王 琛

(紹興市第一中學(xué)，浙江 紹興 310012)

學(xué)習(xí)要“抓住本質(zhì)”，這是我們指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時經(jīng)常會提到的經(jīng)驗.但如果深刻反思一下“什么是本質(zhì)，怎樣去抓住本質(zhì)”，無論是學(xué)生還是教師在認(rèn)識上都會有很大差距.一般我們認(rèn)為：對于定義、定理、公式，不僅要熟記它們的文字表述，還要準(zhǔn)確無遺漏地掌握它的構(gòu)成，這就是抓住本質(zhì).雖然這種認(rèn)識并無錯誤，但從《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度看，這樣對“抓住本質(zhì)”的認(rèn)識遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達到真正理想的境界.而且這樣學(xué)下去，隨著新的概念、知識的不斷增加，記憶上會不堪重負(fù)，常常會出現(xiàn)學(xué)新忘舊的情況，因為這時的知識在頭腦中是碎片化的，沒有融為一體，這樣的知識學(xué)習(xí)，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，也不會有促進作用和利用價值.

那么，正確的做法是什么呢？我們認(rèn)為應(yīng)當(dāng)從系統(tǒng)的角度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，置知識于系統(tǒng)之中，應(yīng)著眼于知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，著眼于數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透，從而深入本質(zhì)，抓住本質(zhì).這里我們以立體幾何中有關(guān)點、線、面的距離和角的統(tǒng)一關(guān)系為例做一探究說明，希望對廣大師生的教和學(xué)有所啟發(fā).

視角1立體幾何中有關(guān)點、線、面的距離從兩平行平面角度看是統(tǒng)一的，大小是唯一的，且點、線、面的各種距離，是相應(yīng)點、線、面上各取任意一點的連線段長度的最小值.

立體幾何中有關(guān)點、線、面定義了7種距離，即點點、點線、點面、兩平行線、兩異面直線、直線與平面、兩平行平面之間的距離.

如圖1，平面α和平面β為分別經(jīng)過對應(yīng)點A，B(垂足)，或直線a、直線b且和直線AB垂直的兩平行平面，則從平行平面α和平面β的角度看，7種距離可以統(tǒng)一為平行平面α和β的距離，或兩平面內(nèi)任意一點到另一平面的距離，即距離值不會因為點或線在一個平面內(nèi)的平移、轉(zhuǎn)動變化(距離不變性)，且為相應(yīng)點、線、面上各取任意一點的連線段長度的最小值.這進一步為通過轉(zhuǎn)化化歸思想求距離值提供了理論依據(jù)和解題路徑，并呈現(xiàn)出了體積法、代數(shù)法、向量法等眾多間接求法.

圖1

例1如圖2所示的長方體木料中，已知AB=BC=2，AA1=1，設(shè)E,F分別為DD1，AA1的中點，G為線段EF上一點，則△A1GC面積的最小值為______.該長方體中經(jīng)過點A1,G,C的截面面積的最小值為______.

圖2 圖3

圖4

說明原解通過設(shè)GE=tEF，用代數(shù)法求解，較為煩瑣.若數(shù)形結(jié)合利用7種距離的等價關(guān)系思考，則可實現(xiàn)化繁為簡.同時也可利用7種距離的等價關(guān)系拓展或改編形成如求異面直線EF與A1C、點C到面EFTS的距離等7種距離的系列試題及以下的改編題組.

圖5 圖6

說明基于立體幾何中有關(guān)點、線、面的距離和兩平行平面的統(tǒng)一性，我們可以將動點由線及面，從而得到改編題1，條件結(jié)合向量呈現(xiàn)并將定長線段設(shè)置進行調(diào)整或更為隱蔽，得到改編題2.

視角2立體幾何中有關(guān)線、面之間所成的角，從二面角的平面角角度看是統(tǒng)一的、大小是唯一的，且線、面之間所成的角是相應(yīng)特定結(jié)構(gòu)中一類角的最值角.

立體幾何中有關(guān)線與面之間的角，除平面幾何中定義的相交直線所成角外，又定義了3類角，即兩異面直線所成角、斜線和平面所成角和二面角的平面角.

如圖7，平面α和平面β分別為異面直線AE,BF分別與它們的公垂線EF確定的平面，從二面角α-EF-β角度看，上述3類角可以統(tǒng)一為二面角α-EF-β的平面角，即異面直線AE,BF所成角的大小等于直線AE與平面α、直線BF與平面β所成角的大小，也等于二面角α-EF-β的平面角或其補角的大小，并進一步體現(xiàn)出角大小的“平移不變性”，即凡是與直線AE,BF或平面α、平面β平行的線或面，它們與對應(yīng)的線或面所成的角和原來的大小相等.如若直線l與直線AE平行，則直線l和直線BF所成角與直線AE和直線BF所成角大小相等，直線l和平面α所成角與直線AE與平面α所成角大小相等.

圖7

角和距離類似也具有最值性，具體有最小角定理和最大角定理.

結(jié)論1(最小角定理)線面角是線線角的最小角.

如圖7，對應(yīng)3類角可統(tǒng)一表述為：直線AE與平面α所成角，或直線BF與平面β所成角(或兩異面直線AE與BF所成角，或二面角α-EF-β的平面角或其補角即為非鈍角的角)分別為直線AE與平面α內(nèi)任一直線所成角，及直線BF與平面β內(nèi)任一直線所成角中的最小角.

結(jié)論2(最大角定理)二面角的平面角是線面角的最大角.

如圖7，對應(yīng)3類角可統(tǒng)一表述為：平面α和平面β的二面角的平面角(或兩異面直線AE與BF所成角，或直線AE與平面α所成角，或直線BF與平面β所成角)為平面α中的任意一條直線l與平面β所成的線面角中的最大角，也為平面β中的任意一條直線m與平面α所成的線面角中的最大角.

視角3如圖8，空間線與面之間所成角的定義與點、線、面距離有著直接的關(guān)聯(lián)，并有著如空間四邊形AEBF等特定的結(jié)構(gòu)和特點.進一步由這些結(jié)構(gòu)特點，可以得到以下結(jié)論：

圖8

結(jié)論3(異面直線上兩點距離公式)如圖8，AB2=AE2+BF2+EF2±2AE×BF×cosθ，其中θ可以為平面α和平面β的二面角的平面角，或兩異面直線AE與BF所成角，或直線AE與平面α所成角，或直線BF與平面β所成角(其中EF為異面直線AE,BF的公垂線).

例2如圖9,在矩形ABCD中,AD

圖9 圖10

( )

A．α>β>γB．γ>β>α

C．γ>α>βD．α>γ>β

分析由線面角最小角定理可知α>β,由二面角最大角定理可知γ>β.

如圖10,過點D′作D′M⊥AB，則異面直線D′M和BC所成的角即為二面角D′-AB-C的平面角γ.因為BC⊥AB，所以直線BC與平面ABD′所成角也為γ，由線面角最小角定理可知α>γ,從而α>γ>β.故選D．

說明異面直線所成角、線面角和二面角的等價轉(zhuǎn)換是解決問題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了上述3類角的等量關(guān)系；利用線面角最小角定理、二面角最大角定理是解決問題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了上述3類角的不等量關(guān)系.

利用上述3類角的統(tǒng)一等值關(guān)系或?qū)㈠F體這一載體改變成柱體等,也可進一步改編形成系列題組.

改編1如圖9,在矩形ABCD中,AD

( )

A．α>β>γB．γ>β>α

C．γ>α>βD．α>γ>β

分析直線BD′與平面ACD′所成角為β,二面角A-CD′-B的平面角為γ，由二面角最大角定理可知γ>β.因為AD′⊥D′C，所以可將二面角A-CD′-B的平面角看做AD′和平面BCD′所成的線面角，由線面角最小角定理可知α>γ,從而α>γ>β.故選D．

改編2如圖9，在長方形ABCD中，AD

( )

A．α>β>γB．γ>β>α

C．γ>α>βD．α>γ>β

分析1因為AD′⊥D′C，所以二面角A-CD′-B的平面角等價于AD′與平面BD′C所成的線面角，由線面角最小角定理可知γ<α.

另一方面,在三棱錐D′-ABC中，根據(jù)幾何體的對稱性知直線AD′與平面ABC所成角等于直線BC與平面ACD′所成角,即直線BC與平面ACD′所成角為β.而二面角A-CD′-B的平面角為γ，由二面角最大角定理可知γ>β，即α>γ>β.故選D．

分析2因為AD′⊥D′C，所以二面角A-CD′-B的平面角等價于AD′與平面BD′C所成的線面角，由線面角最小角定理可知γ<α.

另一方面,在三棱錐D′-ABC中，根據(jù)幾何體的對稱性知二面角A-CD′-B的平面角等于二面角C-AB-D′的平面角,即二面角C-AB-D′的平面角為γ，由二面角的最大角定理可知γ>β，即α>γ>β.故選D．

說明要解決改編1和改編2，幾何體的對稱性是解決問題的突破口，線面角和二面角的等價轉(zhuǎn)換是解決問題的關(guān)鍵，利用線面角最小角定理和二面角最大角定理是解決問題的有效工具.

例3如圖11，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，AC=AA1,E，F(xiàn)分別為棱BC，A1C1上的點.記EF與AA1所成角為α，EF與平面ABC所成角為β，二面角F-BC-A的平面角為γ，則

圖11

( )

A.α≤β≤γ

B.β≤α≤γ

C.β≤γ≤αD.α≤γ≤β

(2022年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第8題)

分析由二面角最大角定理可知β≤γ，因為AA1⊥面ABC，所以α與β互余且在以EF為斜邊的直角三角形中.由α所對邊不大于β所對邊，可知α≤β.故選A.

說明例3是基于線面角最小角定理和二面角最大角定理改編而成的高考題，與例2及改編1，2相比，一是載體由三棱錐變?yōu)槿庵菍?類角的等價關(guān)系通過“面的法線”轉(zhuǎn)變?yōu)榛ビ嚓P(guān)系，進一步將線面角最小關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽畲箨P(guān)系，但本質(zhì)并沒有改變.

立體幾何中距離和角的定義及求法，分散在新教材的兩章各節(jié)，如最大、最小角定理及投影線段公式等，甚至沒有在教材中單列呈現(xiàn)，而是隱藏在具體的習(xí)題之中.事實上，無論是距離和角的定義、求法，都是以唯一性或最值性為基礎(chǔ)演繹出的一個統(tǒng)一的系統(tǒng)，即它們原本就是一個系統(tǒng)，因此距離和角的上述關(guān)系，看上去會有些令人意想不到，卻是必然的合情合理.這種“置知識于系統(tǒng)中，著眼于知識之間的聯(lián)系”的學(xué)習(xí)方法，實際是一個融會貫通的過程，能使我們通過繁雜的現(xiàn)象抓住本質(zhì)，簡化記憶.更為重要的是，這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)作為目標(biāo)認(rèn)識問題的一種思想方法，即由尋找聯(lián)系入手，運用化歸等數(shù)學(xué)思想及“從特殊到一般，又從一般到特殊”等數(shù)學(xué)方法，把個別的、離散的現(xiàn)象構(gòu)成渾然一體的系統(tǒng)，實質(zhì)也是新教材“大單元教學(xué)”的本意，對學(xué)生能力的提高和素質(zhì)的發(fā)展具有重要的意義.