徐 波，楊逸欣，余萬強，陳雨楠，李東東

基于狀態(tài)空間模型與PEM迭代算法的電力系統(tǒng)慣量辨識

徐 波1，楊逸欣1，余萬強2，陳雨楠3，李東東1

(1.上海電力大學電氣工程學院，上海 200090；2.國網(wǎng)四川省電力公司內(nèi)江供電公司，四川 內(nèi)江 641400；3.華中科技大學電氣與電子工程學院，湖北 武漢 430074)

慣量是保障電力系統(tǒng)頻率安全穩(wěn)定的重要參數(shù)之一，因此需對其進行精確的在線測量。針對當前采用的系統(tǒng)辨識方法測量精度不高的問題，研究系統(tǒng)辨識中算法模型的選擇對測量結果的影響。首先，分析比較現(xiàn)有的傳遞函數(shù)模型、自回歸滑動平均模型以及子空間辨識模型進行慣量辨識的測量原理。其次，從慣量響應初期階段數(shù)據(jù)匹配的角度，提出基于PEM迭代算法的狀態(tài)空間估計模型。最后，搭建10機39節(jié)點電力仿真系統(tǒng)，驗證了所提辨識模型的正確性。并在不同功率擾動程度以及不同采樣時間窗口下，分析4種辨識模型的適用性，為確定系統(tǒng)最優(yōu)辨識模型提供參考依據(jù)。

電力系統(tǒng)慣量；系統(tǒng)辨識；在線測量；迭代算法

0 引言

發(fā)展新能源是實現(xiàn)雙碳目標的重要措施之一。隨著大規(guī)模新能源接入電網(wǎng)，傳統(tǒng)的同步發(fā)電機逐步被替換。由于風、光等可再生能源發(fā)電具有間歇性和波動性，且多需通過電力電子設備并網(wǎng)發(fā)電，導致電力系統(tǒng)的慣量響應能力降低。低慣量電力系統(tǒng)無法對擾動后頻率的變化提供有效支撐，不利于系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行[1-6]。因此，準確測量含高比例新能源和電力電子設備的新型電力系統(tǒng)的慣量具有重要意義[7-10]。

目前電力系統(tǒng)慣量測量的方法可分為離線測量和在線測量兩類。離線測量方法基于轉(zhuǎn)子運動方程，利用擾動事件后的數(shù)據(jù)進行測量。文獻[11]利用擾動事件發(fā)生前后系統(tǒng)的功率缺額和頻率變化率的改變，進行區(qū)域系統(tǒng)慣量值的測量評估。但離線測量方法需要等待大擾動事件的發(fā)生，只能對系統(tǒng)慣量進行事后測量。

在線測量方法可實現(xiàn)對系統(tǒng)慣量的連續(xù)估計測量。其實質(zhì)是基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的系統(tǒng)辨識方法，即通過電力系統(tǒng)正常運行或受到小擾動時的有功變化和頻率變化數(shù)據(jù)，采用系統(tǒng)辨識算法建立電力系統(tǒng)中慣量響應模型，由此分析模型中輸入、輸出與系統(tǒng)慣量的關系，并從中求取慣量值。文獻[12]通過脈沖響應、階躍響應和最大頻率變化率從已辨識的模型中求取慣性時間常數(shù)，但文中未涉及對辨識模型的準確性評價。文獻[13]提出采用傳遞函數(shù)模型辨識網(wǎng)絡模型，并引入了模型參數(shù)優(yōu)化和奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)降階。文獻[14]基于自回歸滑動平均模型的系統(tǒng)辨識算法建立了電力系統(tǒng)慣量響應等效模型，從中可求得系統(tǒng)等效慣量。文獻[15]基于子空間狀態(tài)空間系統(tǒng)辨識的數(shù)值算法(Numerical Algorithms for State Space Subspace System Identification, N4SID)得到有功偏差和母線頻率偏差之間的動態(tài)模型，并從中求得系統(tǒng)中同步發(fā)電機慣量。文獻[16]在該算法基礎上進行改進，使其能準確估計含可再生能源的系統(tǒng)整體等效慣量。

分析上述文獻中所采用的系統(tǒng)辨識方法可以看出，辨識算法模型的可靠性與慣量測量結果的準確性密切相關。但是目前文獻多注重提出新的辨識方法，而對在線估計方法的估計精度、辨識算法模型優(yōu)劣等問題研究較少，缺乏選擇最優(yōu)辨識模型的參考依據(jù)。

鑒于此，本文首先分析對比目前常用的傳遞函數(shù)估計(Transfer Function Estimation, TFEST)模型、帶輸入自回歸滑動平均(Auto-Regressive Moving Average with eXogenous inputs, ARMAX)模型以及N4SID模型。在此基礎上，針對精度不高的問題，從數(shù)據(jù)匹配度角度考慮，本文提出將狀態(tài)空間估計(State Space Estimation, SSEST)模型與PEM(Prediction Error Minimization)迭代算法結合，以實現(xiàn)辨識模型參數(shù)初值的迭代優(yōu)化。最后在改進的IEEE10機39節(jié)點系統(tǒng)中仿真分析以上4種辨識模型的適用性，結果表明本文所提模型在慣量響應期間具有高擬合度，有利于慣量的準確可靠計算，并為確定系統(tǒng)最優(yōu)擬合模型提供了建議。

1 基于系統(tǒng)辨識的電力系統(tǒng)慣量在線測量

1.1 系統(tǒng)等效模型辨識的測量原理

當電力系統(tǒng)發(fā)生擾動時，為了維持系統(tǒng)中功率供需平衡，電力系統(tǒng)會進行調(diào)頻，一般可分為慣量響應、一次調(diào)頻、二次調(diào)頻和三次調(diào)頻，如圖1所示。其中，慣量響應將在擾動發(fā)生后快速動作，并持續(xù)數(shù)秒以阻礙頻率變化，為系統(tǒng)提供慣量支撐功率，常用慣性時間常數(shù)表征慣量響應能力的大小。

圖1 調(diào)頻過程

在電力系統(tǒng)的實際運行中，負荷不斷變化，系統(tǒng)存在功率波動，將會引起持續(xù)的慣量響應。此時將電力系統(tǒng)或區(qū)域等效為一臺同步發(fā)電機，并采用轉(zhuǎn)子運動方程建立有功不平衡時慣性時間常數(shù)、功率與頻率之間的動態(tài)關系，如式(1)所示[11]。

系統(tǒng)辨識作為可從噪聲數(shù)據(jù)中建立復雜系統(tǒng)精確數(shù)學模型的主要方法之一，能夠建立具有電力系統(tǒng)動態(tài)特點的數(shù)學模型[17-18]，其原理如圖2所示。通過系統(tǒng)辨識算法可辨識出如式(2)所示的未知慣量響應模型，并從中獲取系統(tǒng)慣性時間常數(shù)。

圖2 系統(tǒng)辨識原理圖

電力系統(tǒng)正常運行中含有多種復雜的控制環(huán)節(jié)，因此辨識得到的傳遞函數(shù)往往為高階模型，受多種參數(shù)混合影響，無法直接推導出慣量值。一般情況下，可采用低階模型辨識出電力系統(tǒng)等效模型，并通過對辨識模型進行降階擬合從而對慣性時間常數(shù)進行推導。

以二階傳遞函數(shù)為例。假設連續(xù)時間下辨識得到的慣量響應模型函數(shù)形式滿足式(3)。

將該傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間模型。采用頻域擬合的方法，在保持系統(tǒng)的能控性、能觀性且滿足穩(wěn)定狀態(tài)輸入與輸出關系的前提下，識別并消除無關量使狀態(tài)空間模型的階數(shù)降為一階，最后將化簡后的一階狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)變?yōu)槿缡?4)所示的連續(xù)時間傳遞函數(shù)。

1.2 系統(tǒng)辨識在線測量系統(tǒng)慣量的步驟流程

基于上述原理，在線測量系統(tǒng)等效慣性時間常數(shù)可分為以下3個步驟：

基于系統(tǒng)辨識的方法對電力系統(tǒng)的等效慣性時間常數(shù)進行在線的測量流程，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)辨識在線測量流程圖

分析可知，系統(tǒng)辨識算法模型決定所辨識的電力系統(tǒng)慣量響應模型的準確性，進而影響系統(tǒng)等效慣性時間常數(shù)的測量精度。因此，選擇合適的系統(tǒng)辨識算法模型是在線測量電力系統(tǒng)等效慣性時間常數(shù)的關鍵步驟。

2 系統(tǒng)辨識算法模型

目前已用于電力系統(tǒng)慣量測量的系統(tǒng)辨識模型有TFEST模型[12-13,19]、ARMAX模型[14,20-21]以及N4SID模型[15-16, 22]等。本節(jié)首先從原理上對這3種模型進行分析對比，并在此基礎上從數(shù)據(jù)匹配的角度提出基于PEM迭代算法的SSEST模型。

2.1 模型原理分析

2.1.1 TFEST模型

TFEST[23-24]模型是傳遞函數(shù)估計模型，即用多項式之比來描述系統(tǒng)輸入和輸出之間的關系。

在連續(xù)時間內(nèi)，TFEST模型的形式為

2.1.2 ARMAX模型

ARMAX模型[14]是帶輸入自回歸滑動平均模型，采用該模型觀察到的輸出是包含過去的輸入、噪聲和隨機干擾信號3個回歸項的總和。不同的多項式模型都可以表示為一個通用模型的特殊情況。離散ARMAX模型的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

2.1.3 N4SID模型

N4SID模型[25]是數(shù)值子空間方法估計狀態(tài)空間模型，用于辨識系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，不需要知道系統(tǒng)內(nèi)部聯(lián)系即可實現(xiàn)對復雜系統(tǒng)的辨識。對于單輸入、單輸出的階線性時不變系統(tǒng)，其狀態(tài)空間模型表示為

2.2 模型對比

表1比較了TFEST模型、ARMAX模型以及N4SID模型辨識的適用場合及優(yōu)點。

表1 系統(tǒng)辨識模型對比

可見，作為辨識連續(xù)時間的模型，TFSET模型具有更高的時間分辨率，但在測量噪聲的占比大時，會因測量噪聲影響結果精度。而N4SID模型和ARMAX模型作為辨識離散時間的模型，在辨識過程中需將離散的時間函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)的時間函數(shù)形式，即將離散模型連續(xù)化。因此采用N4SID模型和ARMAX模型雖能準確反應系統(tǒng)的動態(tài)模型，但會增加計算成本。而在電力系統(tǒng)等效慣量測量中需要低耗時和高可靠性的模型。

2.3 基于最小化PEM的SSEST模型

基于PEM算法的SSEST模型可辨識連續(xù)和離散時間下的狀態(tài)空間模型，該模型采用PEM算法更新初始模型的參數(shù)以匹配估計數(shù)據(jù)，可實現(xiàn)初始辨識模型的再優(yōu)化，便于計算和分析，能得到數(shù)據(jù)匹配度更優(yōu)的模型。

SSEST模型是狀態(tài)空間估計模型，可使用時域或頻域的數(shù)據(jù)估計階的連續(xù)時間狀態(tài)空間模型系統(tǒng)，可表示為

將式(11)所示的狀態(tài)空間信號模型進行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)：

式中，是單位矩陣。

采用連續(xù)的采樣數(shù)據(jù)可構造如下規(guī)則的Hankel矩陣。

將式(13)分解為兩個矩陣，如式(14)所示。

PEM算法是采用數(shù)值優(yōu)化來最小化成本函數(shù)[17, 23]，即預測誤差的加權范數(shù)，對于輸出標量定義如式(15)所示。

考慮到采用不同時刻的采樣數(shù)據(jù)得到的結果會有出入，因此通過PEM算法利用個采樣數(shù)據(jù)迭代計算，縮小計算誤差，得到其最佳估計值。

3 仿真分析

3.1 仿真參數(shù)設置

搭建新英格蘭10機39節(jié)點仿真系統(tǒng)，如圖4所示。

圖4 10機39節(jié)點系統(tǒng)

算例參數(shù)設置如下：測試運行時間為100 s。系統(tǒng)額定頻率為60 Hz，基準容量為1000 MVA，基準電壓為345 kV。將所有的負荷模型均視為恒功率模型，其中G2為平衡節(jié)點。仿真系統(tǒng)的總?cè)萘繛?192 MVA。各發(fā)電機的具體參數(shù)設置如表2所示。結合式(6)可知，此時系統(tǒng)的等效慣性時間常數(shù)的理論值為3.9520 s。

3.2 仿真算例

通過仿真分析4種辨識算法模型在不同擾動大小、不同采樣時間窗口下的適應性。

本文使用歸一化均方根誤差[26-27]來衡量模型估計的輸出數(shù)據(jù)與去噪后實際采樣數(shù)據(jù)的擬合程度，其定義如式(17)所示。

表2 發(fā)電機參數(shù)設置

此外，通過將慣性時間常數(shù)測量結果與設定值進行比較，可得到測量誤差，其定義式為

3.2.1不同擾動大小的影響

以同步機G10為例，4種系統(tǒng)辨識算法模型下的電力系統(tǒng)等效慣量響應模型的擬合度如圖5所示。分析圖5可知，基于PEM的SSEST模型能體現(xiàn)出較高的模型整體擬合度，即該模型對調(diào)頻動態(tài)響應過程的整體描述能力較好。由局部放大圖可知，在擾動發(fā)生的初始時刻，該辨識模型也能體現(xiàn)出對慣量響應初始階段的擬合效果。此外，雖然TFEST模型也具有較高的整體擬合效果，但其對慣量響應初始階段的擬合效果較差。

圖5 慣量響應模型擬合結果(G10)

由式(20)可得表3，即場景I的測量結果。

表3 場景I的測量結果

通過對比表3中測量值可知，4種方法的測量誤差均在10%以內(nèi)，但本文所提出的辨識模型的求解精度最高。

場景II中不同程度的小擾動下，4種系統(tǒng)辨識算法模型所得的等效慣性時間常數(shù)誤差如圖6所示。

圖6 小擾動下測量結果誤差

分析可知，在負荷波動為10 MW(占比約0.0 16%)時，ARMAX模型開始出現(xiàn)明顯的波動，在負荷波動為5 MW(占比約0.008%)時，TFEST模型開始出現(xiàn)明顯的波動?？梢奣FEST模型和ARMAX模型不適用于擾動過小時，結果會出現(xiàn)較大波動。而N4SID模型和基于PEM的SSEST模型在系統(tǒng)受到極小擾動時，仍能對辨識結果進行較為準確的測量。此外，在滿足測量條件下，基于PEM的SSEST模型的測量誤差和波動程度均為最小，基本保持在5%以內(nèi)，其結果的可靠性更高。

場景III中不同程度擾動波動下4種方法所得結果誤差如圖7所示。分析可知，在不同等級的大擾動情況下，4種辨識算法模型的測量結果誤差均在9%以內(nèi)，均能提供較為可靠的測量結果。但整體而言，ARMAX辨識模型的結果誤差和波動程度更大，TFEST辨識模型的誤差波動小但誤差值較大。而本文所提方法具有更小測量誤差值和誤差波動程度。由此可得，基于PEM的SSEST算法的適用性范圍較其余3種算法而言更為廣泛，且所得結果具有更高的可靠性。

圖7 不同等級擾動下測量結果誤差

3.2.2不同采樣窗口長度的影響

在場景I的基礎上，調(diào)整不同采樣時間窗口長度，通過量化分析窗口長度可探究4種系統(tǒng)辨識算法對慣量響應階段辨識模型精度的影響，其誤差如圖8所示。

圖8 不同時間窗口長度下測量結果誤差

對比可知，隨著采樣時間窗口長度增加，除TFEST模型外，系統(tǒng)等效慣性時間常數(shù)計算誤差出現(xiàn)先下降再上升的趨勢?？赡苁且驗樵跀_動后20 s內(nèi)包含慣量響應階段的時間長度，而隨著時間的增加，結果中含著前一擾動的頻率響應階段和下一擾動的慣量響應階段，造成誤差疊加。但在5個時間段中，基于PEM的SSEST模型的測量誤差均在6%以內(nèi)，且波動程度較小，是4種模型中結果最優(yōu)的。

綜上對擾動與采樣窗口的仿真分析，可以看出：本文的模型在頻率小擾動事件中能保持高的數(shù)據(jù)匹配度，且在處理較小擾動和不同長度采樣窗口時仍具有更優(yōu)的辨識結果精度。

4 結語

本文在分析比較目前電力系統(tǒng)慣量測量中所用的3種系統(tǒng)辨識模型的基礎上，提出采用基于PEM算法的SSEST模型。本文方法考慮了頻率擾動程度和采樣窗口長度的差異，可為在線測量電力系統(tǒng)等效慣量建立最優(yōu)擬合模型和快速準確得到慣量測量結果提供參考。

(1) 電力系統(tǒng)中含有復雜的調(diào)頻環(huán)節(jié)，因此在辨識模型的選擇中，為保證結果的準確性，需優(yōu)先考慮在慣量響應初期階段的數(shù)據(jù)擬合程度。

(2) 與現(xiàn)有3種模型相比，本文所提的模型能匹配較小頻率擾動事件下的數(shù)據(jù)，并得到準確的系統(tǒng)等效慣性時間常數(shù)。

時間窗口長度不同時，其中含有的調(diào)頻階段會對結果產(chǎn)生影響，而本文所提模型可準確辨識慣量響應模型，并獲得系統(tǒng)等效慣性時間常數(shù)。

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Power system inertia identification based on a state space model and a PEM iterative algorithm

XU Bo1, YANG Yixin1, YU Wanqiang2, CHEN Yunan3, LI Dongdong1

(1. School of Electric Power Engineering, Shanghai University of Electric Power, Shanghai 200090, China;2. Neijiang Power Supply Company, State Grid Sichuan Electric Power Company, Neijiang 641400, China; 3. School of Electrical and Electronic Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

Inertia is one of the important parameters which can ensure that a power system frequency is in a stable state. So it needs to be measured accurately online. Aiming at the low measurement accuracy of the current system identification method, the influence of the algorithm model in system identification on the measurement result is studied. First, the principles of inertia identification based on transfer function model, auto-regressive moving average model and subspace identification model are analyzed and compared. Secondly, a state space estimation model based on a PEM iterative algorithm is proposed from the perspective of data matching at the initial stage of the inertia response. Finally, a 10-machine and 39-bus power simulation system is built to verify the correctness of the proposed identification model. The applicability of the four identification models is analyzed under different power disturbance degrees and sampling time windows. It provides a reference for power system operators to determine the optimal identification model.

power system inertia; system identification; online measurement; iterative algorithm

10.19783/j.cnki.pspc.211432

2021-10-25；

2021-11-22

徐 波(1981—)，男，通信作者，博士，講師，研究方向為新能源并網(wǎng)分析與控制等。E-mail: xubo@shiep.edu.cn

This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 51977128).

國家自然科學基金項目資助(51977128)

(編輯 魏小麗)