武晨①

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 南京分院，江蘇 南京 210019）

0 引言

三階微分方程邊值問題來源于應(yīng)用數(shù)學(xué)及物理學(xué)領(lǐng)域中，例如彎曲梁的撓度、電磁波和重力驅(qū)動(dòng)流等方面.正因?yàn)槠鋸?qiáng)大的理論價(jià)值和應(yīng)用背景引起眾多學(xué)者的關(guān)注.通過對(duì)三階微分方程所對(duì)應(yīng)的不同邊值條件的研究也得到一系列重要的研究成果［1-20］.例如文獻(xiàn)［4］研究如下的一個(gè)三階邊值問題：

正解的存在性.作者通過構(gòu)造相應(yīng)的Green函數(shù)，在證明該Green函數(shù)的一系列性質(zhì)基礎(chǔ)之上，應(yīng)用錐拉伸和壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得到上述邊值問題 至少一個(gè)正解的存在性結(jié)果；文獻(xiàn)［13］利用迭代的方法得到如下三階邊值問題：

在本文中，假設(shè)f∈C([0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)).

1 相關(guān)引理和定義

令E=C[0,1]，賦予范數(shù)，顯然E為Banach空間.設(shè)P為E中的錐，φ為P中的一個(gè)非負(fù)連續(xù)泛函，若a,b,r＞0是三個(gè)給定的常數(shù)，記：

引理1.1［5，9］（Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理）假設(shè)0＜d＜a＜b≤c，→是一個(gè)全連續(xù)算子，φ為P上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)泛函，對(duì)任意u∈，使得φ(u)≤‖‖u成立，且有：

（i）{u∈P(φ,a,b):φ(u)＞a}≠?，且當(dāng)u∈P(φ,a,b)時(shí)，φ(Tu)＞a；

（ii）當(dāng)u∈時(shí)，‖‖Tu＜d；

（iii）當(dāng)u∈P(φ,a,c)且‖‖Tu＞b時(shí)，恒有φ(Tu)＞a成立.則T在中至少存在3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1,u2,u3滿足‖‖u1＜d，a＜φ(u2)，‖‖u3＞d，φ(u3)＜a.

引理1.2［6，8］設(shè)，則對(duì)任意給定的h(t)∈C[0,1]，邊值問題：

有唯一解：

其中

引理1.3［6，8］對(duì)于任意(t,s)∈[0,1]×[0,1]，G(t,s)，G1(t,s)有如下性質(zhì)：

引理1.4［8］令0＜τ＜1，邊值問題(3)有唯一解u(t)≥0，且滿足

顯然算子T的不動(dòng)點(diǎn)即為邊值問題（2）的解.

引理1.5［6，8］算子T:P→P是全連續(xù)的.

2 主要結(jié)果

定理2.1如果存在常數(shù)a,c,d，其中，且滿足下述條件：

則邊值問題（2）至少存在3個(gè)正解u1(t),u2(t),u3(t)，且滿足

證明定義錐P上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)泛函.顯然，對(duì)于任意的u∈P，都有φ(u)≤‖‖u成立.

接下來，將逐步驗(yàn)證Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理的條件成立.

首先，證明存在一個(gè)常數(shù)c，使得當(dāng)0≤u＜c時(shí)，有，則由引理1.2、1.3和式（7）可知：

由引理1.3和式（6）的定義可知：

從而有‖‖Tu＜d成立.

最后，證明若當(dāng)u∈P(φ,a,c)且時(shí)，恒有φ(Tu)＞a成立.因?yàn)閡∈P(φ,a,c)且，從而根據(jù)引理1.3可知：

從而