田 鶴, 董純柱, 殷紅成

(北京環(huán)境特性研究所電磁散射重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100854)

0 引 言

基于平面陣列微波天線結(jié)構(gòu)下的目標(biāo)三維散射中心反演及三維成像技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于安全檢查、產(chǎn)品檢測(cè)、生物醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域。當(dāng)平面陣列中天線孔徑均勻等間隔分布時(shí),目標(biāo)反演精度最優(yōu),但對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)計(jì)算量及復(fù)雜度亦隨之增加。設(shè)計(jì)合理的稀疏采樣方式以及稀疏重構(gòu)算法,可在滿足反演精度的同時(shí)大幅降低數(shù)據(jù)量需求。文獻(xiàn)[9]針對(duì)機(jī)載陣列合成孔徑雷達(dá)(synthetic aperture radar, SAR)以巴克碼為準(zhǔn)則實(shí)施稀疏重航過采樣,使載機(jī)飛行次數(shù)減少50%。此方法使成像結(jié)果避免了圖像柵瓣影響。針對(duì)副瓣噪聲,文獻(xiàn)[10]通過構(gòu)造參考復(fù)圖像信號(hào),并利用兩幅圖像干涉和低通濾波處理,在頻域去除圖像副瓣影響,但此方法在消除噪聲的同時(shí)也會(huì)損失圖像細(xì)節(jié)。文獻(xiàn)[11-12]在干涉處理的基礎(chǔ)上,利用頻域稀疏特性,引入壓縮感知(compressed sensing, CS)理論實(shí)現(xiàn)了三維圖像重建。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[13]將主成分分析(principal component analysis, PCA)引入稀疏信號(hào)重建過程,通過對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行降維處理以去除由稀疏采樣帶來的副瓣噪聲和高頻噪聲。

針對(duì)上述研究背景,本文提出一種基于頻域PCA和CS的稀疏微波三維散射中心反演方法。以組合巴克碼作為稀疏采樣準(zhǔn)則,利用PCA對(duì)稀疏頻譜的二階統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行特征提取,去除稀疏采樣帶來的噪聲影響?；诟缮嬖?構(gòu)建稀疏采樣下的目標(biāo)散射中心反演模型,建立基于CS的最優(yōu)化問題并進(jìn)行優(yōu)化求解,以獲得目標(biāo)散射中心幅度和三維空間分布。

1 觀測(cè)模型

基于平面陣列微波天線結(jié)構(gòu)的目標(biāo)觀測(cè)幾何模型如圖1所示。以目標(biāo)場(chǎng)景中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)系中天線孔徑形成的陣列平面為-平面,天線照射方向(平行于觀測(cè)目標(biāo)的高度方向)為方向,也稱距離向。各天線孔徑通過時(shí)分方式依次發(fā)射并接收寬帶信號(hào),形成的采樣平面大小為×,采樣間隔為,場(chǎng)景中心到采樣平面的距離為。本文選擇方向作為稀疏采樣方向,在選擇稀疏采樣方式時(shí),考慮到巴克碼偽隨機(jī)序列具有約50%的占空比和良好的自相關(guān)特性,但巴克碼的碼長最長只有13位,故本文采用組合巴克碼作為稀疏準(zhǔn)則。組合巴克碼偽隨機(jī)序列的相關(guān)特性略差,但碼長較長。利用4位巴克碼[1110]和11位巴克碼[11100010010]可構(gòu)成一列組合巴克碼序列,該編碼序列為[1110111011100001000100011110000100011110000],長度為44,稀疏率約為50%。從圖2可知,該組合巴克碼自相關(guān)圖較為尖銳(見圖2(a)),說明其具備一定的隨機(jī)性,且天線方向圖(見圖2(b))中遠(yuǎn)區(qū)副瓣較低,可以應(yīng)用于微波三維成像觀測(cè)。

圖1 基于平面陣列微波天線結(jié)構(gòu)的目標(biāo)觀測(cè)幾何模型Fig.1 Geometric model of target observation based on planar array and microwave antenna structure

圖2 44位組合巴克碼自相關(guān)與方向圖情況Fig.2 Plot of self-correlation and antenna pattern for 44 combined Barker sequence

2 基于頻域PCA和CS的重構(gòu)算法

2.1 頻域PCA構(gòu)造參考信號(hào)

可通過正交變換減少PCA的數(shù)據(jù)維度,保持?jǐn)?shù)據(jù)中方差貢獻(xiàn)最大的特征,在對(duì)原始復(fù)雜數(shù)據(jù)降維的同時(shí),去除由稀疏采樣帶來的噪聲泄露。

已知回波頻譜對(duì)應(yīng)的傅里葉基為正交基矩陣,這與PCA對(duì)輸入數(shù)據(jù)屬于正交空間的要求相一致。假設(shè)稀疏采樣回波經(jīng)過三維匹配濾波(脈沖壓縮)處理得到的粗聚焦結(jié)果為,為三維復(fù)數(shù)矩陣,對(duì)應(yīng)的三維頻譜為,則在方向中第(1≤≤,為距離向分辨單元總數(shù))個(gè)距離頻率處的二維頻譜為

(1)

假設(shè)在方向不同頻率間的協(xié)方差矩陣為,∈×,中第(,)個(gè)元素為

(2)

=diag{,,…,,…,}

(3)

(4)

(5)

=IDFT{′′}

(6)

本文將該結(jié)果作為后續(xù)干涉處理所用的參考復(fù)數(shù)信號(hào)。由于數(shù)值小的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量往往與噪聲有關(guān),因此可認(rèn)為重建后的粗聚焦結(jié)果具有抑制稀疏采樣副瓣噪聲的性能。

2.2 頻域CS重建散射中心

根據(jù)CS理論,不完備采樣下信號(hào)被正確重建的前提為信號(hào)存在稀疏表征。當(dāng)微波觀測(cè)目標(biāo)在空間為連續(xù)分布時(shí),其對(duì)應(yīng)的回波信號(hào)不滿足空間稀疏特性,且成像分辨單元內(nèi)存在隨機(jī)初始相位,對(duì)應(yīng)的頻譜信號(hào)也不滿足頻域稀疏特性。在此考慮利用干涉處理去除微波復(fù)圖像的隨機(jī)初始相位,使信號(hào)在頻域具備稀疏性質(zhì)。其中,干涉所用的參考復(fù)數(shù)信號(hào)由頻域PCA方法重構(gòu)而成。

假設(shè)待重建的目標(biāo)散射中心三維復(fù)數(shù)矩陣為,對(duì)應(yīng)的三維頻譜為,兩者關(guān)系為

=

(7)

式中:為逆傅里葉基。假設(shè)頻域PCA構(gòu)造的參考復(fù)數(shù)信號(hào)為,對(duì)和進(jìn)行干涉處理,得到干涉后的三維復(fù)數(shù)矩陣:

=||·exp{j[∠()-∠()]}

(8)

由于和對(duì)應(yīng)的天線視角相同,隨機(jī)初始相位近似相等,故相位中已去除隨機(jī)初始相位的大部分影響。假設(shè)對(duì)應(yīng)的頻譜為:

=

(9)

則具備稀疏性,可在頻域引入CS理論進(jìn)行頻譜系數(shù)求解,并反變換至圖像域,可獲得目標(biāo)散射中心幅度和三維空間分布。頻域線性測(cè)量矩陣建立的過程為:假設(shè)圖1中陣列平面內(nèi)某一采樣點(diǎn)的空間位置為(,,),其中1≤≤;設(shè)目標(biāo)區(qū)域中的某一散射中心的空間位置為(,,),其中1≤≤,為方向(稀疏方向)目標(biāo)散射中心分辨單元總數(shù)。根據(jù)幾何光學(xué)理論和線性近似,經(jīng)過、方向二維匹配濾波后的離散回波信號(hào)為

(10)

式中:()為空間采樣點(diǎn)到目標(biāo)區(qū)域中該散射中心的往返距離:

其中,為該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的散射系數(shù)。

將()進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開,得

(11)

(12)

將()重新寫成如下向量相乘的形式:

()=(:,,)

(13)

式(13)即為交軌向第個(gè)回波信號(hào)的一維線性測(cè)量模型;為基向量,大小為1×,第個(gè)元素為

(14)

(:,,)為散射系數(shù)向量,大小為×1,第個(gè)元素為

(15)

為便于表達(dá),在后續(xù)分析中將(:,,)簡(jiǎn)寫為?？蓪y(cè)量模型表示成矩陣形式:

=

(16)

式中:=[();();…;()]×1;=[;;…;]×;為由稀疏采樣準(zhǔn)則決定的選擇矩陣。根據(jù)上述分析可知,用于求解圖像稀疏頻譜的距離頻域CS測(cè)量模型可寫為

=exp[j∠()]=exp[j∠()]

(17)

可根據(jù)式(18)所示的優(yōu)化準(zhǔn)則求解方向頻譜,以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)散射中心的三維位置分布重建,獲取目標(biāo)高精度幾何尺寸信息。

(18)

3 暗室試驗(yàn)處理

在暗室試驗(yàn)中,觀測(cè)目標(biāo)為一輛坦克模型。為了體現(xiàn)觀測(cè)目標(biāo)的空間不稀疏性,在坦克模型外部涂覆了錫箔層,并以金屬板作為背景(金屬板上粘貼樹葉),如圖3所示。天線以圖1所示的平面陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)據(jù)獲取,發(fā)射信號(hào)為步進(jìn)頻率信號(hào)。試驗(yàn)參數(shù)如表1所示。

圖3 暗室觀測(cè)目標(biāo)Fig.3 Experimental target of the anechoic chamber

表1 試驗(yàn)參數(shù)Table 1 Experimental parameters

完備采樣下回波的三維匹配濾波結(jié)果如圖4所示,其中圖4(a)為目標(biāo)散射中心三維復(fù)數(shù)數(shù)組在距離向1.3 m處對(duì)應(yīng)的-截面圖,表示該距離下的散射中心幅度值(單位: dB);圖4(b)為目標(biāo)散射中心方向位置對(duì)應(yīng)的等高線圖,表示各散射點(diǎn)在目標(biāo)中的相對(duì)高度;圖4(c)為重構(gòu)的散射中心三維位置分布點(diǎn)圖,表示各散射中心的三維位置分布。由于缺乏理論值,本文在后續(xù)重構(gòu)性能評(píng)價(jià)中,將圖4所示結(jié)果作為真值進(jìn)行量化誤差分析。

圖4 完備采樣下微波回波直接匹配濾波結(jié)果Fig.4 Results of microwave echo match filtering method under complete sampling

按照組合巴克碼進(jìn)行稀疏采樣,獲得的三維匹配濾波結(jié)果如圖5所示。從圖5可看出,在稀疏采樣率為50%的條件下,組合巴克碼稀疏采樣方式能夠避免部分柵瓣影響,但仍然存在較嚴(yán)重的副瓣能量泄露,需要進(jìn)行算法重構(gòu)。

圖5 稀疏采樣下微波回波直接匹配濾波結(jié)果Fig.5 Results of microwave echo match filtering method under sparse sampling

利用PCA在頻域?qū)ο∈璨蓸踊夭ㄟM(jìn)行PCA,獲得的參考復(fù)數(shù)圖像如圖6所示。圖6中,目標(biāo)散射中心重構(gòu)結(jié)果消除了高頻副瓣噪聲,但由于頻域PCA降維處理,圖像高頻細(xì)節(jié)有所缺失。在此基礎(chǔ)上,利用PCA得到的參考信號(hào)與原始稀疏回波對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)圖像進(jìn)行干涉處理,干涉處理前后的信號(hào)三維頻譜如圖7所示。從圖7可以看出,經(jīng)過干涉處理后的信號(hào)頻譜具備稀疏表征,為后續(xù)CS稀疏信號(hào)重建提供了充分條件。在此基礎(chǔ)上利用式(18)對(duì)稀疏頻譜進(jìn)行重建,并反變換至空間域,得到目標(biāo)的散射中心三維分布,如圖8所示。從圖8可以看出,基于頻域CS的三維重建算法能有效抑制由稀疏采樣帶來的副瓣噪聲和高頻噪聲,可正確重建出目標(biāo)在三維方向的散射點(diǎn)位置,同時(shí)較好地保留了觀測(cè)目標(biāo)的細(xì)節(jié)和連續(xù)性。

圖6 稀疏采樣下頻域PCA對(duì)應(yīng)的參考復(fù)數(shù)圖像結(jié)果Fig.6 Referential complex images of PCA in frequency domain under sparse sampling

圖7 稀疏采樣下干涉前后的復(fù)數(shù)圖像三維頻譜Fig.7 3D frequency spectrum of complex images before and after interferometry under spares sampling

圖8 稀疏采樣下頻域CS重建結(jié)果Fig.8 Reconstructed results based on CS in frequency domain under sparse sampling

在稀疏重建結(jié)果定量評(píng)價(jià)過程中,采用相關(guān)系數(shù)、均方根誤差(root mean square error, RMSE)和結(jié)構(gòu)相似度(structural similarity index, SSIM)作為指標(biāo),評(píng)價(jià)對(duì)象為重建前后的目標(biāo)各散射點(diǎn)幅度和位置形成的三維復(fù)數(shù)矩陣,表2為組合巴克碼稀疏采樣條件下不同算法得到的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)結(jié)果。在定量評(píng)價(jià)分析中,文獻(xiàn)[8]提出的頻域CS重建算法和文獻(xiàn)[9]提出的頻域低通濾波(low pass filtering, LPF)算法的相應(yīng)結(jié)果也用來進(jìn)行對(duì)比。從表2結(jié)果可知,基于本文所提的頻域稀疏CS反演方法得到的散射中心位置分布及幅度反演結(jié)果RMSE最低,且與完備采樣結(jié)果的相關(guān)系數(shù)和相似度最高,驗(yàn)證了上文理論和數(shù)據(jù)分析。

表2 算法重構(gòu)性能評(píng)價(jià)Table 2 Reconstruction performance evaluation of different algorithms

4 結(jié) 論

本文以組合巴克碼為準(zhǔn)則實(shí)施稀疏采樣,對(duì)應(yīng)的孔徑稀疏率為50%。提出一種基于頻域PCA和CS的目標(biāo)三維散射中心重構(gòu)算法,利用PCA構(gòu)造參考復(fù)數(shù)矩陣,并通過干涉處理使原始稀疏回波信號(hào)的三維頻譜具備稀疏性。由于干涉處理后復(fù)圖像頻譜集中,因此可基于CS對(duì)頻譜建立線性觀測(cè)矩陣,并進(jìn)行最優(yōu)化求解,獲得待重構(gòu)三維散射中心對(duì)應(yīng)頻譜,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)稀疏采樣下的微波散射中心三維位置的精確重建。暗室試驗(yàn)結(jié)果表明,在組合巴克碼稀疏采樣條件下,該算法可獲得與完備采樣相近的重構(gòu)質(zhì)量。

本文所提的頻域稀疏CS雷達(dá)目標(biāo)三維散射中心反演方法可應(yīng)用于人體安檢、對(duì)地偵察等熱門領(lǐng)域,并為目標(biāo)三維特征提取及識(shí)別應(yīng)用提供技術(shù)支撐。