江蘇蘇州市吳縣中學(xué)(215000)江佳慧
第一,學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)能夠豐富學(xué)生解決問題的方法,鍛煉學(xué)生思考問題的能力。
在解答導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題時,學(xué)生需要靈活運用各種解題方法,全面掌握導(dǎo)數(shù)的所有知識點。在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時,學(xué)生要轉(zhuǎn)變原有的數(shù)學(xué)觀,從不變到變化、從有限到無限、從靜態(tài)到動態(tài)、從常量到變量。
第二,微積分中包含極限思想、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想等。在高中階段教授微積分可以鍛煉學(xué)生的探索意識和思維能力,提高學(xué)生解決問題的能力。
研究我國教育史可以發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有限,發(fā)展十分緩慢。起初只教授算術(shù),之后才在中學(xué)教材中逐步添加幾何、代數(shù)、數(shù)列和不等式等內(nèi)容,微積分這一部分知識在很長一段時間里都沒有被添加到高中教材中,高考也未涉及,只有一些學(xué)有余力的、有興趣、有天賦的學(xué)生把微積分作為數(shù)學(xué)學(xué)科競賽的參考資料去學(xué)習(xí)。這主要是因為部分研究學(xué)者認(rèn)為,微積分中的思想方法對于高中生來說是難以接受的,提早讓他們接觸這一部分內(nèi)容會讓他們心有余而力不足,逐漸失去探究解決數(shù)學(xué)問題的興趣。但是,隨著我國義務(wù)教育的全面普及,學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高,學(xué)習(xí)資源與學(xué)習(xí)環(huán)境的逐步優(yōu)化,導(dǎo)數(shù)作為微積分的一部分基礎(chǔ)知識被納入教學(xué)大綱,成為高中數(shù)學(xué)選修教材內(nèi)容中的一部分,目的是做好高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與高等數(shù)學(xué)微積分的銜接,鍛煉學(xué)生探索的意識,提高學(xué)生探究問題和解決問題的積極性,優(yōu)化學(xué)生解決問題的方法。
第三,從數(shù)學(xué)文化價值看,可讓學(xué)生通過自主探索數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程,體會數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵,激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。
培養(yǎng)什么人,是教育的首要問題[1]。把立德樹人作為學(xué)校的立身之本,是時代的要求。
微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)被寫進了高中數(shù)學(xué)教材,高中生首次接觸到新的領(lǐng)域,面對新的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,肯定會對它的來歷和作用產(chǎn)生疑惑,它是怎么來的?有什么用處?在我國古代,劉徽提出割圓術(shù):“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣?!保?]其中涉及的分割思想、極限思想等都是微積分的雛形。雖然微積分的雛形在我國古代早已出現(xiàn),但由于我國自古以來都是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)國,數(shù)學(xué)發(fā)展進程相比西方較慢。
了解數(shù)學(xué)史,一方面可以提升學(xué)生的民族自豪感、自信心,另一方面可以鼓勵學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué),增強學(xué)生的愛國主義精神。數(shù)學(xué)教師不能單純地教授課本知識,要在課本知識的基礎(chǔ)上,延伸數(shù)學(xué)思想,拓展傳播數(shù)學(xué)文化。
筆者基于HPM 設(shè)計高中微積分教學(xué),將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)問題貫穿整個教學(xué)活動,引導(dǎo)學(xué)生自主探索、主動學(xué)習(xí)。
導(dǎo)入:17 世紀(jì),牛頓熱衷于研究物體的運動規(guī)律,他遇到這樣一個運動:一輛馬車向前跑,路程s和時間t滿足s=t2。
分析:馬車1 s走完1 m,2 s走完4 m,3 s走完9 m,速度越來越快,顯然是做變速運動,在牛頓之前研究物體的運動規(guī)律的數(shù)學(xué)家能夠算出一段時間內(nèi)的平均速度,例如從第5 秒到第6 秒,小車從25 m處走到36 m處,這段路程的平均速度但牛頓并不滿足于算平均速度,他更想知道既然是變速運動,那么速度是如何變化的,也就是每一個時刻的瞬時速度。
問題1:小車在第5秒的瞬時速度是多少?
分析:第5秒經(jīng)過的時間為0,經(jīng)過的路程還是0。牛頓將問題看成動態(tài)的,從平均速度的原理出發(fā),逐步縮短時間間隔,計算第5 秒到第5.5 秒的平均 速 度:
問題2:10.5仍是平均速度,這么做有什么意義?
分析:雖然10.5 也不是瞬時速度,但是因為時間間隔縮短了,10.5比11更接近第5秒時的瞬時速度,所以只要不斷縮短時間間隔,求出平均速度,就會無限接近第5 秒時的瞬時速度,這就是微積分思想的雛形——無限接近思想。利用這個想法,牛頓最終求出瞬時速度。
活動:計算并觀察。
隨著時間間隔的縮短,平均速度越來越接近10 m/s。
理論依據(jù):從第5 秒開始,取一個特別小的時間間隔Δt,第5 秒到第(5+Δt)秒這段時間的平均速度因為Δt是一個特別小的數(shù),所以可以將其舍去。
設(shè)計意圖:引用數(shù)學(xué)史,激發(fā)學(xué)生探索的興趣。引導(dǎo)學(xué)生感受牛頓用計算平均速度的方式推導(dǎo)出計算瞬時速度的過程,理解無限接近思想。
情境引入:牛頓的想法公布后,數(shù)學(xué)家貝克萊指出了其中的問題:將Δt當(dāng)成一個非常小的量,但不是0,將其放在分母位置,約分后算到(10+Δt)時將其看作0 舍去,但如果Δt不是0,那么就不能舍去;如果是0,則怎么能放在分母位置?這一問題的提出,引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機。這個問題目前還沒有得到完美解決,但不斷縮小時間間隔,用平均速度逼近瞬時速度,即為微積分思想的雛形。數(shù)學(xué)家是如何填補牛頓邏輯上的漏洞的呢?
問題3:牛頓最后算出(10+Δt),直接舍去Δt,得到瞬時速度為10。
活動:列出下列表格。
分析:事實上,并不是舍去Δt,也不是令Δt等于0,而是讓(10+Δt)中的Δt不斷接近0,然后考慮(10+Δt)會如何變化。(10+Δt)不斷靠近10,離10越來越近,隨著Δt不斷趨近于0 而無限接近于10時的就是瞬時速度。由此引出了一個重要概念——極限。什么是極限?簡單來講就是,觀察一組數(shù)的變化過程,看它會不斷趨近于哪個數(shù),最終趨近的那個數(shù)就叫作這個變化過程的極限。在上述例子中,我們就可以說,當(dāng)Δt趨近于0 時,(10+Δt)的極限等于10。
問題4:什么是趨近?多近才叫趨近?當(dāng)Δt趨近于0 時,(10+Δt)確實會不斷接近10,但它也會不斷接近9.9,為什么說極限是10,而不是9.9呢?
設(shè)計意圖:通過引入貝克萊指出牛頓想法中的問題這一情境,啟發(fā)學(xué)生思考,讓學(xué)生用矛盾與發(fā)展的眼光看問題,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)創(chuàng)造的曲折性和嚴(yán)謹(jǐn)性,以及數(shù)學(xué)是不能模棱兩可地解釋的。
情境引入:法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾認(rèn)為,一個變量趨近于一個固定量,趨近的程度小于給定的任何正數(shù),那么這個固定量就叫作這個變量的極限。這個想法道出了極限的精髓,首先極限主要研究變量的變化趨勢;其次極限的判斷標(biāo)準(zhǔn)為變量和極限的差小于任何給定的正數(shù)。
問題5:這個數(shù)列有沒有極限?
實際上,無論這個正數(shù)ε 怎么給,我們都可以在數(shù)列里找到某一項,從它開始,后面的數(shù)與0的差都小于這個定值。
為什么當(dāng)Δt趨近于0 時,(10+Δt)的極限是10,而不是其他的數(shù),比如9.9呢?
變量(10+Δt)與定值10 之間趨近的程度,即|Δt|,Δt可以小于任意給定的正數(shù),因為Δt→0,因此我們可以說(10+Δt)的極限是10。為什么不是9.9 呢?因為(10+Δt) 與9.9的趨近程度為|Δt+0.1|,Δt→0,|Δt+0.1 |始終大于等于0.1,不小于任何給定的正數(shù),所以(10+Δt)的極限不是9.9。
問題6:為什么瞬時速度就是平均速度的極限呢?
分析:路程s和時間t滿足s=t2,求t=5秒時的瞬時速度。
我們從第5 秒開始,取一個時間間隔Δt,算出第5 秒到第(5+Δt)秒這一段時間的平均速度==10+Δt,Δt趨近于0 時,平均速度(10+Δt)的極限10就是瞬時速度。
我們換一個角度,看看還能如何通過平均速度得到瞬時速度。在滿足s=t2的運動中,小車的速度會越來越快,做加速運動,t=5 秒時的瞬時速度v要小于其他時刻的瞬時速度,v一定小于這段時間內(nèi)的平均速度(10+Δt),v<(10+Δt)。因此,無論時間間隔多么小,瞬時速度v都小于平均速度(10 +Δt),即這個式子對任意Δt >0恒成立。
活動:列表觀察。
得出結(jié)論:v≤10。為什么可以等于10 呢?因為Δt>0,所以(10+Δt)取不到10。因此,v可以取10,而這個10就是我們前面所說的極限。
問題7:這也只能說明v <10,怎么能說明v=10呢?
分析:剛才是取第5 秒后的時間段,下面我們來取第5 秒前的時間段(5 -Δt)s~5 s,再重復(fù)一遍剛才的過程。
引出問題8:假設(shè)位移隨時間變化,位移和時間是兩個變量,滿足s=t2,兩個變量滿足一定的對應(yīng)關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的概念,用函數(shù)表示為f(x)=x2,前面我們了解到瞬時速度是平均速度的極限,那么平均速度和瞬時速度的抽象含義是什么呢?
問題8分析:平均速度的抽象含義。(如下表)
平均速度的抽象含義就是函數(shù)的平均變化率,它表現(xiàn)了函數(shù)在[5,5+Δx]上平均變化的趨勢。
活動:計算任意一點x=x0處的瞬時變化率。
瞬時速度的抽象含義即讓Δx→0,函數(shù)在[5,5+Δx]的變化會無限趨近于定值10。f(x)=x2在x=5 處的變化趨勢,也叫作x=5 處的瞬時變化率,換句話說,對于函數(shù)f(x)=x2,我們可以用牛頓的方法計算出x=5處的瞬時變化率:
總結(jié):計算函數(shù)瞬時變化率的方法。
函數(shù):y=f(x);
固定自變量:x=x0,增量Δx;
函數(shù)值:f(x0),f(x0+Δx);
函數(shù)值的變化量:Δy=f(x0+Δx) -f(x0)。
當(dāng)Δx趨近于0 時趨近于定值l,l叫作函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的瞬時變化率。為了方便使用,數(shù)學(xué)家給函數(shù)f(x)在點x=x0處的瞬時變化率起了新名字,叫作函數(shù)f(x)在點x=x0處的導(dǎo)數(shù),用符號f′(x0)表示。