斯小琴，陳大偉①

（1.安徽建筑大學城市建設學院 基礎部，安徽 合肥 238076；2.中國科學技術大學 物理學院，安徽 合肥 230026）

0 引言

波動方程主要描述自然界中的各種波動現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如光波、聲波和水波.它也是一種重要的二階線性偏微分方程，是雙曲形偏微分方程的典型代表，出現(xiàn)在不同領域，如物理學、流體力學和聲學等領域［1-2］.歷史上許多著名的科學家在波動方程的研究上都做出貢獻，如達朗貝爾、歐拉、伯努利和拉格朗日等［3］.

在這類波動方程的研究過程中，僅僅有方程還不足以完全確定具體的物理過程，即不能完全確定方程的解.因為任何一個波動過程，在某一時刻的振動狀態(tài)不僅始終與此刻之前的狀態(tài)即初始時刻的狀態(tài)有關，還與兩端所受的約束即端點處的物理條件有關，也就是說具體的物理過程與初始條件及邊界所受的外界作用均有關［4-7］.在實際求解方程時，除一些特殊的情況下，如涉及的物體幾何形狀比較簡單時，可以方便地求出其精確解.其他情況由于實際物理問題的復雜性，往往很難得到其精確解.因此，研究該類方程的數(shù)值解就顯得比較重要.

求解波動方程數(shù)值解的方法很多，常用的求解方法有分離變量法［8］、行波法［9］、格林函數(shù)法［10］、積分變換法［11］等，而最常用也較為成熟的數(shù)值解法是有限差分法［12-15］，其計算快速、精度較高、適用性強、容易在計算機上實現(xiàn)，是使用范圍最廣的一種數(shù)值方法，在數(shù)值模擬研究中受到廣泛的應用.它的基本思想是將問題的定義域進行網格離散化，將每一網格處的導數(shù)由有限差分近似公式代替，從而把求解偏微分方程的問題離散化成差分格式，進而求出數(shù)值解.

本文利用有限差分格式，通過基本辦公軟件EXCEL迭代［16］，Origin模擬數(shù)據，得到有初始條件和邊界條件的混合問題的一維波動方程的波動圖，從圖像中分析波動的性質，結果直觀、形象，方法簡單、實用.

1 模型與方法

考察一根長為l拉緊的均勻、柔軟而有彈性的弦，弦的左右兩端均為自由端，且施加不同頻率的外力R1(t)和R2(t)，其在平衡位置附近作垂直方向上的微小橫振動時，各點的運動規(guī)律滿足的一維波動方程如下：

其中：u=u(x,t)表示弦上x點在t時刻沿垂直于x方向的位移，a是振動的傳播速度，f(x,t)為弦在振動過程中受到的外力，u(0,t)=R1(t)，u(l,t)=R2(t)為邊界條件，u(x,0)=φ(x)為弦振動時的初始位移，為初始速度，R1(t)、R2(t)、φ(x)、φ(x)均為已知函數(shù).

利用有限差分法解上述一維波動方程的數(shù)值解問題.分別取Δx=h，Δt=τ將空間和時間進行離散化（h,τ分別稱為沿空間方向和時間方向的步長），即將空間和時間分別分割成m，n等份，可得網格節(jié)點坐標如下：

根據有限差分方程的構造方法，可得一維波動方程式（1）的差分格式為

其中ukj=u(xj,tk)表示節(jié)點(j,k)處的函數(shù).引入網比，則式（3）變?yōu)?/p>

由式（4）可知，若求k+1時刻的振動位移可由之前的k和k-1時刻的振動位移直接獲得.值得注意的是，s2≤1為該差分格式的穩(wěn)定和收斂條件，中心階段誤差［13-14］為ο(h2)+ο(τ2).

對式（1）的初始條件用向前差商表示有：

即

2 數(shù)值模擬結果及分析

考慮一實際問題，一根長為1 m的彈簧，一端固定，另一端在外力作用下做周期T=1 s的振動，該點的振動方程為u(1,t)=sin 2πt，其振動的傳播速度a=1 m/s，在初始時刻t=0時振動的初始位移和初始速度均為0，考察該彈簧上各點在各時刻的振動情況.

由描述可知，該問題為既有邊界條件又有初始條件的一維混合問題，即為如下方程：

取τ=0.05 s、h=0.05 m，由式（4）得其差分方程為：

由式（6）得初始條件為

通過所取的時間步長τ=0.05 s和空間步長h=0.05 m可將時空平面分割成21×21個時空節(jié)點.在基本辦公軟件EXCEL中以第1行表示空間節(jié)點，1 m的空間長度可表示為0、0.05、0.1、…、0.95、1 m共21個節(jié)點；以第1列表示時間節(jié)點1 s的時間長度可表示為0，0.05、0.1、…，0.95、1 s共21個節(jié)點.在EXCEL第2行和第3行中輸入式（9）的初始條件數(shù)值，在第2列和最后一列中輸入式（7）中的邊界條件數(shù)值，最后在節(jié)點（0.05，0.1）處編寫式（8），利用EXCEL中的下拉迭代計算功能，很快得到彈簧上各點在各時刻的振動位移數(shù)值.為直觀地觀察和理解波的振動情況，運用Origin畫圖軟件將數(shù)據模擬成圖形.圖1給出彈簧上所有質點的位移隨時間變化圖，x軸表示各質點離坐標原點的距離，從圖1很容易觀測到各質點各時刻的振動位移.因彈簧的一端固定，另一端在外力作用下做周期振動，是由末端的振動慢慢帶動前面質點的振動，這種現(xiàn)象在圖1中可以看出，開始時的振動位移都是0，即沒有振動.

圖1 彈簧上所有質點的位移隨時間變化圖

為更詳細地觀察各質點的振動情況，可將圖1各質點各時刻的振動位移三維圖進行分解為振動位移隨坐標的二維變化圖（圖2），即圖1沿著x方向的圖形和振動位移隨時間的二維變化圖（圖3），即圖1沿著t方向的圖形.

圖3 彈簧上空間坐標x每隔0.05 m時各質點的振動位移隨時間變化圖

圖2中分別給出t=0，1/4T，1/2T，3/4T，4/5T和T各時刻對應的振動位移隨坐標的動態(tài)變化圖.從圖2看出，開始時各質點都在平衡位置均未振動，隨著時間的推進，末端質點由于受外力作用發(fā)生周期性的振動，同時帶動彈簧上相鄰質點的振動，當末端質點完成自己的一個完整的周期振動，彈簧上就有一個完整的正弦波形出現(xiàn).

圖2 彈簧上各點在固定t時刻的振動位移隨坐標變化圖

圖3是空間坐標每隔0.05 m時的振動位移隨時間變化圖形，開始時為一橫軸上的一條線，即起始各點都在平衡位置均未振動，末端振動帶動相鄰點依次振動.

3 結論

本文利用有限差分法表示波動方程及其初始、邊界條件的差分格式，借助基本辦公軟件EXCEL的下拉迭代計算功能，方便、快速地計算出波動方程的數(shù)值解，通過Origin將大量數(shù)據繪制成圖，直觀地得到波動方程各點的振動情況.對于不同初始、邊界條件下或有非齊次項（fx，t）時，不同波動方程的求解此方法同樣適用.

有限差分法不僅可以解決形式簡單的容易求解解析解的波動方程，對于復雜的邊界條件不易求解解析解的波動方程，用差分法求數(shù)值解更簡單方便.而基本辦公軟件迭代、Origin模擬圖形，過程方便、快捷、簡單.此方法在解決實際問題中有一定的使用和參考價值.