劉章軍， 姜云木， 劉子心， 岳慶霞

(1. 三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002； 2. 武漢工程大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430074； 3. 防災(zāi)科技學(xué)院 中國地震局建筑物破壞機理與防御重點實驗室，河北 三河 065201； 4. 山東建筑大學(xué) 建筑結(jié)構(gòu)加固改造與地下空間工程教育部重點實驗室，濟南 250101)

我國位于環(huán)太平洋地震帶與歐亞地震帶交匯處，斷裂帶分布廣泛，頻發(fā)的地震災(zāi)害對經(jīng)濟建設(shè)造成了不可估量的損失[1]。研究表明，地震動是一個典型的多分量共同運動過程，通常包含3個平動分量和3個轉(zhuǎn)動分量。由于轉(zhuǎn)動分量的研究受到目前強震觀測水平的限制，進展較為緩慢[2]，因此本文僅考慮3個平動分量。實踐表明，大型工程結(jié)構(gòu)在多維地震作用下的動力反應(yīng)與破壞模式更加復(fù)雜，因此，在抗震分析時應(yīng)充分考慮地震動的多維特性[3]。然而，受場地條件等客觀因素限制，現(xiàn)有的實測多維強震記錄難以完全滿足工程分析中對地震動輸入的各種需求。因此，多維地震動的人工模擬方法近年來受到廣泛關(guān)注。

目前，基于地震動過程的隨機模型，考慮平動方向分量間的相干性及參數(shù)關(guān)系，即可實現(xiàn)多維地震動的建模。在此方面，國內(nèi)外學(xué)者取得了一系列成果。對于多維地震動各分量間的相干性，目前廣泛應(yīng)用的是松島豐相干函數(shù)模型[4]，該模型將不同方向分量間的相干性簡化成一個包絡(luò)常數(shù)，實現(xiàn)了多維地震動相干性的簡化定量描述；李忠獻等[5]根據(jù)抗震規(guī)范中多維地震動加速度分量最大值的調(diào)整比例，確定了三方向分量功率譜的比值，并建議了一種多維地震動相干函數(shù)模型。對于多維地震動演變功率譜的建模，黃玉平等[6]對11組水平雙向地震加速度記錄進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)兩水平方向地震動分量的相關(guān)性較高，平均自功率譜的形狀大致相同，互功率譜的形狀與自功率譜相近；薛素鐸等[7]根據(jù)地震動波動理論，總結(jié)了水平方向分量與豎直方向分量的場地卓越圓頻率以及譜強度因子之間的關(guān)系；李英民等[8]基于實測強震記錄，建議了一種適用于多維地震動的四段強度調(diào)制函數(shù)模型，并給出了不同地震動分組與場地類別所對應(yīng)的參數(shù)取值。此外，Penzien等[9]建議了地震動的主軸模型，其廣泛應(yīng)用于多維地震動抗震分析的反應(yīng)譜法中；Bozorgnia等[10]對多維地震動的工程特性進行了研究，給出了豎向地震動的反應(yīng)譜規(guī)律；Bommer等[11]提出了一種可以預(yù)測地震動豎向分量與水平分量加速度反應(yīng)譜比值的模型。

雖然上述研究在多維地震動建模方面取得了較大進展，但仍存在如下問題：①對于多維地震動平動分量之間的相干性，提出的模型過于簡化，且尚未考慮相干性隨頻率的變化規(guī)律；②并未從強度、頻譜和持時等工程特性方面系統(tǒng)地建立多維地震動演變功率譜模型；③選用的實測多維強震記錄偏少，導(dǎo)致提出的模型適用性有限。針對上述研究現(xiàn)狀，本文擬根據(jù)篩選的1 766組實測多維強震記錄，開展以下工作：首先，研究多維地震動平動分量間的相干性，建議一類較為精確的多維相干函數(shù)模型；其次，著眼于地震動的工程特性，建立多維地震動的演變功率譜模型；最后，基于本征正交分解的隨機向量過程降維方法[12-14]，實現(xiàn)僅用兩個基本隨機變量即可有效模擬多維地震動向量過程。由于降維方法生成的代表性時程具有完備的概率信息，因此可與概率密度演化理論[15-16]結(jié)合，實現(xiàn)多維地震作用下復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的精細化動力反應(yīng)及可靠度分析。

1 實測地震動記錄的選取

本文從美國太平洋地震工程研究中心NGA-West2地震動數(shù)據(jù)庫中篩選了1 766組實測多維強震記錄，其篩選原則如下：

(1)斷層距離應(yīng)大于10 km，以減少近場效應(yīng)的影響。

(2)實測強震記錄的矩震級應(yīng)大于5，以排除對結(jié)構(gòu)影響較小的地震動。

對于選取的實測強震記錄，Rjb(Joyner-Boore距離，即地震記錄臺站到斷層面表面投影的最短距離)范圍為0～540 km；VS30(地表以下30 m內(nèi)平均剪切波速)范圍為106.83～1 525.85 m/s；矩震級MW范圍為5.0～7.9。

同時，根據(jù)VS30將實測強震記錄按照GB 18306—2015《中國地震動參數(shù)區(qū)劃圖》[17]中建議的I0，I1，II，III，IV五類場地進行分類。結(jié)合相關(guān)研究成果[18-19]，表1給出了場地類別與VS30的對應(yīng)關(guān)系及實測記錄數(shù)量。

表1 場地分類與VS30的對應(yīng)關(guān)系Tab.1 The relationship between the soil site classification and VS30

進一步，對實測強震記錄進行四階Butterworth濾波處理以及1%～99%內(nèi)能量截取，以保證結(jié)果的可靠性。

2 多維地震動相干函數(shù)模型

日本學(xué)者松島豐提出的多維地震動相干函數(shù)模型

(1)

式中:γ為相干函數(shù)矩陣；非對角元素γij(j≠i)為多維地震動的第i個與第j個平動分量間的相干性。該模型將多維地震動的相干性簡化成一種包絡(luò)常數(shù)，便于應(yīng)用，但其高估了地震動平動分量間的相干性，且未能體現(xiàn)隨頻率的變化趨勢。為此，本文根據(jù)選取的實測強震記錄，對多維地震動的相干性進行建模。

實際上，地震動的相干效應(yīng)包括遲滯相干效應(yīng)、行波效應(yīng)和局部場地效應(yīng)，由于本文研究的是同一點處不同方向分量間的相干性，因此僅涉及到遲滯相干效應(yīng)，故將遲滯相干函數(shù)簡稱為相干函數(shù)。

根據(jù)式(2)，分別計算1 766組不同方向分量間的實測相干函數(shù)，其均值與標準差如圖1所示。

圖1 實測多維強震記錄不同方向分量間相干函數(shù)的均值及標準差Fig.1 Mean and standard derivation of the coherence function between different directional components of measured multi-dimensional ground motion records

由圖1可見，地震動不同方向分量間的相干性類似地震動的包絡(luò)函數(shù)，大致呈現(xiàn)出先遞增、再平穩(wěn)、后衰減的趨勢，且峰值在0.6左右；而標準差先增大后減小。據(jù)此，本文建議了一種傅里葉級數(shù)模型

Ckcos(k×D×ω)]

(3)

(4)

表2 相干函數(shù)模型參數(shù)取值Tab.2 Parameter values of the proposed coherence function model

圖2給出了相干函數(shù)模型與實測相干函數(shù)均值的對比?？梢?，相干函數(shù)模型能夠反映多維地震動相干性隨頻率變化的趨勢，驗證了該模型的有效性。

圖2 多維地震動相干函數(shù)模型與實測記錄擬合結(jié)果Fig.2 Fitting results of multi-dimensional ground motion coherence function model and the measured records

3 多維地震動的演變功率譜的建模

3.1 多維地震動的演變功率譜模型

多維地震動平動分量均采用統(tǒng)一的演變功率譜模型，其區(qū)別在于模型參數(shù)的取值不同。為簡便之，采用強度非平穩(wěn)的演變功率譜模型[20]

(5)

對于強度調(diào)制函數(shù)，采用王光遠提出的指數(shù)模型

(6)

式中:ci為地震動峰值到達時刻；di為強度調(diào)制函數(shù)的形狀參數(shù)。于是，強度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)向量λq,i=(ci,di)。

平穩(wěn)地震動加速度過程的雙邊功率譜采用經(jīng)典的Kanai-Tajimi譜模型[21]

式中：ωg,i和ξg，i分別為場地土的卓越圓頻率和阻尼比；S0,i為譜強度因子，其表達式為[22]

(8)

根據(jù)式(6)～式(8)，多維地震動的演變功率譜S(ω,t;λS,i)的參數(shù)向量λS,i為

(9)

3.2 多維地震動的持時特性參數(shù)識別

(10)

表3 多維地震動強度調(diào)制函數(shù)參數(shù)取值Tab.3 Parameter values of intensity modulation function upon multi-dimensional ground motions

3.3 多維地震動的頻譜特性參數(shù)識別

(11)

于是，假定同一組實測強震記錄各分量的場地土阻尼比相等，則對于第m組的第i、第j個平動分量間的卓越圓頻率之比為

(12)

表4給出了不同場地平動分量間的卓越圓頻率之比的均值。可見，水平分量間的卓越圓頻率大致相同，且通常小于豎向分量的卓越圓頻率。

表4 多維地震動卓越圓頻率比值Tab.4 Ratio of predominant circular frequency of multi-dimensional ground motion

3.4 多維地震動的幅值特性參數(shù)識別

(13)

對于具有演變功率譜S(ω,t;λS,i)的地震動過程，其能量曲線P(t;λS,i)可定義為

(14)

令

(15)

由帕薩瓦爾定理可知，信號的時域總能量與頻域總能量相等，即

由此，可得

(17)

(18)

(19)

表5給出了不同場地類別的多維地震動平動分量間峰值因子比值以及峰值加速度比值的均值?？梢?，水平分量間的峰值因子以及峰值加速度都大體相同，而水平分量與豎向分量的峰值因子比值隨場地土變軟弱而逐漸變小，峰值加速度比值則具有完全相反的變化趨勢。

表5 峰值因子比值與峰值加速度比值Tab.5 Peak factor ratio and peak acceleration ratio

總之，通過給定x向分量的演變功率譜模型參數(shù)，根據(jù)3.2節(jié)、3.3節(jié)及3.4節(jié)，便可得到其他方向分量的演變功率譜參數(shù)。進一步，將不同方向的演變功率譜模型參數(shù)分別代入式(5)，即可得到多維地震動三方向分量的演變功率譜密度函數(shù)S(ω,t;λS,1)，S(ω,t;λS,2)和S(ω，t;λS,3)。

4 基于POD的多維地震動降維模擬

4.1 基于正交隨機變量的POD表達

工程上常將多維地震動看作零均值的1D-3V(一維三變量)隨機向量過程，進而可采用本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)方法進行模擬。令隨機向量過程u(t)=[u1(t),u2(t),u3(t)]，其中u1(t),u2(t)和u3(t)分別表示x,y和z向的地震動分量過程，其演變功率譜密度矩陣S(ω,t)可表示為

(20)

其中，S(ω,t)可分解為如下的形式

(21)

(22)

式中：特征向量矩陣Ψ(ω)=[ψ1(ω),ψ2(ω),ψ3(ω)]；特征值對角矩陣Λ(ω)=diag[Λ1(ω),Λ2(ω),Λ3(ω)]；I為3×3階的單位矩陣。

進一步地，令

ψj(ω)=χj(ω)+iZj(ω)，j=1,2,3

(23)

式中:i為虛數(shù)單位;χj(ω)=[χ1j(ω),χ2j(ω),χ3j(ω)]T;Zj(ω)=[Z1j(ω),Z2j(ω),Z3j(ω)]T。

根據(jù)劉章軍的研究及文獻[24]，多維地震動過程u(t)的第i個分量過程ui(t)的POD表達式為

[χij(ωk)(Rjkcosωkt-Ijksinωkt)-

Zij(ωk)(Rjksinωkt+Ijkcosωkt)]，i=1,2,3(24)

式中:N為頻率離散點數(shù)；Δω為頻率步長；Rjk和Ijk為零均值的正交隨機變量，滿足以下基本條件

(25)

4.2 正交隨機變量的降維表達

隨機向量過程的POD方法在本質(zhì)上屬于Monte Carlo方法。該方法通常需要大量隨機抽樣才能達到令人滿意的模擬精度：一方面，高維隨機變量導(dǎo)致生成的樣本數(shù)量巨大，嚴重影響結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析的計算效率；另一方面，隨機抽樣的本質(zhì)導(dǎo)致生成的樣本概率信息不完備，無法對結(jié)構(gòu)進行精細化動力反應(yīng)分析和動力可靠性評價。為克服上述挑戰(zhàn)，本文引入基于隨機函數(shù)的降維思想，將正交隨機變量{Rjk,Ijk}定義為如下的隨機函數(shù)形式

(26)

式中，Θq(q=1,2)為在區(qū)間(0,2π]內(nèi)均勻分布且相互獨立的基本隨機變量。

顯然，式(26)定義的隨機函數(shù)形式完全滿足式(25)的基本條件。通過降維方法，僅需兩個基本隨機變量即可精細化模擬多維地震動過程，且生成的代表性時程構(gòu)成一個完備的概率集，為與概率密度演化方法結(jié)合實現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)精細化動力反應(yīng)分析與動力可靠性評價奠定了有力基礎(chǔ)。

5 模擬步驟

多維地震動過程的模擬步驟如下：

步驟2構(gòu)造多維地震動過程的演變功率譜模型。給定x向分量的演變功率譜參數(shù)，隨后根據(jù)表3、表4和表5確定y,z向分量的演變功率譜參數(shù)。將參數(shù)代入式(5)～式(7)，即可確定多維地震動的演變功率譜S(ω,t;λS,i)。

步驟4確定正交隨機變量集{Rjk,Ijk}。將步驟3中生成的Θq(q=1,2)的代表性點集代入式(26)，此處，需要注意的是，為實現(xiàn)多維地震動向量過程的模擬，需要進行確定性的隨機序列變換(s,l)→(j,k)。這一確定性的一一映射過程可以通過MATLAB工具箱中的rand(‘state’,0)和temp=randperm(3×N)函數(shù)實現(xiàn)。這樣，即可唯一確定正交隨機變量集{Rjk,Ijk}。

6 數(shù)值算例

在本算例中，以II類場地為例，地震動設(shè)防烈度為8度，模擬持時30 s，時間步長0.01 s，截斷頻率240 rad/s，頻率步長0.15 rad/s，代表性時程數(shù)量為144，演變功率譜參數(shù)的取值具體如表6所示。

表6 多維地震動演變功率譜取值Tab.6 Evolutionary power spectrum parameter values of simulated multi-dimensional ground motion

圖3為采用降維方法生成的多維地震動。其中，圖3(a)為多維地震動的代表性時程；圖3(b)為相干函數(shù)模擬值與實測強震記錄的對比結(jié)果；圖3(c)為演變功率譜模擬值與相應(yīng)目標值的對比結(jié)果。從圖3(a)可以看出，不同方向分量的地震動代表性時程在持時、頻譜、幅值等方面都顯示出較大的差異性，具有顯著的多維地震動特征。從圖3(b)和圖3(c)可以看出，相干函數(shù)的模擬值和演變功率譜的模擬值均與各自的目標值擬合良好，證明了降維方法的有效性。

圖3 采用降維模擬方法生成的多維地震動結(jié)果Fig.3 Simulation results of multi-dimensional ground motion generated by the dimension-reduction method

為進一步證明降維方法的精確性，表7分別計算了144條和987條代表性時程的均值平均相對誤差與標準差平均相對誤差?？梢钥闯?，當僅生成144條代表性時程時，均值與標準差的平均相對誤差均小于5%，滿足工程需求，證明了降維方法的精確性。此外，隨著代表性時程的增加，均值與標準差的平均相對誤差均逐漸減小，證明了降維方法具有收斂性。

表7 降維模擬方法的均值與標準差平均相對誤差Tab.7 Average relative errors of mean and standard deviation upon the dimension-reduction simulation method

為了進一步驗證多維地震動演變功率譜的工程適用性，圖4和圖5給出了II類場地不同方向分量反應(yīng)譜和幅值譜模擬值與實測強震記錄的對比。為了便于對比，本文將代表性時程與實測強震記錄均調(diào)幅至200 cm/s2。可見，本文的模擬結(jié)果與實測記錄擬合良好，且實測強震記錄均包含在模擬均值加/減一倍標準差范圍內(nèi)，充分驗證了本文提出的多維地震動模型的有效性。

圖4 多維地震動反應(yīng)譜模擬值與實測記錄對比Fig.4 Comparisons between simulated values and measured records of response spectrum upon multi-dimensional ground motion

圖5 多維地震動幅值譜模擬值與實測記錄對比Fig.5 Comparisons between simulated values and measured records of amplitude spectrum upon multi-dimensional ground motion

7 結(jié) 論

在實測強震記錄基礎(chǔ)上，對多維地震動平動分量的相干性、持時、頻譜、幅值等特性進行了識別分析。同時，引入隨機向量過程模擬的降維方法，實現(xiàn)了多維地震動的降維建模。主要結(jié)論如下：

(1)多維地震動三平動分量的相干性隨頻率變化較為明顯，本文建議的模型能夠較好地反映這種變化趨勢，且形式簡單。

(2)構(gòu)建不同分量在幅值、持時、頻譜方面的關(guān)系，實現(xiàn)了多維地震動演變功率譜的建模，便于工程應(yīng)用。多維地震動的豎向分量與水平分量相比，平穩(wěn)持時更長，能量和場地特征周期更小。

(3)算例表明，降維方法僅需生成幾百條代表性時程即可得到較高精度。同時，反應(yīng)譜、幅值譜和相干性的模擬值與實測強震記錄擬合良好，驗證了多維地震動降維模型的工程適用性。