊上中線的長度。

圖2

解析：

評析：此題沒有給圖形，為了使解題更加直觀高效，需畫出正確的圖形，借助圖形來分析問題，優(yōu)化運算過程。這要求學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)以及識圖、畫圖、用圖能力。

［例5］（全國甲卷第18 題·理科）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立。

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③a2=3a1。

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分。

評析：試題以等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式、性質(zhì)、Sn與an的關(guān)系等知識為背景，聚焦數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的考查，涉及分類討論、函數(shù)思想、方程思想等思想方法，學(xué)生自主提出問題、分析問題、解決問題和獨立思考提供了廣闊空間。三種選擇方案既尊重學(xué)生思維的差異性，又能探明學(xué)生思維的靈活性和對等差數(shù)列知識本質(zhì)的理解與掌握程度。若選①②證③，學(xué)生的難點在于根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)寫出2a2=a1+a3和并經(jīng)歷兩次開方運算得到結(jié)論；若選②③證①，學(xué)生需學(xué)會用已知的“數(shù)列是等差數(shù)列”去證未知的“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”，還要能理解一次函數(shù)與等差數(shù)列通項公式以及定義的關(guān)系。相對而言，選①③證②是一個最優(yōu)解。

例4、例5屬于“條件不明確，結(jié)論不唯一”型開放題，各條件之間相互獨立，選擇不同的條件將得到不一樣的結(jié)論。在解決此類題型時，學(xué)生可以根據(jù)自身的知識儲備和數(shù)學(xué)能力構(gòu)建最適合自己的解題方案，這為問題解決提供更多的可能性。

三、思考與啟示

縱觀上述分析可以發(fā)現(xiàn)，2021 年高考數(shù)學(xué)試卷中的開放題圍繞主干知識命制，以填空題或解答題的形式呈現(xiàn)，突出對數(shù)學(xué)本質(zhì)、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、探究性和創(chuàng)新性的考查要求，對立德樹人、人才選拔以及引導(dǎo)教學(xué)都具有積極的意義。從中筆者可以得到如下啟示：

1.教師教學(xué)活動的重點應(yīng)放在學(xué)生“四基”“四能”的掌握和提升上，關(guān)注學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，讓學(xué)生不僅能“知其然”“知其所以然”還能明白“何由以知其所以然”。

2.教師在備考過程中應(yīng)適時進行開放題的專題教學(xué)，與學(xué)生一起辨析不同題型，歸納總結(jié)其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法和素養(yǎng)要求，為學(xué)生解決開放題提供正確的指導(dǎo)。

3.教師應(yīng)將《新課標(biāo)》和《中國高考評價體系說明》等文件作為教學(xué)指南，以教科書中的開放題為切入點，讓學(xué)生有序地認(rèn)識、熟悉、探索三類開放題，挖掘其中的思維價值，提升學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性、批判性、深刻性和靈活性，拓展學(xué)生思維的廣度與深度。