江蘇蘇州市實(shí)驗(yàn)小學(xué)校（215000）王逸駿

一、引言

“解決問(wèn)題的策略”（又稱(chēng)“還原問(wèn)題”）是蘇教版教材的重要內(nèi)容之一。此內(nèi)容的設(shè)置旨在讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和其他知識(shí)解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力；獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。

“倒推”是解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到的一種策略。在用“倒推”策略解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生要進(jìn)行分析、選擇、判斷、對(duì)比、優(yōu)化等一系列復(fù)雜的思維活動(dòng)?！暗雇啤辈呗?，通俗地講就是“倒過(guò)來(lái)想”，即從事情的結(jié)果倒過(guò)去想它在開(kāi)始的時(shí)候是怎樣的，教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和發(fā)散性思維，提高其解決問(wèn)題的能力。為了讓學(xué)生能夠真正掌握“倒推”的策略，必須探索出利于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)路徑，筆者把研究問(wèn)題定為：教師預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑是怎樣的？經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)并優(yōu)化過(guò)的學(xué)習(xí)路徑是怎樣的？如何驗(yàn)證學(xué)習(xí)的路徑是否得到了優(yōu)化？

二、研究設(shè)計(jì)

1.研究對(duì)象

根據(jù)學(xué)生的期末考試成績(jī)和前測(cè)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)蘇州市S小學(xué)六年級(jí)甲、乙兩個(gè)平行班的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平上沒(méi)有顯著的差異。兩次教學(xué)均由W教師承擔(dān)，教齡4年。

2.研究流程

研究的主要步驟如圖1所示：

圖1

主要采用課堂觀察法、問(wèn)卷調(diào)查法、訪(fǎng)談法、行動(dòng)研究法來(lái)收集數(shù)據(jù)。來(lái)自教師的數(shù)據(jù)包括教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)錄像、教學(xué)反思日志、課前和課后測(cè)試單。

3.對(duì)學(xué)生的后測(cè)

（1）理論模型

本文以斯根普的理解模型為理論依據(jù)，把學(xué)生的理解分為以下三種類(lèi)型（如表1），以這三類(lèi)理解為標(biāo)準(zhǔn)判斷學(xué)生對(duì)倒推策略的理解情況。

表1

（2）后測(cè)材料

用盡可能多的方法（可用文字、算式、畫(huà)圖等）表示解決以下問(wèn)題的過(guò)程。

問(wèn)題1 有一位老人說(shuō)：“把我的年齡加上12，再除以4，接著減去15，最后乘10，恰好是100歲?！鼻筮@位老人的年齡。

問(wèn)題2 學(xué)校運(yùn)來(lái)36棵樹(shù)苗，樂(lè)樂(lè)與歡歡兩人爭(zhēng)著去栽，樂(lè)樂(lè)先拿了若干樹(shù)苗，歡歡看到樂(lè)樂(lè)拿得太多，就搶了10棵，樂(lè)樂(lè)不肯，又從歡歡那里搶回來(lái)6棵，這時(shí)樂(lè)樂(lè)拿的棵數(shù)是歡歡的2倍。問(wèn)：最初樂(lè)樂(lè)拿了多少棵樹(shù)苗？

問(wèn)題3 糧庫(kù)內(nèi)有一批面粉，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半少7噸，還剩4噸。問(wèn)：糧庫(kù)內(nèi)原有面粉多少?lài)崳?/p>

問(wèn)題4 糧庫(kù)里有120噸面粉，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多2噸，第二次運(yùn)出剩下的一半少7噸，現(xiàn)在還有多少?lài)嵜娣郏?/p>

問(wèn)題5 結(jié)合問(wèn)題3和問(wèn)題4，說(shuō)說(shuō)在什么情況下需要用倒推的策略來(lái)解決問(wèn)題。

（3）計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)學(xué)生的回答，參照表1的理解類(lèi)型，對(duì)學(xué)生的理解進(jìn)行分類(lèi)并計(jì)分（如表2）。

表2

三、結(jié)果與分析

1.學(xué)習(xí)路徑A

（1）學(xué)習(xí)路經(jīng)A的呈現(xiàn)

W教師獨(dú)立備課，并在甲班上課。根據(jù)課堂實(shí)錄，歸納出第一次設(shè)計(jì)與實(shí)施的學(xué)習(xí)路徑A（如圖2）。

圖2

首先，從前測(cè)已知學(xué)生對(duì)于簡(jiǎn)單的一步還原問(wèn)題掌握得還是非常到位的，正確率高達(dá)94.59%，但是對(duì)于較復(fù)雜的類(lèi)似于“幾分之幾多幾”的多步還原問(wèn)題，學(xué)生的正確率卻只有62.16%。因此以簡(jiǎn)單的一步還原問(wèn)題作為任務(wù)1，旨在讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過(guò)直觀表征的方式理解題中信息，進(jìn)而用倒著想的方法解決問(wèn)題，最后能夠?qū)⒗斫獾膬?nèi)容抽象為算式。

其次，出示任務(wù)2，旨在讓學(xué)生在復(fù)雜情境中獨(dú)立整理題目中的信息，用倒著想的方法解決問(wèn)題，能夠列出算式。

最后，出示任務(wù)3，旨在讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過(guò)列表的方式整理信息，并用倒著想的方法解決問(wèn)題，能夠列出算式。

（2）教學(xué)效果

教學(xué)結(jié)束后，對(duì)甲班學(xué)生進(jìn)行后測(cè)，學(xué)生不同理解類(lèi)型的平均得分如表3所示。

表3

工具性理解得分為0.324，說(shuō)明部分學(xué)生對(duì)于還原問(wèn)題還停留在表象階段，記住的僅僅是加變減、乘變除以及運(yùn)算順序需要相反的規(guī)則，但不理解這一規(guī)則背后的意義。

關(guān)系性理解得分為0.432，而形式性理解得分為0.243，主要原因有以下三點(diǎn)：

①形式性理解對(duì)于學(xué)生而言認(rèn)知難度較高；

②部分學(xué)生解題時(shí)需要借助線(xiàn)段圖整理信息，但在復(fù)雜情境中無(wú)法將線(xiàn)段圖直接轉(zhuǎn)換成算式；

③W教師在課堂上過(guò)分強(qiáng)調(diào)用畫(huà)圖的方式整理信息，忽視了對(duì)學(xué)生倒著想的方法的引導(dǎo)和思維的訓(xùn)練。

（3）問(wèn)題分析

①不會(huì)直觀表征。學(xué)生是通過(guò)線(xiàn)段圖來(lái)整理信息，進(jìn)而列出算式的，而真正的直觀理解應(yīng)該是看圖即可知道結(jié)果，不需要再次進(jìn)行計(jì)算。

②難以抽象成算式。教師著重于信息的整理，對(duì)于倒著想的方法的引導(dǎo)比較少，進(jìn)而使得學(xué)生抽象理解不到位，抽象成算式的能力較弱。

③分率問(wèn)題對(duì)倒推造成干擾。任務(wù)1導(dǎo)致大部分學(xué)生陷入了“單位1”是否已知的怪圈，因?yàn)閷W(xué)生看到分?jǐn)?shù)就自然而然想到了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，不會(huì)從倒推的角度去思考問(wèn)題。

④時(shí)間分配不合理。任務(wù)1耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)，以至于后面的任務(wù)2匆忙，任務(wù)3來(lái)不及出示。

（4）改進(jìn)建議

①替換任務(wù)1。教師發(fā)展指導(dǎo)者L在教學(xué)研討中提出：任務(wù)1容易對(duì)學(xué)生造成干擾，使學(xué)生陷入解決分率問(wèn)題的怪圈，并不適合放在課始，應(yīng)當(dāng)改為從整數(shù)出發(fā)的還原問(wèn)題，并在學(xué)生提出用線(xiàn)段圖或者流程圖以后，補(bǔ)充列表的方法。這樣一來(lái)，3種整理信息的方法都在任務(wù)1中有所體現(xiàn)，且從整數(shù)出發(fā)，學(xué)生不會(huì)將其與分率問(wèn)題混淆，倒推的味道更濃，學(xué)生也更容易從倒著想的方法出發(fā)解題。

②增加對(duì)比練習(xí)。教師發(fā)展指導(dǎo)者Q在教學(xué)研討中提出：還原問(wèn)題的特點(diǎn)是已知現(xiàn)在的情況，探索原來(lái)的情況。但是現(xiàn)實(shí)中，還原問(wèn)題不過(guò)是諸多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的一個(gè)種類(lèi)，所以在教學(xué)新知后，需要出示兩道對(duì)比練習(xí)題，讓學(xué)生體會(huì)遇到什么類(lèi)型的問(wèn)題適合用倒推的策略去解決。

2.改進(jìn)后的學(xué)習(xí)路徑B

（1）學(xué)習(xí)路徑B的呈現(xiàn)

經(jīng)過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)路徑A的課后反思與討論，W教師重新修改教學(xué)設(shè)計(jì)，在乙班實(shí)施了學(xué)習(xí)路徑B（如圖3）。

圖3

（2）教學(xué)效果

教學(xué)結(jié)束后，W教師對(duì)學(xué)生實(shí)施了后測(cè)，結(jié)果如表4所示。

表4

比較表3和表4可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的工具性理解的得分明顯下降，形式性理解的得分顯著上升，關(guān)系性理解的得分基本持平，這與教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生倒著想并用自己的話(huà)解釋倒推的過(guò)程這一設(shè)計(jì)是密不可分的。此外，形式性理解的提升還與教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比練習(xí)，進(jìn)而總結(jié)出還原問(wèn)題的一般規(guī)律有關(guān)。總體來(lái)說(shuō)，學(xué)生在還原問(wèn)題的理解上取得了一定的進(jìn)步，說(shuō)明這一學(xué)習(xí)路徑的優(yōu)化確實(shí)可行。

四、結(jié)論與建議

1.結(jié)論

W教師預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑A中的任務(wù)1太過(guò)注重教授學(xué)生用畫(huà)圖的策略去整理信息，而忽視了對(duì)學(xué)生運(yùn)用倒推策略的引導(dǎo)。在經(jīng)過(guò)教師發(fā)展指導(dǎo)者L和Q的干預(yù)后，W教師重新進(jìn)行任務(wù)單的設(shè)計(jì)。從不涉及分率的問(wèn)題出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生用倒著想的方法去解決問(wèn)題，讓學(xué)生自由交流解決問(wèn)題的具體過(guò)程，自然生成線(xiàn)段圖、流程圖、列表的信息整理方法，最后利用兩道對(duì)比練習(xí)題（任務(wù)4）引導(dǎo)學(xué)生思考在什么樣的情況下適合用倒推的策略解決問(wèn)題。

對(duì)比甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的后測(cè)數(shù)據(jù)可知，優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑后，學(xué)生工具性理解的得分明顯下降，而形式性理解的得分顯著上升。

2.建議

（1）弱化整理信息的策略教學(xué)

倒推策略和逆向思維的培養(yǎng)是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)，但還有一個(gè)重要的過(guò)程性策略，那便是畫(huà)圖整理題中的信息。不少教師在教學(xué)時(shí)往往會(huì)本末倒置，習(xí)慣性依托畫(huà)圖來(lái)解釋解決問(wèn)題的過(guò)程，忽視了對(duì)于學(xué)生倒推策略和逆向思維的培養(yǎng)。因此，教師在教學(xué)該內(nèi)容時(shí)要弱化整理信息的策略教學(xué)。

（2）任務(wù)設(shè)計(jì)的指向性要明確

如果任務(wù)設(shè)計(jì)從含有分率的還原問(wèn)題出發(fā)，那么學(xué)生在思考如何解決問(wèn)題時(shí)就容易從解決分率問(wèn)題的角度入手，這樣一來(lái)便不利于教學(xué)的開(kāi)展。因此，教師在設(shè)計(jì)任務(wù)時(shí)指向性要明確，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從倒推的角度思考解決問(wèn)題的方法。