楊 陽

（甘肅省靈臺縣第一中學，甘肅 靈臺 744400）

抽象函數(shù)不僅是整個高中數(shù)學教學中的一條重要脈絡，同時，也是為后續(xù)數(shù)學學習打下基礎的關鍵環(huán)節(jié)，并且能夠考查學生對于函數(shù)的理解能力和應用能力。在高中數(shù)學中，抽象函數(shù)不僅僅是專項教學內容，也是比較分散、零散的數(shù)學內容，教學難度比較大，學生在理解與解題上難度都比較大。高中生要想快速、高效解決抽象函數(shù)題型，需要選擇科學、合理的解題方法，才能更精準地解題，提高解題的正確率。因此，經(jīng)常在高考試題中出現(xiàn)很多學生在面對抽象函數(shù)時都會覺得束手無策，甚至會在未解題時就已經(jīng)出現(xiàn)了畏懼心理，這對于數(shù)學學習是不利的。因此，對于高中數(shù)學抽象函數(shù)解題策略進行探究是有積極意義的。

一、類比模型能夠促使解題思路更加具體

在高中數(shù)學抽象函數(shù)的解題過程中，可以借助類比模型進行解題。什么是類比模型呢？高中數(shù)學課堂教學中，數(shù)學教師根據(jù)題干中已知的數(shù)量關系，進行大膽地猜想，進一步形成抽象函數(shù)的原始模型，將抽象函數(shù)的原始模型作為目標猜想。在經(jīng)過分析模型函數(shù)所具備的性質之后，對求解的問題的相關解題方法進行探索、分析。尤其是在求解抽象函數(shù)類型的選擇題或者填空題的時候，學生通過借助類比模型進行推理作答，幫助他們在答題過程中提升了自身的邏輯思維能力，對于最后的結果起到一定的驗證作用。

例如，已知f(x)是定義域為（-∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)。如果f(1)=2，那么f(1)+f(2)+f(3)+……+f(50)=（）

A.-50 B.0 C.2 D.50

從這個題目中得知，可設f(x)=2sin(π/2)，做出f(x)在定義域內圖像，如下圖所示：

基于這個f(x)的圖像可以得知，f(x)的一個周期為4，

因此，f(1)+f(2)+f(3)+……+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2，所以，得出最后的答案為2，基于以上，本道題選擇C。

對于抽象函數(shù)圖像中雙對稱問題，一般可以使用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像以及性質為基本數(shù)學模型，求解抽象函數(shù)的數(shù)學問題，將抽象的函數(shù)問題轉化成為具體的問題，從特殊問題轉化成為一般問題的數(shù)學思想。使用聯(lián)想類比思想，促使學生能夠更好地解決抽象函數(shù)問題。

例如，某函數(shù)f(x)是定義域為R的函數(shù)，對于任意實數(shù)x和y都滿足f(x+y)=f(x)·f(y)，并且在x1≠x2的時候，f(x1)≠f(x2)。求解f(0)的值是多少？并對函數(shù)f(x)的奇偶性進行判斷，說明理由。

當實數(shù)x和實數(shù)y都等于0 的時候，那么f(0)=[f(0)+f(0)]=2f(0)，所以f(0)的值為0 或者為1。

當f(0) 的值為 0 的時候，由于f(x+y)=f(x)·f(y)，假設x為0，y為1，那么f(0)=0.

但是這并不滿足已知條件在x1≠x2的時候，f(x1)≠f(x2)。

因此，f(0)≠0。

由此可知，f(0)=1，此函數(shù)正好滿足指數(shù)函數(shù)圖像中點（0,1）的特點。

又因為f(0)≠0，函數(shù)的定義域又為R，

因此，f(x)不是奇函數(shù)。

而且在x≠0 的時候，-x≠x，f(-x)≠f(x)，

所以，f(x)不是偶函數(shù)。

由此可得，f(x)不具備奇偶性。

可見該模型的結構特征滿足于指數(shù)函數(shù)，所以學生在解決抽象函數(shù)問題的過程中，可以通過類比指數(shù)函數(shù)的性質輕松得到最后的答案。另如，函數(shù)f(xy)=f(x)+f(y)，這一數(shù)學模型的基本結構特征滿足對數(shù)函數(shù)的基本性質，學生們在解決這一類型的抽象函數(shù)時，可以通過類比對數(shù)函數(shù)的性質，求得最后的答案。

基于以上分析可知，使用類比思想解決抽象函數(shù)問題的時候，學生需要了解各種函數(shù)的基本性質特征，便于深度挖掘題干中的隱藏信息，使復雜抽象問題簡單化。

二、樹立數(shù)學意識，使用配方法解決抽象函數(shù)問題

數(shù)學中抽象函數(shù)問題的解決需要建立相應的數(shù)學意識，同時和相應的數(shù)學思維也存在一定的關聯(lián)性。不能簡單地依靠數(shù)學公式的套用，還需要學會舉一反三，靈活、自由地使用數(shù)學公式、定理，做好數(shù)學公式的多變處理，通過使用扎實的基礎知識解決更多的抽象函數(shù)問題。而這其中，學生通過配方法的運用，靈活自由地對高中數(shù)學中抽象函數(shù)問題進行解決。

配方法指的是將數(shù)學式子通過定向變形，配成完全平方的形式，這種數(shù)學解題技巧一般都是通過找尋題目中的已知條件、隱藏條件，探討二者其中的聯(lián)系，通過化繁為簡，有效降低抽象函數(shù)難度，提升學生函數(shù)解題率。如何使用配方法、在什么樣的數(shù)學條件之下使用配方法？需要做好相應的分析、預測，通過科學、合理地分析嘗試，運用添項等方法完成配方。通常情況之下，配方法一般適用于恒等變形以及二次方程以及二次不等式之中，有的平移、交換問題也可以使用配方法。配方法的使用是按照完全平方公式，得到最后基本配方形式，一般在抽象函數(shù)相關習題解題之中使用的比較多，基于其他的數(shù)學知識、基本定理、基本性質，通過使用配方法，使問題順利得到解決。

三、合理賦值，嘗試轉化

在高中數(shù)學課堂教學過程中，抽象函數(shù)是比較重要的教學內容，學生在學習抽象函數(shù)的時候，要合理地把握函數(shù)的定義域、單調性、周期等基本性質，了解基本性質之后，將簡單的數(shù)值代入，以此來解決抽象函數(shù)的難點問題。賦值法指的是已知函數(shù)滿足所有性質，也就是一般性條件，賦予比較特殊的數(shù)值，從而得出抽象函數(shù)最終需要滿足的基本性質。高中數(shù)學教師在給學生們講解抽象函數(shù)知識的時候，可使用賦值法解決抽象函數(shù)問題。

例如，已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，而且f(3)=0，對任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(6)成立，那么f(2007)=（）。

A.2006 B.2007 C.2008 D.0

從這個題目中可以了解到：f(-3)=0，取x=-3 代入f(x+6)=f(x)+f(6)，得出f(6)=0，f(x+6)=f(x)，周期為6，從而就得到最后的答案，那么這道題就選擇D。

再比如，已知定義域為R 的函數(shù)f(x)滿足f（f(x)-x2+x）=f(x)-x2+x，假設有且僅有一個實數(shù)x0，使得f（x0）=x0，求得f(x)的解析表達式。滿足f（x0）=x0的實數(shù)x0唯一，由f（f(x)-x2+x）=f(x)-x2+x可以解：

對任意x∈R，有f(x)-x2+x=x0，

在上式之中，令x=x0有f（x0）-x02+x0=x0。

又f（x0）=x0得x0-x02=0，

所以，x0=0 或者x0=1。

如果x0=0，方程f(x)=x有兩個根，所以x0≠0；

如果x0=1，那么f(x)=x2-x+1。

最后驗證這一函數(shù)，滿足題干已知條件。

四、給變量賦予特殊值，簡化函數(shù)

在解決抽象函數(shù)問題時，首先要了解函數(shù)的概念和性質，眾所周知，函數(shù)指的是在一個變化過程中，發(fā)生變化的量為變量，而有些數(shù)值是不會隨著變量而改變的，稱為常量，通常變量設置為x，而y 會隨著x 值的變化而產(chǎn)生變化。并且函數(shù)具有對稱性、周期性、單調性、奇偶性等性質，通過對于題目的觀察，進行細致地分析，并且給變量賦予特殊值，從而達到簡化函數(shù)的目的，將已知條件進行轉化，解決函數(shù)問題。

例如，如果奇函數(shù) f(x)(x∈R)，滿足 f(2)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，則f(1)等于多少？這時候，給變量賦予特殊值，則解題步驟如下：

對于f(x+2)=f(x)+f(2)，令x=-1，得出f=(-1)+f(2),也就是f(1)=-f(1)+1，得出2f(1)=1，所以f(1)=1/2。

五、根據(jù)函數(shù)的單調性，穿脫符號

在抽象函數(shù)中，“穿”指的是加上函數(shù)符號，“脫”則指的是去掉函數(shù)符號，由于函數(shù)本身具有單調性。因此，在解決函數(shù)問題時，為了能夠有效簡化函數(shù)的難度，加上函數(shù)符號或者去掉函數(shù)符號，從而達到解決問題的目的。

例如，已知函數(shù)f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數(shù)，且滿足對于任意的正實數(shù)x、y，都有f(x·y)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，解不等式f(x)＞f（x-2）+3。利用函數(shù)的單調性，解題步驟如下：

f(x)＞f（x-2）即f(x)＞f（x-2）+f(8)，即f(x)＞f[8(x-2)],由于函數(shù)f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數(shù)，則x＞8(x-2)，也就是 x＜16/7，依據(jù)題目中的內容，有x＞0，x-2＞0，從而得出不等式的解集為（2，16/7）。

六、化函數(shù)為原始模型，展開思路

由于抽象函數(shù)本身具有一定的抽象性，直接解答題目相對來說比較困難。為了能夠簡化問題，可以采用模型化策略，也就是結合題目給出的關系進行猜想，生成函數(shù)的原始模型，再與函數(shù)的性質相結合，對于解題的方式進行探索。當遇到選擇題或者填空題時可以利用這種方法解決，遇到解答題無法直接用模型函數(shù)解決的，也可以幫助學生展開思路，并且在進行驗證時也可以使用這一方法。

例如，設定義在R 上的函數(shù)f(x)對于任意x，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=-2，當x＞0 時，f(x)＜0，判斷f(x)的奇偶性，并加以證明。題目中說明了對于任意x，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，可以以此為基礎猜想抽象函數(shù)f(x)生成的原始模型，f(x)=kx，由于x＞0 時，f(x)＜0，可以得知k＜0。因此，這個問題可以進行大膽地猜想，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。雖然這只是結合題目進行的猜想，并不能作為證明，但是當有了猜想時，也就有了解題思路，在此基礎上進行解答，能夠有效簡化函數(shù)的難度。解題步驟如下：

令x=y=0,可以得出f(0)=0，令y=-x，則f(0)=f(-x)+f(x)，即f(-x)=-f(x)，則f(x)為奇函數(shù)。

七、明確抽象函數(shù)的定義域與值域，展開解題

通常來說，函數(shù)的定義域本質上是為了表述一個抽象函數(shù)自身的變量取值的范圍，尤其對于一個函數(shù)從實際的問題初決定時，就需要能夠根據(jù)實際的情況，確定自變量的取值范圍。但是，當題目沒有明確地在一個函數(shù)解析式中指出其定義域，那么針對整個解析式來說，定義域能夠幫助這個函數(shù)有意義的自變量取值范圍。

例如，當題目給出已知（1,3）是函數(shù)y＝f（x3）這一定義域時，要求y＝f（x）的定義域，那么，在解題時，就可以將（1,3）是函數(shù)y＝f（x3）的定義域，即1≤x≤3，由此可知，1≤x3≤27，這樣能夠直接得出，函數(shù)f（x）的定義域就是（1,27）。

而一個函數(shù)由內部的所有函數(shù)值組成的值域，函數(shù)的值域則是由定義域以及對應法展開確定，這時不論使用任何解題的方式，都需要提高對于定義域以及對應法則的重視。在展開函數(shù)值解題的過程中，對題目進行性質上的分析，最后再將特殊值代入特定的變量之中，以此完成對于數(shù)值的計算。

而在開展x＝y(tǒng)＝0 的解題當中，當已知f（0）＝f（0）·f（0）＝f2（0），所以f（0）＝0，就需要能夠根據(jù)題意有f（x）＝f（x+0）＝f（x）·f（0）＝0，這時，繼續(xù)解題就需要能夠將任意的實數(shù)x 都成立，折舊和已知條件存在x2≠x1，使f（x2）≠f（x1），矛盾了，所以，f（0）≠0，即是f（0）＝1。又因為f（x+y）＝f（x）·f（y）對于任意實數(shù)x，y 都能夠成立，所以，對于任意的實數(shù)x 都有：f（x）等于f（x/2+x/2）＝f（x/2）··f（x/2）＝f2（x/2）≥0，現(xiàn)在就只需要反證法證明f（x）≠0 對于任意實數(shù)x 都能夠成立。

如若存在實數(shù)x0，使f（x0）＝0，那么對于f（0）＝f（x0—x0）＝f（x0）·f（-x0）等于0，這就與f（0）≠0 之間產(chǎn)生矛盾，可以證得f（x）≠0 對于任意的實數(shù)x 都能夠成立，所以，f（x）＞0。綜上所述，函數(shù)的f（x）的值域為（0，+∞）。

八、結語

綜上所述，在高中數(shù)學抽象函數(shù)教學中，學生可以運用賦值法、構造模型法、數(shù)形結合法等相應的解題方法，能夠更妥善地解決抽象函數(shù)問題，提升解題的正確效率。除此之外，高中數(shù)學教師還應該不斷追蹤抽象函數(shù)圖像等命題角度，尊重命題的基本規(guī)律，幫助學生們解決抽象函數(shù)問題。在學習抽象函數(shù)的時候，高中生就需要培養(yǎng)自身的思維意識，掌握多種解題方法，舉一反三，才能在面對不同抽象函數(shù)問題的時候靈活自由地解題。不僅如此，在開展實際的教學活動中，教師應深入觀察學生的學習情況，采用多媒體等教學方式，幫助學生提升自身的思維能力以及培養(yǎng)學生的協(xié)作式學習，要從實際出發(fā)，充分運用已有的教學工具，幫助學生提高解答抽象函數(shù)的能力以及提升學生解題的質量，讓學生能夠在正確方向的解題思路上不斷前行。