龐登浩，胡帆汛，李哲楷，連 橫①

（安徽大學(xué) 互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，安徽 合肥 230000）

0 引言

“中國天眼”500 m口徑球面射電望遠鏡FAST工程，是中國乃至世界天文領(lǐng)域的重大科技基礎(chǔ)設(shè)施項目.FAST索網(wǎng)主動反射面結(jié)構(gòu)由2 226個主索節(jié)點、6 525根節(jié)點間連接主索以及4 300塊反射面板構(gòu)成.每個主索節(jié)點連接一根下拉索，下拉索下端與固定在地表的促動器連接，通過促動器頂端的伸縮，可控制主索節(jié)點的移動變位，但連接主索節(jié)點與促動器頂端的下拉索長度保持不變.主動反射面系統(tǒng)采用整體索網(wǎng)張拉設(shè)計，當(dāng)位移距離和實際距離不相同時，控制促動器在徑向上運動，使得索網(wǎng)移動并帶動反射面運動到理想工作拋物面以匯聚目標(biāo)天體電磁波，觀測時拋物面會隨著被觀測物體移動，實現(xiàn)主動變位，使得反射面在照明區(qū)域內(nèi)形成瞬時工作拋物面［1-2］.主動反射面可以分為基準(zhǔn)態(tài)和工作態(tài)2個狀態(tài)［3］，饋源艙的接收信號有效區(qū)域為直徑1 m的中心圓盤.

文章研究目的在于求出主網(wǎng)反射面的理想拋物面，控制促動器帶動主索節(jié)點的移動，使得主動反射面對理想拋物面的擬合達到最佳效果，從而使反射匯聚到饋源艙有效區(qū)域的電磁波數(shù)量最多.由于可知數(shù)據(jù)的局限性，本文做出如下3個假設(shè)：

假設(shè)1：假設(shè)面板上的小孔不影響對天體電磁波的反射.

假設(shè)2：假設(shè)促動器沿徑向的伸縮導(dǎo)致的主索節(jié)點在緯向上的偏移可以忽略.

假設(shè)3：假設(shè)三角網(wǎng)格上的反射面板為球面.

1 模型及其原理

1.1 遺傳算法與拋物線模型

遺傳算法是一種通過模擬自然進化過程來搜索最優(yōu)解的方法.遺傳操作為選擇、交叉和變異，關(guān)鍵步驟包括參數(shù)編碼、設(shè)定初始群體、設(shè)計適應(yīng)度函數(shù)、設(shè)計遺傳操作及參數(shù)控制.

首先，以基準(zhǔn)態(tài)球面的球心C為原點建立空間直角坐標(biāo)系，將每一個主索節(jié)點投影到XOY平面上，可以得到其在XOY平面上的坐標(biāo)M0i=(X0i,Y0i),(i=1,2,…,2 226)，求到原點的距離，接著沿Z軸和d0i所在線為面做切割，得到一個二維平面，原點不變，以d0i所在線為現(xiàn)X軸，原Z軸為現(xiàn)Y軸，確定當(dāng)前主索節(jié)點的新坐標(biāo)即：

設(shè)拋物線頂點A與對應(yīng)圓弧線最低點之間長度為h，拋物面的焦比為f.f、h為所需要控制的2個變量，使用遺傳算法來搜索最優(yōu)解［4］.在此只需建立一個模型即可解決假定f不變以及f、h均可變的這2種情況，具體模型如下：

為進一步減少主動反射面的變形，減小工作拋物面弧長與基準(zhǔn)球面的弧長差，提出對原模型的優(yōu)化：在主索節(jié)點變化不超過0.07%的條件下，利用遺傳算法對其進一步優(yōu)化參數(shù)h.

設(shè)主索節(jié)點M′0i到拋物線頂點A的弧長為，積分求出，主索節(jié)點M′0i到500 m口徑基準(zhǔn)球面頂點O的弧長為

1.2 旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)換法與天體方位變換模型

旋轉(zhuǎn)矩陣［5-7］是指在乘以一個向量時，改變向量的方向但不改變其大小，并且保持手性的矩陣.利用主動旋轉(zhuǎn)法將向量逆時針圍繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，建立天體方位變換模型.

當(dāng)目標(biāo)天體不在饋源艙正上方時，將以目標(biāo)天體與坐標(biāo)原點C的連接線所在的軸S經(jīng)2次矩陣旋轉(zhuǎn)到原Z軸所在方向，再次建立新的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)S軸上任意一點R，α為天體的方位角，β為天體的仰角.點R先繞X軸旋轉(zhuǎn)，再繞Z軸旋轉(zhuǎn)α到Z軸.設(shè)點R的單位向量為E，c為常數(shù)，則有其中，繞X軸旋轉(zhuǎn)的矩陣為：；繞Z軸旋轉(zhuǎn)的矩陣為：，則有旋轉(zhuǎn)矩陣T=Rx(β)·Rz(α)，可得旋轉(zhuǎn)后的最低節(jié)點為T·E，然后只需驗證該向量的x，y是否為0，即可證明結(jié)果的正確性.由此就可將問題轉(zhuǎn)化為“目標(biāo)天體在基準(zhǔn)球面正上方”的情況.

1.3 截痕法與主索節(jié)點調(diào)節(jié)模型

通過調(diào)節(jié)促動器可使主索節(jié)點從基準(zhǔn)態(tài)球面移動到工作態(tài)拋物面上.采用截痕法，將三維空間內(nèi)的位移問題轉(zhuǎn)換到二維平面內(nèi)，間接求出各主索節(jié)點變動后的空間坐標(biāo)［8-9］.

如圖1（a）所示，Q(xo,yo,zo)在基準(zhǔn)球面上，沿徑向移動落到理想拋物面的上為Q′，Q′Q所在直線與點Q所在縱軸即z=zo形成平面，在此平面上過O點做z軸的垂線為降維變換后的橫軸，記為x′軸，z軸為變換后的縱軸，記為y′軸，新坐標(biāo)系如圖1（b）所示.

圖1 截痕法降維圖解

設(shè)在二維坐標(biāo)系中，Q(x0,y0)（其中所在直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：；以 及

2 研究結(jié)果

2.1 基準(zhǔn)態(tài)下的理想拋物面

設(shè)拋物面口徑為d=300 m，已知R=300 m，由此得.由文獻［10-12］可知，焦點F位置的適當(dāng)改變可使所得拋物線效果更佳.根據(jù)不同的限制條件，可給出2種優(yōu)化f和h的方案.

對照組：f=0.466 0，h=0.焦點F確定，設(shè)f不變，拋物線頂點在對應(yīng)圓弧線最低點，由此作為一個基礎(chǔ)態(tài)來衡量后續(xù)方案的優(yōu)劣.

方案一：f=0.466 0，h=0.60.假定f不變.在該情況下利用遺傳算法［13］對h進行優(yōu)化，在最優(yōu)解下求得的理想拋物線方程為-x2+2×208.8y+1.681 0×105=0.

方案二：f=0.469 0，h=0.455 2.f、h均為變量.利用遺傳算法對其進行優(yōu)化，在最優(yōu)解下求得理想拋物線方程為-x2+2×281.4y+1.690 96×105=0.

綜合分析2種變形方案，可以看出方案二的效果明顯優(yōu)于方案一.因此，當(dāng)f=0.469 0，h=0.455 2時，主動反射面的拋物線方程最理想，即基準(zhǔn)態(tài)下的理想拋物面方程為：-x2-y2+2×281.4z+1.690 96×105=0.

2.2 工作態(tài)下的理想拋物面

在此以天體在α=36.795°，β=78.169°時為例求解.將所有主索節(jié)點代入天體方位變換模型，根據(jù)旋轉(zhuǎn)結(jié)果找到最低節(jié)點的位置為R′=(0.000 0,0.000 0,6.090 8)（R′的X、Y軸的坐標(biāo)結(jié)果均為10-16量級，因此完全可以將其視為0）.證明旋轉(zhuǎn)結(jié)果正確，故可根據(jù)基準(zhǔn)態(tài)求得理想拋物線的方程為-x2+2×281.4y+1.690 96×105=0.

根據(jù)基準(zhǔn)態(tài)下主索節(jié)點最低點的坐標(biāo)(0,0,-300.4)，經(jīng)矩陣旋轉(zhuǎn)可得最低節(jié)點的坐標(biāo)M1(-49.319 4,-36.889 0,-294.018 7)，拋物線頂點A1(-49.320 0,-36.889 4,-294.018 5).設(shè)某一主索節(jié)點坐標(biāo)為Ni(xni,yni,zni)，通過讀取每個主索節(jié)點的坐標(biāo)給Ni，然后將Ni乘以天體方位變換模型中的旋轉(zhuǎn)矩陣，得到旋轉(zhuǎn)后的主索節(jié)點位置坐標(biāo)N′i(x′ni,y′ni,z′ni).通過約束條件Z′ni＜150 3得出共有699個節(jié)點在300 m口徑拋物面范圍內(nèi).然后將所得每個主索節(jié)點的位置與理想拋物面的位置進行比較，主索節(jié)點的位置與對應(yīng)理想拋物面上的點之間的歐氏距離即為促動器的伸縮量［14］.

2.3 基準(zhǔn)態(tài)反射球面與工作態(tài)饋源艙的接收比

饋源艙的接收比可轉(zhuǎn)化為圖2中1 m的直徑長度與JK的長度之比，設(shè)饋源艙的接收比為P1，故在三角形中有：

圖2 饋源艙及基準(zhǔn)反射球面接收比計算方法示意圖

3 靈敏度分析

本模型可視為由2個變量f、h決定的優(yōu)化模型，優(yōu)化指標(biāo)為3個：促動器的伸縮量之和、主索節(jié)點到理想拋物面距離與所對應(yīng)圓弧長之差的和、拋物線與基準(zhǔn)圓交點口徑［15］.

在此把主索節(jié)點促動器伸縮量之和作為主要優(yōu)化指標(biāo)，由方案二的遺傳算法可以得出f2=0.469 0，h2=0.455 2為最優(yōu)方案.取f0=0.466 0，h0=0.60為起始點，向最優(yōu)點移動Δ，變化后的坐標(biāo)為：把變化后的變量代入3個指標(biāo)的函數(shù)計算得，通過建立相關(guān)模型，求出伸縮量變化率為-2.56%，口徑變化率為9.68%，弧長差變化率為-9.11%.表明3種評價指標(biāo)對(f,h)的變化不敏感，模型較為穩(wěn)定.

4 總結(jié)

文章結(jié)合FAST相關(guān)節(jié)點數(shù)據(jù)，基于截痕法、遺傳算法和旋轉(zhuǎn)矩陣法等建立FAST主動反射面調(diào)節(jié)模型.通過比較工作態(tài)饋源艙與基準(zhǔn)態(tài)反射球面的接收比P1=0.749 8，P2=0.071 8的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)饋源艙的接收比明顯要比基準(zhǔn)反射球面的接收比大得多，說明求出的工作拋物面可以使得饋源艙接收更多的反射信號，文章提出的主動反射面的變形方案較為理想.另外，文章對FAST主動反射面的形狀調(diào)節(jié)策略做較為完整的分析，綜合考慮包括下拉索對主索節(jié)點經(jīng)緯向位移偏移誤差的影響、工作拋物面與基準(zhǔn)球面過渡是否平滑等多種因素，對于實際的射電望遠鏡、主動反射面等相關(guān)內(nèi)容有一定的借鑒意義.