仇 鑫,尤晶晶,2,葉鵬達(dá),王林康

(1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院,江蘇 南京 210037) (2.南京航空航天大學(xué)江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京 210016)

1965年,英國(guó)工程師Stewart在進(jìn)行飛行模擬器的研究中首次提出一種含6條相同支鏈的機(jī)構(gòu),學(xué)者們稱其為并聯(lián)機(jī)器人[1]. 相比于串聯(lián)機(jī)器人,并聯(lián)機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、承載能力大、累積誤差小、動(dòng)態(tài)特性好等特點(diǎn)[2-3],廣泛應(yīng)用于飛行模擬器[4]、醫(yī)療機(jī)械[5]、六維加速度傳感器[6]、人工智能[7]等領(lǐng)域,成為了國(guó)內(nèi)外熱門的研究課題. 靜剛度是并聯(lián)機(jī)器人一項(xiàng)重要的性能評(píng)價(jià)指標(biāo),直接影響機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性、承載能力和定位精度. 靜剛度不足,往往會(huì)使機(jī)構(gòu)產(chǎn)生變形、工作不穩(wěn)定、定位精度差,甚至?xí)?dǎo)致機(jī)構(gòu)本身結(jié)構(gòu)的嚴(yán)重破壞. 因此,對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人的靜剛度研究具有非常重要的意義[8].

Gosselin[9]在只考慮主動(dòng)關(guān)節(jié)彈性變形的前提下,采用虛功原理建立了空間機(jī)構(gòu)操作力與末端變形間的映射模型. Deblaise等[10]運(yùn)用矩陣位移法,建立了Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型. Khasawneh等[11]基于奇異值理論探討了給定末端位姿后沿任意方向的剛度及其極值間的比例關(guān)系,并借助有限元法解算出若干典型構(gòu)型的末端剛度. 汪滿新等[12]以3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,建立了考慮所有運(yùn)動(dòng)部件重力及構(gòu)件/鉸鏈彈性的半解析靜剛度模型. 朱偉等[13]研究了一種平面張拉整體機(jī)構(gòu),基于能量公式對(duì)機(jī)構(gòu)剛度進(jìn)行了分析,并得到了機(jī)構(gòu)在平衡狀態(tài)下的剛度分布等高線圖. 張東勝等[14]針對(duì)2RPU/UPR+RP五自由度混聯(lián)機(jī)器人,分別求解并聯(lián)部分與串聯(lián)部分兩子系統(tǒng)的靜剛度模型,從構(gòu)造系統(tǒng)的力旋量系和彈性變形協(xié)調(diào)條件入手,結(jié)合變形疊加原理與串聯(lián)部分微變形,建立了混聯(lián)機(jī)器人的整體剛度模型.

然而,現(xiàn)有的研究主要聚焦于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度,對(duì)于六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),尤其是六自由度變拓?fù)潋?qū)動(dòng)型并聯(lián)機(jī)器人的靜剛度特性分析相對(duì)較少. 該類問題的難點(diǎn)是系統(tǒng)的輸入、輸出量較多,特別是同時(shí)包含了移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),而且,轉(zhuǎn)動(dòng)又會(huì)進(jìn)一步衍生出新的移動(dòng). 本文提出一種新型的含混合單開鏈支路的Stewart型并聯(lián)機(jī)器人. 首先,為降低機(jī)構(gòu)的耦合度,設(shè)計(jì)了一種三重復(fù)合虎克鉸鏈;為實(shí)現(xiàn)變拓?fù)潋?qū)動(dòng),設(shè)計(jì)了一種可以轉(zhuǎn)換主、從運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)副;接著,基于速度基點(diǎn)法推導(dǎo)出并聯(lián)機(jī)器人的速度雅可比矩陣,并結(jié)合虛功率原理,建立了機(jī)器人的靜剛度計(jì)算模型;最后,運(yùn)用SolidWorks Simulation靜力學(xué)仿真軟件分析了機(jī)器人的剛度特性,進(jìn)一步驗(yàn)證了理論算法的正確性. 這為并聯(lián)機(jī)器人后續(xù)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化以及性能分析研究奠定了理論基礎(chǔ).

1 機(jī)構(gòu)描述

圖1 Stewart型并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure model of Stewart parallel robot

圖2 Stewart型并聯(lián)機(jī)器人拓?fù)錁?gòu)型Fig.2 Topological configuration of Stewart parallel robot

圖3 三重復(fù)合虎克鉸鏈結(jié)構(gòu)模型Fig.3 Structure model of triple compound Hooke hinge

如圖3所示,為了降低機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)耦合度,設(shè)計(jì)了一種三重復(fù)合虎克鉸鏈[15],其主要由第一層鉸鏈、第二層鉸鏈、第三層鉸鏈和中心柱組成. 第一層鉸鏈由第一套筒、外叉和第一U形過渡段組成,第二層鉸鏈由第二套筒、中叉和第二U形過渡段,第三層鉸鏈由第三套筒和內(nèi)叉組成. 三層鉸鏈均具有3條互相垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線,并且轉(zhuǎn)動(dòng)軸線始終相交于點(diǎn)Uj(j=1,2,3).

圖4 移動(dòng)副剖面圖Fig.4 Profile of prismatic joint

圖5 移動(dòng)副3種工作模式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.5 Structure diagram of three working modes of prismatic joint

如圖4所示,為了改變機(jī)構(gòu)的冗余度,設(shè)計(jì)了一種可轉(zhuǎn)換主、從運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)副[16],其主要由導(dǎo)桿、內(nèi)套筒、外套筒和轉(zhuǎn)換套筒組成. 導(dǎo)桿與內(nèi)套筒之間滑動(dòng)連接,內(nèi)套筒與外套筒之間通過螺紋連接. 當(dāng)轉(zhuǎn)換套筒與導(dǎo)桿通過螺栓和螺母固定時(shí),旋轉(zhuǎn)外套筒,帶動(dòng)轉(zhuǎn)換套筒和導(dǎo)桿一起移動(dòng),此時(shí)為主動(dòng)模式,該工作模式下的移動(dòng)副又稱為驅(qū)動(dòng)副. 當(dāng)轉(zhuǎn)換套筒與導(dǎo)桿無固定時(shí),外套筒不起作用,導(dǎo)桿在內(nèi)套筒的筒體內(nèi)光滑移動(dòng),此時(shí)為從動(dòng)模式,該工作模式下的移動(dòng)副又稱為從動(dòng)副. 當(dāng)轉(zhuǎn)換套筒與導(dǎo)桿通過螺栓和螺母固定時(shí),外套筒固結(jié)于內(nèi)套筒外表面,套筒和導(dǎo)桿相對(duì)靜止不動(dòng),此時(shí)為鎖合模式,在該工作模式下移動(dòng)副等效為剛性桿件. 移動(dòng)副3種工作模式下的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖5所示. 當(dāng)任意選取與自由度相等個(gè)數(shù)的移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副時(shí),機(jī)構(gòu)為一般驅(qū)動(dòng);當(dāng)選取大于自由度個(gè)數(shù)的移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副時(shí),機(jī)構(gòu)為冗余驅(qū)動(dòng). 限于篇幅,鎖合模式將另文研究.

基于移動(dòng)副的工作模式,將Stewart型并聯(lián)機(jī)器人重構(gòu)為3種拓?fù)錁?gòu)型,分別是3-3-3構(gòu)型、3-2-1構(gòu)型和2-2-2構(gòu)型(前、中、后3個(gè)數(shù)字各代表一條混合單開鏈支路中驅(qū)動(dòng)副的個(gè)數(shù)),如圖6所示. 其中,3-3-3構(gòu)型為冗余驅(qū)動(dòng),3-2-1構(gòu)型和2-2-2構(gòu)型為一般驅(qū)動(dòng).

圖6 Stewart型并聯(lián)機(jī)器人重構(gòu)構(gòu)型Fig.6 Reconfiguration of Stewart parallel robot

2 并聯(lián)機(jī)器人靜剛度的數(shù)學(xué)模型

2.1 速度雅可比矩陣的推導(dǎo)

表1 鉸鏈幾何中心在靜坐標(biāo)系中的位置矢量Table 1 The position vector of the geometric center of a hinge in a static coordinate system

圖7 3-3-3構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人受力分析圖Fig.7 Force analysis diagram of 3-3-3 configuration Stewart parallel robot

以3-3-3構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人為例,當(dāng)機(jī)器人的位形一定時(shí),各支鏈長(zhǎng)度確定,成為一個(gè)穩(wěn)定的機(jī)構(gòu). 此時(shí)在動(dòng)平臺(tái)上作用六維力矢,9條支鏈上會(huì)產(chǎn)生反作用力,忽略其自身重力和運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)處的摩擦力,則這些反作用力是沿支鏈方向的. 受力分析如圖7所示.

在動(dòng)平臺(tái)上任選一點(diǎn)P為參考點(diǎn),基于速度基點(diǎn)法,三重復(fù)合虎克鉸鏈的速度可以解析表示為

(1)

式中,vP、ωP分別表示點(diǎn)P的線速度和動(dòng)平臺(tái)的角速度,PO表示點(diǎn)P在靜坐標(biāo)系中的位置矢量.

將式(1)等號(hào)兩端同時(shí)點(diǎn)乘支鏈的單位方向向量,整理后可得第i條支鏈的速度為

(2)

式中,hi表示支鏈i的單位方向向量.

(3)

式中,li表示為第i條支鏈的長(zhǎng)度.

將式(2)寫成矩陣形式

(4)

(5)

同理,3-2-1構(gòu)型和2-2-2構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人的速度雅可比矩陣分別為

(6)

(7)

2.2 靜剛度矩陣的推導(dǎo)

基于式(4)及變分原理,可得虛位移方程

δl=JAδX,

(8)

式中,δX=(δxδyδzδαδβδγ)T.

式(8)進(jìn)行一階等時(shí)變分處理,可得虛速度方程

(9)

通過對(duì)式(8)和式(9)的觀察后發(fā)現(xiàn),得到兩個(gè)虛位移矢量和兩個(gè)虛速度矢量都與機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣有關(guān).將施加在動(dòng)平臺(tái)上的六維力矢簡(jiǎn)化為一個(gè)合力矢量F和一個(gè)力偶矢量M,根據(jù)虛功率原理,可得

(10)

將式(2)、(4)代入式(10),虛功率原理還可以表示成矩陣形式

(11)

式中,f=(f1,f2,…,f9)T.

將式(9)代入(11),可得

(12)

式(12)對(duì)于任意虛速度均成立,因此,施加于動(dòng)平臺(tái)上的外力和驅(qū)動(dòng)支鏈產(chǎn)生的反作用力之間的關(guān)系可通過速度雅可比矩陣聯(lián)系起來

(13)

根據(jù)Hooke定律,驅(qū)動(dòng)支鏈軸向力及其變形之間關(guān)系為

f=kAδl,

(14)

結(jié)合式(8)、(13)及(14),可得動(dòng)平臺(tái)所受的外力與其產(chǎn)生的微位移的關(guān)系為

(15)

假設(shè)各支鏈的等效彈簧系數(shù)相同,均為k,以動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)M為參考點(diǎn).初始位姿下,3-3-3構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人的速度雅可比矩陣和靜剛度矩陣分別為

(16)

(17)

同理,3-2-1構(gòu)型和2-2-2構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人的速度雅可比矩陣和靜剛度矩陣為

(18)

(19)

(20)

(21)

式中,JB、KB分別為3-2-1構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人的速度雅可比矩陣和靜剛度矩陣,JC、KC分別為2-2-2構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人的速度雅可比矩陣和靜剛度矩陣.

3 軟件仿真

以3-3-3構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人為例,在SolidWorks中建立簡(jiǎn)化的三維模型,其中,將每條驅(qū)動(dòng)副等效為二力桿,三重復(fù)合虎克鉸鏈等效為三重復(fù)合球鉸鏈,機(jī)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示.

表2 3-3-3構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Main structural parameters of 3-3-3 configuration Stewart parallel robot mm

以機(jī)構(gòu)初始位姿為研究對(duì)象,借助SolidWorks Simulation靜力學(xué)仿真軟件對(duì)其進(jìn)行仿真. 為簡(jiǎn)化分析,將靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、一般球鉸鏈以及三重復(fù)合球鉸鏈等效為剛度無限大的剛體,并根據(jù)并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及零件的應(yīng)用場(chǎng)合,驅(qū)動(dòng)副材料設(shè)定為45鋼,材料屬性如表3所示.

表3 材料屬性Table 3 Material properties

網(wǎng)格劃分是進(jìn)行靜力學(xué)分析的關(guān)鍵,劃分不合理會(huì)導(dǎo)致計(jì)算不收斂. 并聯(lián)機(jī)器人整體使用四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分,整機(jī)共有140 597個(gè)單元和267 843個(gè)節(jié)點(diǎn),如圖8所示.

圖8 3-3-3構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人網(wǎng)格劃分模型Fig.8 Meshing model of 3-3-3 configuration Stewart parallel robot

將靜平臺(tái)設(shè)定為固定幾何體,在動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)處同時(shí)施加3個(gè)作用力,方向分別沿X、Y、Z軸方向,大小分別為100 N,得到機(jī)構(gòu)中零部件的微位移變化云圖,結(jié)果如圖9所示.

圖9 3-3-3構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人位移云圖Fig.9 Displacement cloud of 3-3-3 configuration Stewart parallel robot

對(duì)于3-2-1構(gòu)型和2-2-2構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人,構(gòu)型中有3條從動(dòng)副,由于從動(dòng)副在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中不承受力,因此在簡(jiǎn)化三維模型中可將從動(dòng)副刪除,其余仿真條件不變. 仿真結(jié)果如圖10、圖11所示.

圖10 3-2-1構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人位移云圖Fig.10 Displacement cloud of 3-2-1 configuration Stewart parallel robot

圖11 2-2-2構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人位移云圖Fig.11 Displacement cloud of 2-2-2 configuration Stewart parallel robot

通過觀察圖9、圖10、圖11可以得出,在初始位姿并施加相同的作用力時(shí),3-3-3構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人靜剛度性能最優(yōu),2-2-2構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人靜剛度性能最差;3-3-3構(gòu)型和2-2-2構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人在各自的X、Y、Z3個(gè)方向上的靜剛度性能基本相同;3-2-1構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人在X、Z方向上的靜剛度性能基本相同,在Y方向上的靜剛度性能最差. 該結(jié)果與各構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特征相吻合.

限于篇幅,本文僅對(duì)比并分析δX中前3個(gè)元素的理論計(jì)算值和有限元仿真值. 根據(jù)式(15)～(21),求解出并聯(lián)機(jī)器人在3個(gè)方向上的位移值. 定義σ為有限元仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差,其表達(dá)式為

(22)

表4 數(shù)值計(jì)算與有限元仿真結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of numerical calculation and finite element simulation results

從表4可以看出,理論計(jì)算結(jié)果均接近于有限元仿真的結(jié)果,相對(duì)誤差在18.36%以內(nèi),參考文獻(xiàn)[17-19],該結(jié)果在允許的范圍內(nèi),其主要原因是兩者支鏈的等效彈簧系數(shù)ki存在相對(duì)誤差. 這表明,所建立的Stewart型并聯(lián)機(jī)器人靜剛度模型是正確、有效的.

4 結(jié)論

(1)提出了一種構(gòu)型冗余且對(duì)稱的新型 Stewart型并聯(lián)機(jī)器人,并對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了設(shè)計(jì). 通過設(shè)計(jì)三重復(fù)合虎克鉸鏈,降低了機(jī)構(gòu)耦合度;通過設(shè)計(jì)可以轉(zhuǎn)換主、從運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)副,實(shí)現(xiàn)了變拓?fù)潋?qū)動(dòng).

(2)基于移動(dòng)副的工作模式,將Stewart型并聯(lián)機(jī)器人重構(gòu)為3種拓?fù)錁?gòu)型,基于速度基點(diǎn)法推導(dǎo)出3種構(gòu)型的速度雅可比矩陣,并結(jié)合虛功率原理,建立了并聯(lián)機(jī)器人的靜剛度模型.

(3)采用SolidWorks Simulation靜力學(xué)仿真軟件對(duì)機(jī)構(gòu)靜剛度模型進(jìn)行了分析,結(jié)果表明,3-3-3構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人靜剛度性能最優(yōu),2-2-2構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人靜剛度性能最差,且兩種構(gòu)型在各自的X、Y、Z3個(gè)方向上的靜剛度性能基本相同;3-2-1構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人在Y方向上的靜剛度性能與其余兩個(gè)方向相比較差.

(4)與有限元仿真結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn),所建立的靜剛度模型誤差在18.36%以內(nèi),驗(yàn)證了靜剛度模型的合理性和正確性,為Stewart型并聯(lián)機(jī)器人下一步的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和性能分析奠定了基礎(chǔ).