陳文華， 黃偉稀， 郝夏影， 何 濤， 梁 赟

(中國船舶科學(xué)研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室，江蘇 無錫 214082)

Alabuzhev等[1]首先全面論述了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)理論，并提出了多種準(zhǔn)零剛度實現(xiàn)方式。準(zhǔn)零剛度設(shè)計中最為經(jīng)典的是Carrella等[2-3]提出的三彈簧式結(jié)構(gòu)，之后基于該形式國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究。Gatti等[4-5]設(shè)計準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，并進(jìn)行靜態(tài)動態(tài)分析；趙權(quán)等[6]采用三彈簧式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)設(shè)計車載隔振系統(tǒng)，經(jīng)驗證取得了較好的低頻隔振效果；趙含等[7]利用三彈簧式準(zhǔn)零剛度隔振器對船舶推進(jìn)軸系振動進(jìn)行控制；康冰冰等[8]對三彈簧式準(zhǔn)零剛度隔振器超載情況下的次諧波響應(yīng)進(jìn)行了研究。此外，借鑒該設(shè)計形式還出現(xiàn)了屈曲梁[9-10]、歐拉梁[11]、凸輪-滾珠-梁[12-13]等負(fù)剛度結(jié)構(gòu)。但這些結(jié)構(gòu)形式的準(zhǔn)零剛度區(qū)間較小，當(dāng)振動幅值較大偏離相應(yīng)位移區(qū)間后，等效剛度值迅速升高，不能發(fā)揮準(zhǔn)零剛度隔振的優(yōu)勢。且現(xiàn)有研究大多針對單方向的振動控制，很少涉及多自由度的隔振研究，不便于實際應(yīng)用。

本文著眼于大振幅低頻振動的隔振問題，首先分析兩種典型的三彈簧式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)的剛度特性，選取準(zhǔn)零剛度位移區(qū)更大的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行隔振器設(shè)計。然后提出一種利用重力作用實現(xiàn)負(fù)剛度的倒擺結(jié)構(gòu)，該設(shè)計能夠拓寬準(zhǔn)零剛度位移區(qū)，適用于大振幅振動的低頻隔振。最后結(jié)合三彈簧和倒擺結(jié)構(gòu)，完成多向準(zhǔn)零剛度隔振器設(shè)計，并通過仿真分析驗證了該隔振器的低頻隔振效果。

1 三彈簧式結(jié)構(gòu)準(zhǔn)零剛度特性分析

準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)大多為三彈簧式正負(fù)剛度并聯(lián)的形式，由兩個預(yù)壓縮的線性彈簧水平放置構(gòu)成負(fù)剛度結(jié)構(gòu)，與豎直放置的正剛度彈簧一起構(gòu)成準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)。其布置形式按照水平彈簧是否轉(zhuǎn)動分為兩種，模型一添加水平約束不可轉(zhuǎn)動，如圖1所示，彈簧只能水平移動，彈簧與承載平臺之間通過連桿相連；模型二水平彈簧可轉(zhuǎn)動，彈簧直接與承載平臺相連接，如圖2所示。

圖1 水平彈簧不可轉(zhuǎn)動結(jié)構(gòu)Fig.1 Horizontal spring non-rotatable structure

圖2 水平彈簧可轉(zhuǎn)動結(jié)構(gòu)Fig.2 Horizontal spring rotatable structure

分析兩種結(jié)構(gòu)形式的準(zhǔn)零剛度特性，首先采用拉格朗日方程計算圖1所示結(jié)構(gòu)的剛度特性。當(dāng)O點受到不平衡激勵時，結(jié)構(gòu)偏離平衡位置受到兩連桿在豎直方向的作用力分量，成為準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)。假設(shè)O點向下的位移為x，水平彈簧剛度為kH，豎直彈簧剛度為kV，連桿長度為L，水平彈簧的預(yù)壓縮量為ΔL，則系統(tǒng)振動時的勢能為

(1)

系統(tǒng)勢能為力F在位移x上做的功，對位移求導(dǎo)可得到作用力F。

(2)

(3)

(4)

(5)

式(5)即為圖1所示結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)零剛度實現(xiàn)條件。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，負(fù)剛度是通過附加在運(yùn)動方向上額外的作用力實現(xiàn)的，因此豎直方向上的作用力大小是關(guān)系剛度特性的核心因素。圖1所示結(jié)構(gòu)是通過連桿將預(yù)壓縮彈簧的力作用至豎直方向上，對其進(jìn)行受力分析，如圖3所示。由圖3可以看到，連桿方向的力為彈簧水平力f的一個分量f1，這對于構(gòu)建負(fù)剛度結(jié)構(gòu)是不利的，該分力大小為

圖3 模型1受力分析圖Fig.3 Stress analysis diagram of model 1

(6)

圖2所示結(jié)構(gòu)的水平彈簧可轉(zhuǎn)動，這種結(jié)構(gòu)可以充分利用預(yù)壓縮彈簧的作用力。對其進(jìn)行受力分析，可得到預(yù)壓縮彈簧作用到豎直方向的作用力為

(7)

式中：a為彈簧處于水平位置時長度；x為豎直方向的振動位移。由此得到整個隔振系統(tǒng)在豎直方向的合力為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

將式(12)代入式(11)得到

(13)

圖4 兩種結(jié)構(gòu)無量綱化位移-剛度特性對比Fig.4 Comparison of dimensionless displacement-stiffness characteristics of two models

從圖4還可以看到，參數(shù)α對剛度特性有一定影響，以“零剛度”區(qū)更大的可轉(zhuǎn)動式結(jié)構(gòu)為研究對象，分析配置參數(shù)對剛度特性的影響。不同參數(shù)值下的“位移-剛度”特征，如圖5所示，由圖5可以看出，隨著剛度比值的增加，尤其當(dāng)α>2后剛度特性曲線逐漸變陡，即大位移下的等效剛度增長速度提高。因此，圖2結(jié)構(gòu)的剛度比取值范圍應(yīng)為0<α≤2。

圖5 圖2結(jié)構(gòu)位移-剛度特性Fig.5 Dimensionless displacement-stiffness characteristic of Fig.2

觀察α的建議取值范圍內(nèi)不同參數(shù)下的具體剛度特性，如圖6所示。由圖6可以看到，當(dāng)剛度比值較小時(如圖6中α=0.1和α=0.2的曲線)，偏離平衡位置后的小位移區(qū)間內(nèi)存在剛度突變特征，等效剛度迅速升高，“零剛度”區(qū)間較窄，隨著偏離距離的增大曲線逐漸趨于平坦；當(dāng)剛度比值較大時(α>0.5)，曲線不存在突變特征，但剛度值隨位移的增大迅速增加。綜合來看，α=0.5為最優(yōu)選擇，此時剛度特性曲線沒有突變現(xiàn)象且隨著位移的增加等效剛度的增長速度較慢。

圖6 不同剛度比值下的位移-剛度特性曲線Fig.6 Dimensionless displacement-stiffness characteristic curve at different stiffness ratios

2 重力倒擺式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)

根據(jù)第1章分析，實現(xiàn)準(zhǔn)零剛度的關(guān)鍵在于提供支撐方向的反作用力，使等效剛度變小。水平預(yù)壓縮彈簧的作用力會隨著振動位移的增大而變小，也就是說當(dāng)振動位移幅值較大時預(yù)壓縮彈簧便失去了作用。理想情況是反作用力不隨振動位移的增大而減小，為此本文提出重力倒擺式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)。

倒擺的受力分析，如圖7所示。整體上看倒擺呈現(xiàn)“頭重腳輕”的形態(tài)，重心位于頭部。初始狀態(tài)下倒擺在豎直方向上平衡，受到擾動激勵后在重力的作用下倒向一側(cè)，由于其重心位于頭部，因此重力力矩隨著傾斜角度的增大而增大，這對于拓寬“零剛度”位移區(qū)間是有益的。利用倒擺的這種特性，結(jié)合彈性卷簧可構(gòu)成準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)，卷簧位于原點O處，提供倒擺回復(fù)到豎直平衡位置的正作用力矩，與倒擺的重力力矩一起，實現(xiàn)準(zhǔn)零剛度。

圖7 倒擺受力分析圖Fig.7 Force analysis diagram of inverted pendulum

假設(shè)倒擺向一側(cè)偏轉(zhuǎn)的角度為θ(單位：rad)，則重心在水平方向偏移的距離為d=R×sin(θ)，此時重力產(chǎn)生的力矩大小為

M2=d·G=R·sin(θ)·G

(14)

設(shè)卷簧的剛度為M1，則轉(zhuǎn)角為θ時系統(tǒng)的受力為

T=M1·θ-R·G·sin(θ)

(15)

設(shè)由于轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的弧長為位移x，又由于轉(zhuǎn)角θ與弧長x之間存在關(guān)系x=R·θ，因此式(15)可改寫為

(16)

(17)

(18)

(19)

圖8 倒擺無量綱化位移-剛度特性曲線Fig.8 Dimensionless displacement-stiffness characteristic curve of inverted pendulum

3 準(zhǔn)零剛度隔振器設(shè)計與驗證

根據(jù)第2章的分析，構(gòu)建一種可隔離多向大振幅低頻振動的準(zhǔn)零剛度隔振器，其結(jié)構(gòu)如圖9所示。該隔振器可分別對水平方向和豎直方向振動進(jìn)行進(jìn)行隔離，其中水平方向采用重力倒擺式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)，豎直方向采用可轉(zhuǎn)動彈簧式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)。

圖9 隔振器結(jié)構(gòu)設(shè)計圖Fig.9 Structural design drawing of vibration isolator

倒擺部分局部細(xì)節(jié)，如圖10所示。倒擺頭部曲面為圓弧，以保證擺動時上部承載平臺始終位于同一水平面上。承載平臺與箱體之間設(shè)置有導(dǎo)向槽，防止運(yùn)動偏移。

圖10 倒擺部分局部細(xì)節(jié)圖Fig.10 Partial detail drawing of inverted pendulum

根據(jù)隔振器設(shè)計進(jìn)行動力學(xué)仿真分析，對比添加負(fù)剛度構(gòu)成準(zhǔn)零剛度振動系統(tǒng)前后的隔振性能，以驗證隔振器的低頻隔振優(yōu)勢。其中，倒擺式準(zhǔn)零剛度的實現(xiàn)是將倒擺的重心按實際情況設(shè)置在頭部，與之對比的情況是將重心設(shè)置在圓心位置。設(shè)置重力場方向為豎直向下，部件之間根據(jù)設(shè)計要求添加運(yùn)動約束。根據(jù)分析，三彈簧式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)選取剛度比值α=0.5。

在上部承載平臺上添加水平和豎直兩個方向的激勵，在隔振器底部拾取振動響應(yīng)，進(jìn)行頻域振動分析。仿真得到的各方向振動傳遞特性如圖11、圖12所示，由圖11、圖12可以發(fā)現(xiàn)：添加負(fù)剛度構(gòu)成準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)后，能夠明顯降低隔振器減振頻率，尤其是重力倒擺式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)可降低隔振頻率15Hz以上，如表1所示，大大提高了低頻隔振效果。

圖11 水平方向振動傳遞特性Fig.11 Vibration transmission characteristics in horizontal direction

圖12 豎直方向振動傳遞特性Fig.12 Vibration transmission characteristics in vertical direction

表1 隔振頻率匯總表Tab.1 Summary of vibration isolation frequency

4 結(jié) 論

本文針對大振幅低頻振動的隔振問題，開展準(zhǔn)零剛度隔振器的分析研究，創(chuàng)新提出新型重力倒擺式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)，結(jié)合典型的三彈簧式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)完成了可隔離多向振動的準(zhǔn)零剛度隔振器設(shè)計，并通過仿真驗證了隔振器的低頻隔振優(yōu)勢。主要結(jié)論如下：

(1)典型的三彈簧式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)中，水平彈簧可轉(zhuǎn)動的結(jié)構(gòu)形式具有更寬的準(zhǔn)零剛度范圍，適用于具有大振幅特征的振動隔離。分析了配置參數(shù)對等效剛度特性的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)彈簧剛度比值α=0.5時為最優(yōu)配置，此時剛度特性曲線沒有突變現(xiàn)象，且隨著位移的增加等效剛度的增長速度較小。

(2)創(chuàng)新提出利用重力作用實現(xiàn)準(zhǔn)零剛度的倒擺結(jié)構(gòu)，分析其等效剛度并與三彈簧式結(jié)構(gòu)準(zhǔn)零剛度特性進(jìn)行對比，結(jié)果顯示倒擺結(jié)構(gòu)的等效剛度在偏離平衡位置后仍保持較低數(shù)值，且隨位移的增加剛度變化不大，具有更寬的準(zhǔn)零剛度范圍，相比三彈簧式結(jié)構(gòu)具有顯著優(yōu)勢。

(3)將倒擺結(jié)構(gòu)與三彈簧結(jié)構(gòu)進(jìn)行組合，設(shè)計可隔離多向振動的準(zhǔn)零剛度隔振器。仿真結(jié)果驗證了隔振器的多向隔振有效性，可有效降低隔振頻率，其中重力倒擺式準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)可降低隔振頻率15 Hz以上。