李福軍, 戚穎朵

(1.寧海海亮學校，浙江 寧海 315600;2.海亮初級中學，浙江 諸暨 311800)

每門科學都有推動自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯，數(shù)學也不例外.數(shù)學源于生活的外顯屬性，導致教學中忽視了學科發(fā)展的內(nèi)在邏輯，殊不知“數(shù)學的精神、思想和方法卻是創(chuàng)作數(shù)學著作、發(fā)現(xiàn)新的東西，使數(shù)學得以不斷向前發(fā)展的根源”[1]，我們暫且把這種推動力稱之為數(shù)學自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯！

1 數(shù)學發(fā)展內(nèi)在邏輯的主要表現(xiàn)

一般認為，矛盾是推動事物發(fā)展的內(nèi)在動力，而數(shù)學內(nèi)部的矛盾是促使數(shù)學發(fā)展的最主要的內(nèi)在邏輯，主要表現(xiàn)在以下4個方面.

1)數(shù)學的應用化、合理化過程中的自洽性問題.

數(shù)學從開始的少數(shù)幾個公理出發(fā)，進行符合邏輯地推導，證明出定理、公式，又導出另外的定理、公式.例如歐氏幾何就是通過先建立公理體系，再引進新的定義和概念，在應用和合理化推廣過程中解決一系列自洽性問題，最終搭建起的龐大的邏輯體系.

2)數(shù)學的擴張化、一般化過程中的普適性問題.

數(shù)學中許多概念，從最初的原始狀態(tài)不斷擴張，伴隨著一般化過程中普適性問題的解決，最終形成廣泛而精確的概念.例如函數(shù)的概念，就是通過7次擴張，直到成為今天這樣令人驚嘆的廣泛的概念.

3)數(shù)學的組織化、系統(tǒng)化過程中的統(tǒng)一性問題.

早期的數(shù)學都是零碎、片斷的，而隨著數(shù)學的發(fā)展，最后通過組織化形成一個系統(tǒng).例如：自然數(shù)是由計數(shù)的需要產(chǎn)生的，分數(shù)是由表示等分物品的需要而產(chǎn)生的，無理數(shù)是由開不盡方的需要而產(chǎn)生的，負數(shù)、復數(shù)是由求解方程的需要而產(chǎn)生的……數(shù)系的擴充很好地詮釋了矛盾推動數(shù)學前進，又通過系統(tǒng)化過程形成統(tǒng)一體.

4)數(shù)學的嚴密化、形式化過程中的嚴謹性問題.

很多數(shù)學知識都是精神研究的產(chǎn)物，因而會出現(xiàn)一些與現(xiàn)實經(jīng)驗相違背的知識版塊，最典型的就是被視為“異端”的非歐幾何，正是因為有違常識的矛盾，所以要通過引進假設，進行嚴密的形式化推演，最終形成嚴謹?shù)闹R體系.

2 基于數(shù)學發(fā)展內(nèi)在邏輯的教學實踐

教學中應體現(xiàn)數(shù)學內(nèi)在發(fā)展的邏輯，但教科書只以文本的形式呈現(xiàn)了最終的知識，而教學者要做的事就是挖掘學科內(nèi)在的邏輯，通過“再創(chuàng)造”還原數(shù)學知識“火熱的思考”.基于上述分析，筆者從以下4個方面進行了教學嘗試：

2.1 注重知識的整體性把握

數(shù)學的最大特點是整個知識像是一張網(wǎng)，相互關聯(lián)而不能割裂，教學中要強調(diào)知識從哪里來到哪里去，要形成對知識的整體性把握.

案例1浙教版《數(shù)學》七年級上冊第2.1節(jié)有理數(shù)加法(1).

針對教材中過于文本化的呈現(xiàn)，可設計以下問題串：

1)加法是求和，和是有理數(shù)，可以分成哪兩個部分？

符號和絕對值.

2)如何確定和的符號和絕對值？

借助數(shù)軸，分同號和異號兩數(shù)相加的情況得出法則，強調(diào)先確定符號再確定絕對值.

3)計算(+2)+(-2)=？

異號兩數(shù)相加，但絕對值相等，法則有漏洞，探究后補充：互為相反數(shù)的和為0.

4)再計算(+2)+0=？(-2)-0=？

這里0沒有符號，原法則不能解決，需再次進行補充規(guī)定……

5)談談有理數(shù)的加法與小學算術數(shù)的加法的異同？

評注教材往往把知識以符合文本邏輯的形式呈現(xiàn)，而教學應把知識按學科內(nèi)在發(fā)展的邏輯并符合學生的認知規(guī)律進行重組，即符合教學的邏輯呈現(xiàn)，關鍵要把握學習的路徑：探明知識生長點—新的問題(并解決)—次生問題(打補丁解決)—構建知識網(wǎng)絡—進入下一新的學習內(nèi)容…….本節(jié)課的邏輯循環(huán)具體表現(xiàn)在：

1)知識生長點：相反意義的量、有理數(shù)、數(shù)軸、算術數(shù)的各級運算，這里最關鍵的是要理解有理數(shù)是由符號和絕對值兩個部分組成；

2)新的問題：如何處理有符號的數(shù)的加法，即有理數(shù)相加，要遵循從簡單到復雜，先同號再異號；

3)次生問題：法則表面上解決了問題，但又產(chǎn)生新的問題，如何打補丁，最終完成一個自洽的體系；

4)構建知識網(wǎng)絡：如何與原有的知識進行有機融合；

5)進入新的學習：有理數(shù)的減法、乘除法又如何進行；

……

2.2 注重結論的推廣性拓展

許多數(shù)學上的偉大成果都是在對結論的推廣性拓展中產(chǎn)生的，如費爾馬大定理就是對勾股定理進行拓展的猜想，再經(jīng)過數(shù)代數(shù)學家不懈的努力解決，這也是推動數(shù)學發(fā)展的重要內(nèi)在邏輯.

案例2如圖1，在△ABC中，AB=AC,P是BC上任意一點，過點P作PE⊥AC,PF⊥AB，試問：PF+PE的和為定值嗎？

圖1 圖2

拓展1上述結果可以得出什么結論？

等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離和等于腰上的高線長.

拓展2等邊三角形邊長為a，求邊上任一點到另兩邊的距離和.

拓展3等邊三角形邊長為a，求其內(nèi)任一點P到3邊的距離和.

如圖2，由PF+PE=AN,PD=MN,得PE+PF+PD=AM.

拓展4如果點P在△ABC外，又會有什么樣的結論呢？

分兩種情況：如圖3，點P在△ABC外，可得

圖3 圖4

PE+PF=AN,AN-PD=AM,

從而

PE+PF+(-PD)=AM；

如圖4，可得 (-PE)+PF+PD=AM.

結合圖形，發(fā)現(xiàn)當垂線的方向與原始圖方向相反時線段的值取負值.

結論1無論點P在何處，三垂線代數(shù)和為定值(等邊三角形的高).

評注本案例通過追問學生“如果點P位于三角形的不同位置，那么結論是否成立”，極大地調(diào)動了學生的學習興趣.當然，教學中點P的位置也可以讓學生自己去設定，并自己去尋求答案，將會更精彩.

2.3 注重新知的結構化納入

皮亞杰認為：學習的過程是“同化—順應—平衡”的過程.數(shù)學學習也是如此，剛接受新知時，是一種同化的過程，當知識積累到一定程度后，必須通過順應再實現(xiàn)新的平衡，即將新知進行結構化納入，才能建立起牢固的知識結構.

案例3借鑒段春炳教師的教學課“同底數(shù)冪的除法”.

在最后環(huán)節(jié)，段教師進行了非常精彩的新知的結構化納入[2].

師：我們把加、減稱為一級運算，乘、除稱為二級運算，乘方稱為三級運算.請觀察冪運算和指數(shù)運算的關系，你能得到怎樣的結論？

1)am·an=am+n,冪相乘→指數(shù)相加.

2)am÷an=am-n,冪相除→指數(shù)相減.

3)(am)n=amn,冪乘方→指數(shù)相乘.

生1：指數(shù)運算比冪運算降了一級.

師：請大家再比較下面兩個公式，又能得到什么結論？

4)(ab)n=anbn,乘方對乘法有分配律.

5)m(a+b)=ma+mb,乘法對加法有分配律.

生2：高一級運算對低一級運算有分配律.

師：那(a+b)2=a2+b2為什么是錯的？

生3：乘方比加法高兩級，不存在分配律了.

……

評注教師在法則教學后，一般只會通過例題、習題進行鞏固，而段老師的高明之處在于對4種冪的運算進行比較、總結，揭示三級運算的轉化關系，把新知進行結構化納入，使學生對運算的理解更為深刻.

2.4 注重思維的嚴謹性訓練

正因為數(shù)學中的許多成果是精神研究的產(chǎn)物，所以嚴謹性的要求比別的學科更高，在教學中必須注重對學生思維的嚴謹性訓練.

案例4如圖5，在⊙O中，弦AB∥CD，∠BAC=90°，直徑EF分別與AB,CD相交于點H,I.求證：EH=IF.

圖5

分析本題只需聯(lián)結BC，證明△OBH≌△OCI即可.但學生往往會想當然認為BC過圓心，即想當然地認為BC是直徑，這里暴露出學生思維嚴謹性的不足，教學中務必把握住機會，對學生進行思維的嚴謹性訓練.

3 教學價值

遵循數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在邏輯的教學，與當下數(shù)學教學的熱點高度契合，主要表現(xiàn)在以下3個方面：

1)關注基本活動經(jīng)驗的積累.

從“雙基”到“四基”，是對數(shù)學教學理解的一大提升，但大家往往對基本活動經(jīng)驗的積累無感，其實在上述教學改進中，無不體現(xiàn)出基本活動經(jīng)驗的積累.如案例1中不斷地經(jīng)歷出現(xiàn)問題、解決問題的自洽性建設(也體現(xiàn)出數(shù)學的嚴謹性)；案例2則是在變化中對結論進行不斷地推廣，讓學生體會數(shù)學的普適性建設……由此可見，基于數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在邏輯的課堂教學，能使基本活動經(jīng)驗的積累融合于日常的學習之中.

2)體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)滲透.

義務教育階段的數(shù)學核心素養(yǎng)是：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.而重視數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在邏輯的教學無一不體現(xiàn)著這三大核心素養(yǎng)，只有深刻理解數(shù)學學科內(nèi)在的發(fā)展邏輯，并按這一邏輯組織展開教學，才能讓學生樹立數(shù)學的眼光觀察的世界觀、建立用數(shù)學的思維思考的方法論，同時在實踐上具備用數(shù)學的語言表達的輸出能力.如案例3，在得出法則并進行了一定的熟練后，從數(shù)學思維出發(fā)，從運算的層級的角度進行思考，揭示其內(nèi)在規(guī)律，讓學生用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實的世界；案例4則更是規(guī)范了用數(shù)學語言進行表達.

3)促進教師專業(yè)能力提升.

隨著教師隊伍的學歷層次的提升、教師的職稱評定系統(tǒng)日益完善，教師的專業(yè)地位已確立，但平時強調(diào)的教師專業(yè)能力往往會更多地關注教學技能、心理學和教育學等通識，數(shù)學專業(yè)方面最多會關注一些解題能力的提升，而較少對學科自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯的研究.如果教師能關注學科自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯，并能把學科邏輯與教材的文本邏輯、學生的學習邏輯相結合，形成自己的教學邏輯，這無論是對教師的專業(yè)能力提升還是對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都是大有裨益的.