姜琴娣

(余杭區(qū)黃湖鎮(zhèn)中學(xué)，浙江 杭州 311118)

在2021年各省各地的數(shù)學(xué)中考試題中，精彩“好題”層出不窮.“研題”不僅給我們帶來無限的思維沖擊，而且也給予我們無窮的樂趣享受，這必然能促進(jìn)教學(xué)．細(xì)研浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考第16題——填空壓軸題，發(fā)現(xiàn)近6年來一直延續(xù)“折疊”題，“年年考，年年新”形成一種特色，已成為一道亮麗的風(fēng)景線．現(xiàn)以2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考“折疊”題的拓展探究為例，探討聯(lián)想解題能力的培養(yǎng)、深度編題的策略，與同行們共享．

1 原題呈現(xiàn)簡(jiǎn)析

例1如圖1，在一張矩形紙片ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)DF，EF．若MF=AB，則∠DAF=______ °．

圖1

(2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第16題)

命題者圖畫得精確，解題者量得精準(zhǔn)，得到所求角的度數(shù)為18°，而且不設(shè)“陷阱”，可謂“秒殺”.經(jīng)過簡(jiǎn)單推理，果然答案如此，讓優(yōu)等生有“簡(jiǎn)單得懷疑人生”的感覺，中等生有“壓軸題做得真爽”的感受，后進(jìn)生有“竟然用量角器都能做對(duì)”的感嘆．

若命題者“故意”將圖畫得不精確一點(diǎn)，僅憑“量”解決不了問題，則又與實(shí)際不符，這是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模視?huì)使“魅力”黃金分割之美黯然失色．

由此看來，與以往相比，此題確實(shí)難度不大，沒有上演壓軸大戲，也因區(qū)分度不夠而略顯遺憾.但題目背景簡(jiǎn)約熟悉，知識(shí)常規(guī)中矩，圖形蘊(yùn)涵“0.618的美麗”，其實(shí)是一道值得細(xì)細(xì)品味、深度研究的“好題”．

2 聯(lián)想解題探究

在教學(xué)中，追求“一題多解”，尋求適合學(xué)生自己的“最優(yōu)解”，必定能挖掘題目的潛在價(jià)值，激增學(xué)生的思考容量，有效拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的寬度，培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題的知識(shí)聯(lián)想能力，縮短數(shù)學(xué)思維的長(zhǎng)度．

在本題中，對(duì)于條件“點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)”可以聯(lián)想到：直角三角形“斜中線”定理、等腰三角形“三線合一”性質(zhì)、三角形中位線定理、倍長(zhǎng)(類)中線法、平行四邊形的對(duì)角線互相平分等，于是非常自然地作出輔助線：如圖2，聯(lián)結(jié)DM(或聯(lián)結(jié)BD)．

圖2

解法1借助“共邊等腰三角形”聯(lián)想.

易得到等腰三角形△AMD，△MFD，△FDC，設(shè)∠DAF=x，則

∠FMD=∠FDM=2x，

進(jìn)而

∠DFC=∠DCF=4x.

于是在Rt△ACD中，

∠DAC+∠ACD=90°，

即

x+4x=90，

解得

x=18，

故

∠DAF=18°．

評(píng)注結(jié)合矩形的性質(zhì)、折疊、直角三角形斜中線等知識(shí)，綜合運(yùn)用3個(gè)“共邊等腰三角形”，問題迎刃而解．

解法2借助“母子等腰三角形”聯(lián)想.

易得△MCD，△MFD，△FDC為母子等腰三角形，聯(lián)想到“黃金三角形”，可得∠CMD=36°，又根據(jù)△AMD是等腰三角形，利用外角性質(zhì)可得∠DAF=18°．

評(píng)注根據(jù)母子相似三角形進(jìn)行“巧妙轉(zhuǎn)移”視線，利用“黃金三角形”直接獲解，解題思路非常簡(jiǎn)捷高效．

解法3借助“軸對(duì)稱列方程組”聯(lián)想.

設(shè)∠DAF=x，∠CDE=y，因?yàn)椤螦DF+∠CDF=90°，∠DFC+∠FDE=90°，所以得方程組

解得

x=18，y=18,

即

∠DAF=18°．

評(píng)注充分利用軸對(duì)稱列出方程組順利求得答案，達(dá)到了“左右逢源”的效果．

解法4借助“母子直角三角形”聯(lián)想.

由折疊可知DE⊥AC，交AC于點(diǎn)N，又

∠ADC=90°，

于是

△ADN∽△DCN∽△ACD，

從而

∠DAF=∠CDE.

設(shè)∠DAF=∠ADM=x，則

∠DMF=∠MDF=2x， ∠FDE=∠CDE=x，

由于 ∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=90°，

即

x+2x+x+x=90，

解得

x=18，

故

∠DAF=18°．

評(píng)注觀察到“母子相似”就能迅速實(shí)現(xiàn)戰(zhàn)線統(tǒng)一，解題的核心素養(yǎng)得以充分展現(xiàn)．

本題中的折疊問題涉及兩個(gè)“熟悉”的模型：

1)“雞爪”模型.如圖3,MA=MD=MC(一個(gè)頂點(diǎn)引出的3條線段叫做“雞爪型”線段).

圖3

2)“三節(jié)棍”模型.如圖3，CD=DF=FM(一條線段連接另兩條線段組成的圖形叫做“三節(jié)棍”圖形)．

解題時(shí)，需要將圖形適當(dāng)、恰當(dāng)?shù)胤蛛x，概括、提煉出特殊模型(識(shí)模)，借助模型可以聯(lián)想到相應(yīng)知識(shí)(用模)，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問題(解模)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的自然生成．

3 創(chuàng)新編題策略

“知識(shí)求聯(lián)，方法求變”，對(duì)試題進(jìn)行有效變式拓展，有利于進(jìn)一步感悟“母題”的解法，理解問題的本質(zhì)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法，不斷提升分析、思考、研究問題的思維能力[1]．在實(shí)際的教學(xué)“題組演練”過程中，教師積極采用“三十六計(jì)”策略，樂此不疲，精彩之技不容錯(cuò)過，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，遠(yuǎn)離題海戰(zhàn)術(shù)，助推初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

創(chuàng)編策略1瞞天過海，化“靜”為“動(dòng)”.

例2圖4是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在射線CB上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在直線AC上的點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)DF，EF．當(dāng)FM=AB時(shí)，∠DAC=______°．

圖4 圖5

評(píng)注例2提供一個(gè)參考圖，給學(xué)生展現(xiàn)空間想象的機(jī)會(huì)，將“靜”的原圖“動(dòng)”起來，邊AB仍靜止，把邊CD水平向右拉伸得到圖1(18°)，或水平向左壓縮得到圖5(54°).考查學(xué)生“分類討論”思想的運(yùn)用，“瞞天過?！?，解題思路與原題完全不同，學(xué)生自行作出圖形，盡管“測(cè)量法”仍適用，但難度上驟然提升，同時(shí)也增添了“數(shù)學(xué)味”．

創(chuàng)編策略2偷梁換柱，變“顯”為“隱”.

例3如圖1，在一張矩形紙片ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)DF，EF．若MF=AB=2，則AC=______．

評(píng)注例3將原題“求角度”改為“求長(zhǎng)度”，在一定程度上提升了難度．原題所求角度顯性18°被隱藏，“偷梁換柱”后聯(lián)想不到36°，進(jìn)而聯(lián)想不到“黃金三角形”，往往會(huì)與“妙法”擦肩而過.此題若利用方程思想去解則不太容易．

創(chuàng)編策略3明修棧道，引“暗”變“明”.

圖6 圖7

評(píng)注例4將條件“點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)”改為“對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)M”，實(shí)現(xiàn)知識(shí)轉(zhuǎn)向，將暗知“直角三角形斜中線”變?yōu)槊髦熬匦螌?duì)角線互相平分”.給定“圖6和圖7”，呈現(xiàn)明確的兩種情況，變?yōu)椤懊餍迼５馈?，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用能力．

創(chuàng)編策略4聲東擊西，由“近”及“遠(yuǎn)”.

例5在一張矩形紙片ABCD中，AB=12，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在射線CB上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在直線AC上的點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)DF，EF．

1)如圖8，當(dāng)F為MC的中點(diǎn)時(shí)，AD=______．

圖8 圖9

2)如圖9，當(dāng)F為MA的中點(diǎn)時(shí)，AD=______．

評(píng)注本改編考查“分類討論”思想相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用．為了分散畫圖技能的難點(diǎn)，設(shè)置兩個(gè)小題，給出了圖8和圖9，意圖是為了降低難度，節(jié)省解題時(shí)間.第1)小題的“聲東”為第2)小題的“擊西”提供知識(shí)支架，讓學(xué)生拾級(jí)而上，難度適宜，達(dá)到了由“近”及“遠(yuǎn)”的效果．

創(chuàng)編策略5圍魏救趙，避“實(shí)”就“虛”.

例6在一張矩形紙片ABCD中，AB=12，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在射線CB上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在直線AC上的點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)DF，EF．如圖10和圖11，當(dāng)F為AC的三等分點(diǎn)時(shí)，AD=______．

圖10 圖11

評(píng)注例6給出圖10(“趙”)和圖11(“魏”)，不同活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生的解題能力在“圍魏救趙”計(jì)策下顯露無遺，要救“趙”，不妨先圍“魏”，避實(shí)就虛，擊中要害，左右逢源，運(yùn)籌于帷幄之中，呈現(xiàn)一定的壓軸信度.當(dāng)然，如果不給予一個(gè)備用圖(圖10和圖11)，那么本題徹底壓軸，“畫圖，推理，運(yùn)算”三技共舞，難度系數(shù)瞬間提高，隨之也提升了區(qū)分度，但在目前“雙減”背景下，不宜出一些過難之題．

4 解編教學(xué)啟示

教師需關(guān)注解題“解”得精彩，更需注重編題“編”得精致.其實(shí)二者是相輔相成的，值得教師盡力探索、極力嘗試、傾心滲透、潛心研究．

4.1 聯(lián)想“促進(jìn)”自然

“聯(lián)想是思維的翅膀，解題離不開聯(lián)想”．近幾年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題都有意避開套用“模型”，考查的是數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生必須憑借對(duì)數(shù)學(xué)的理解，臨場(chǎng)發(fā)揮解決問題[2]．

在教學(xué)中，教師要重視基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，讓學(xué)生先行，呈現(xiàn)思考過程；要加強(qiáng)知識(shí)“聯(lián)想”的訓(xùn)練，讓學(xué)生善于“聯(lián)想”.教師要圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行總結(jié)和歸納，長(zhǎng)此以往必然會(huì)對(duì)提高解題能力、優(yōu)化思維品質(zhì)大有裨益，從而促進(jìn)學(xué)生自然解題．

4.2 創(chuàng)編“彰顯”深度

深度學(xué)習(xí)意味著學(xué)生需主動(dòng)地參與知識(shí)的構(gòu)建，獲得良好的可遷移的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能綜合應(yīng)用和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題[3]．

正如本題采用化靜為動(dòng)、變顯為隱、引暗變明、由近及遠(yuǎn)、避實(shí)就虛等創(chuàng)新編題策略，以核心素養(yǎng)為基點(diǎn)、能力立意為基準(zhǔn)、數(shù)學(xué)思想為基線、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為基調(diào)，從而彰顯學(xué)習(xí)的深度．

總之，在幾何復(fù)習(xí)課教學(xué)中，由于落實(shí)“雙減”的需要，教師只有多思考、多研題、多拓編，同時(shí)必須適當(dāng)考慮難度的控制，進(jìn)行精準(zhǔn)的知識(shí)關(guān)聯(lián)和整合，才能充分拓寬學(xué)生的視野，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，遷移自然解題能力，演進(jìn)和內(nèi)化學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．