肖 宇, 鄧正宏, 張 展

(1. 西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

認(rèn)知雷達(dá)根據(jù)目標(biāo)-環(huán)境相互作用信息,調(diào)整雷達(dá)發(fā)射波形或接收處理,將有限資源優(yōu)化分配,從而提高復(fù)雜環(huán)境下的雷達(dá)系統(tǒng)性能[1]。自Haykin等[2]提出認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)架構(gòu)起,結(jié)合序貫假設(shè)檢驗(yàn)方法,已成為目標(biāo)檢測(cè)問題的首選框架,與經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)方法相比,序貫假設(shè)檢驗(yàn)可根據(jù)先前的觀察調(diào)整發(fā)射波形,以減少所需的發(fā)射脈沖次數(shù),這允許在更短的檢測(cè)時(shí)間,達(dá)到設(shè)定檢測(cè)概率,而不會(huì)影響雷達(dá)檢測(cè)性能。

在針對(duì)多目標(biāo)檢測(cè)的雷達(dá)波形設(shè)計(jì)研究中,常用的波形優(yōu)化準(zhǔn)則包括互信息(mutual information, MI)[3-5]、信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)[6]、KL散度(Kullback-Leibler divergence, KLD)[7]、模糊函數(shù)[8]等。將序貫檢測(cè)和波形設(shè)計(jì)相結(jié)合,設(shè)計(jì)序貫檢測(cè)波形對(duì)多目標(biāo)場(chǎng)景進(jìn)行探測(cè),使雷達(dá)系統(tǒng)達(dá)到參數(shù)估計(jì)最優(yōu),從而大大降低做出目標(biāo)判決所需的脈沖數(shù)量,文獻(xiàn)[9]提出了基于序貫假設(shè)檢驗(yàn)框架的自適應(yīng)波形設(shè)計(jì)方法,雷達(dá)利用優(yōu)化波形更新目標(biāo)假設(shè)的概率,通過閉環(huán)反饋進(jìn)行波形迭代設(shè)計(jì)。Romero等[10]基于SNR和MI準(zhǔn)則設(shè)計(jì)了兩種匹配于目標(biāo)的發(fā)射波形,并用于多元假設(shè)檢驗(yàn)的目標(biāo)分類,由于波形設(shè)計(jì)側(cè)重于驗(yàn)證與目標(biāo)的匹配性能,所以沒有進(jìn)行閉環(huán)反饋迭代。文獻(xiàn)[11]從信號(hào)頻域特性驗(yàn)證了基于最優(yōu)波形的序貫假設(shè)檢驗(yàn)算法能顯著減少發(fā)射脈沖次數(shù),并在信雜噪比和檢測(cè)概率上進(jìn)行均衡處理,取得較好的性能。在假設(shè)檢驗(yàn)過程中,KLD準(zhǔn)則常用于減小序貫多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達(dá)的檢測(cè)次數(shù)。文獻(xiàn)[12]分別使用基于MI和KLD準(zhǔn)則優(yōu)化的波形來更新目標(biāo)假設(shè)概率,通過每個(gè)假設(shè)的最佳波形與概率的加權(quán)和進(jìn)行多目標(biāo)識(shí)別,有效減少了用于多目標(biāo)識(shí)別的發(fā)射波形次數(shù)。上述文獻(xiàn)通過波形優(yōu)化提升了多目標(biāo)檢測(cè)、識(shí)別性能,但在實(shí)際雷達(dá)檢測(cè)環(huán)境中,隨著目標(biāo)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的變化,SNR會(huì)隨發(fā)射脈沖而改變,不同SNR下檢測(cè)性能會(huì)受到一定的限制,要確保高性能檢測(cè),必須以SNR為約束,調(diào)整優(yōu)化發(fā)射波形。文獻(xiàn)[13]從頻域角度研究了信雜噪比約束下基于MI的波形設(shè)計(jì),結(jié)果顯示信雜噪比約束下的優(yōu)化波形能更充分利用發(fā)射能量,在有目標(biāo)且雜波弱的頻率點(diǎn)提取目標(biāo)信號(hào)。

在多元假設(shè)檢驗(yàn)環(huán)節(jié),除了降低發(fā)射脈沖數(shù)量以外,假設(shè)判決過程的參數(shù)估計(jì)是影響多目標(biāo)檢測(cè)性能的另一個(gè)重要環(huán)節(jié),文獻(xiàn)[14]將多目標(biāo)檢測(cè)問題建模為多元假設(shè)檢驗(yàn)問題,通過最大似然估計(jì)準(zhǔn)則確定目標(biāo)參數(shù),采用最大化KLD準(zhǔn)則設(shè)計(jì)波形來擴(kuò)大多元假設(shè)之間的距離,進(jìn)而縮減假設(shè)判決的時(shí)間,但參數(shù)估計(jì)是假設(shè)判決的基礎(chǔ),基于KLD優(yōu)化的波形無法在發(fā)射脈沖數(shù)量、參數(shù)估計(jì)之間進(jìn)行均衡,會(huì)降低多目標(biāo)檢測(cè)性能?？紤]到在針對(duì)參數(shù)估計(jì)的波形設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[15-18]中,基于MI準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的波形具有提升參數(shù)估計(jì)性能的特性,同時(shí)如果令多元假設(shè)之間的MI最小化,也可使得多元假設(shè)之間進(jìn)行有效分離。基于這一思想及上述分析,本文針對(duì)多目標(biāo)檢測(cè)問題,分析假設(shè)判決與目標(biāo)參數(shù)之間的約束關(guān)系,考慮SNR的影響,基于兩階段MI準(zhǔn)則優(yōu)化發(fā)射波形,提升多目標(biāo)檢測(cè)性能。

1 多元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

1.1 雷達(dá)信號(hào)模型

考慮一個(gè)緊湊型MIMO雷達(dá)系統(tǒng),其收發(fā)陣列為均勻線陣,陣元間距為d。定義第k次脈沖的傳輸波形矩陣為Sk,波形矩陣的第l列向量代表第l次采樣的數(shù)據(jù),波形矩陣的行向量對(duì)應(yīng)于NT個(gè)發(fā)射單元傳輸?shù)男盘?hào),即Sk∈CNT×L。發(fā)射信號(hào)通過NT個(gè)線陣單元向外輻射,經(jīng)目標(biāo)和環(huán)境反射后,通過NR個(gè)線陣單元接收。當(dāng)發(fā)射第k次脈沖信號(hào)時(shí),接收信號(hào)Xk∈CNR×L可表示為

Xk=H(Φk)Sk+Nk

(1)

式中:Nk∈CNR×L為加性高斯白噪聲,即矩陣每一個(gè)元素都是均值為0,方差為σ2的高斯隨機(jī)變量;H(Φk)∈CNR×NT表示目標(biāo)響應(yīng)矩陣,是目標(biāo)參數(shù)Φk的非線性函數(shù),該雷達(dá)信號(hào)模型沿用了文獻(xiàn)[16-17]表示的模型,具有一定的普適性。為使接收信號(hào)模型更具通用性,當(dāng)環(huán)境中存在Q個(gè)目標(biāo)時(shí),可將目標(biāo)響應(yīng)矩陣表示為

(2)

式中:[αk]q表示為第q個(gè)目標(biāo)的衰減幅度;aT([θk]q)∈CNT×1和aR([θk]q)∈CNR×1分別表示發(fā)射陣列和接收陣列的轉(zhuǎn)向矢量;[θk]q表示第q個(gè)目標(biāo)的方向角度。

1.2 多元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

目標(biāo)檢測(cè)是從雷達(dá)視場(chǎng)環(huán)境中快速、準(zhǔn)確地發(fā)掘目標(biāo),而多目標(biāo)檢測(cè)則要求能夠確定目標(biāo)數(shù)量,并估計(jì)目標(biāo)位置[14]。MIMO雷達(dá)在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行觀測(cè)時(shí),當(dāng)每個(gè)脈沖期間每個(gè)目標(biāo)的方向角度θk和衰減幅度αk不同時(shí),能夠有效對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行分類。隨著認(rèn)知雷達(dá)和波形設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展,波形設(shè)計(jì)結(jié)合序貫假設(shè)檢驗(yàn)的方法能夠有效提升多目標(biāo)檢測(cè)性能[9]。因此,根據(jù)目標(biāo)響應(yīng)矩陣情況,可將多目標(biāo)檢測(cè)描述為一個(gè)多元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?即：

(3)

(4)

2 檢驗(yàn)判決與估計(jì)參數(shù)的約束關(guān)系

在多元假設(shè)檢驗(yàn)過程中,對(duì)假設(shè)的確定通常以概率做出判決,序貫概率比檢驗(yàn)是常用的方法,本節(jié)采用序貫概率比檢驗(yàn)給出判決條件。經(jīng)過k次脈沖信號(hào)照射后,假設(shè)Hi與假設(shè)Hj之間的概率比表示為

(5)

εij=Pd{d=j|Hi},i≠j

(6)

根據(jù)序貫概率比檢驗(yàn)[9]模型,給出假設(shè)判決條件為

(7)

當(dāng)假設(shè)判決條件滿足式(7)時(shí),判定正確假設(shè)為Hi;否則,需要不斷觀測(cè)新的接收數(shù)據(jù),做出再次判決。由于序貫概率比檢驗(yàn)是基于貝葉斯方法,因此獲得錯(cuò)誤概率εij需要準(zhǔn)確了解目標(biāo)的先驗(yàn)概率。對(duì)于判決條件式(7)而言,錯(cuò)誤概率εij通常是一個(gè)給定值,若εij能夠進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,也能有效提升目標(biāo)檢測(cè)性能,但關(guān)于εij的設(shè)計(jì)不在討論范圍。

(8)

(9)

考慮到序貫概率比是概率密度函數(shù)的比值,本節(jié)對(duì)目標(biāo)參數(shù)的估計(jì)采用粒子濾波的方式進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于粒子濾波而言,任意概率分布P(Φk|Xk-1,Sk-1)可采用離散粒子集進(jìn)行蒙特卡羅近似,即：

(10)

P(Φk|Xk,Sk,Xk-1,Sk-1)=
P(Xk|Φk,Sk)P(Φk|Xk-1,Sk-1)

(11)

所以,目標(biāo)參數(shù)估計(jì)值表示為

(12)

(13)

3 提升目標(biāo)檢測(cè)性能的波形設(shè)計(jì)

根據(jù)第2節(jié)分析,多元假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)鍵因素是參數(shù)估計(jì)和波形設(shè)計(jì),而通過波形設(shè)計(jì)又能提升參數(shù)估計(jì)性能,因此本節(jié)將根據(jù)多元假設(shè)檢驗(yàn)判決與估計(jì)參數(shù)的約束關(guān)系,進(jìn)行自適應(yīng)波形設(shè)計(jì)。目前,針對(duì)參數(shù)估計(jì)的波形設(shè)計(jì)準(zhǔn)則有最小均方誤差(minimum mean square error,MMSE)[15]、MI[3-5]、RM界(Reuven-Messer bound,RMB)[17]等,本節(jié)以MI作為準(zhǔn)則對(duì)波形進(jìn)行設(shè)計(jì),根據(jù)MIMO雷達(dá)信號(hào)模型,可得接收信號(hào)Xk與目標(biāo)響應(yīng)H(Φk)之間的MI表示[4]為

(14)

在多假設(shè)檢驗(yàn)中,每個(gè)假設(shè)都有對(duì)應(yīng)的MI(Xk;H(Φk)|Sk),都可以通過最大化MI為準(zhǔn)則設(shè)計(jì)優(yōu)化波形,然而很難通過某一個(gè)假設(shè)設(shè)計(jì)的波形Sk使得所有假設(shè)的MI最大,同時(shí),由于每次接收觀測(cè)信號(hào)的不同,使得每個(gè)假設(shè)的概率均會(huì)發(fā)生變化。設(shè)計(jì)波形的最終目標(biāo)是使得假設(shè)檢驗(yàn)聚焦于真實(shí)假設(shè),并使真實(shí)假設(shè)的概率最大。若以每個(gè)假設(shè)的后驗(yàn)概率作為權(quán)重,結(jié)合以MI最大化為準(zhǔn)則優(yōu)化波形,以所有假設(shè)的權(quán)重與波形乘積和設(shè)計(jì)多假設(shè)檢驗(yàn)發(fā)射波形,從理論上而言是一種提升參數(shù)估計(jì)和目標(biāo)檢測(cè)性能的方法。

另外,在多元假設(shè)檢驗(yàn)中,當(dāng)以任意兩個(gè)假設(shè)之間的MI最小化設(shè)計(jì)波形時(shí),此時(shí)假設(shè)之間能夠進(jìn)行快速分離,縮短假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)間,減少發(fā)射脈沖數(shù)量,進(jìn)而提升目標(biāo)檢測(cè)性能。若以每個(gè)假設(shè)最大化MI為準(zhǔn)則設(shè)計(jì)波形為庫(kù),根據(jù)任意兩個(gè)假設(shè)之間的MI最小化為準(zhǔn)則選擇波形,以假設(shè)的權(quán)重與波形乘積和設(shè)計(jì)多假設(shè)檢驗(yàn)發(fā)射波形,是另一種提升多目標(biāo)檢測(cè)性能的方法。

基于以上思路,考慮SNR對(duì)參數(shù)估計(jì)性能的影響,本文以SNR作為約束條件,設(shè)計(jì)兩階段的多目標(biāo)檢測(cè)波形。

3.1 基于單假設(shè)MI最大化的波形設(shè)計(jì)

假設(shè)雷達(dá)的最大發(fā)射能量為P0,SNR閾值為SNR0,在SNR和能量約束下,任一假設(shè)接收信號(hào)與目標(biāo)響應(yīng)之間MI最大化的波形設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)可表示為

(15)

(16)

同理,對(duì)SNR約束和能量約束進(jìn)行化簡(jiǎn),可表示為

(17)

(18)

因此,波形設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)式(15)可轉(zhuǎn)換為

(19)

(20)

(21)

(22)

因而,波形優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)式(19)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(23)

該目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化變量為σs k,注意到,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù),約束條件與σs k線性相關(guān),因此該優(yōu)化問題為凸優(yōu)化問題,可通過拉格朗日乘子法進(jìn)行求解,即:

(24)

式中:λ1≥0和λ2≥0分別對(duì)應(yīng)SNR約束和能量約束的拉格朗日乘子。對(duì)L(σs k,λ1,λ2)關(guān)于σs k求導(dǎo)數(shù),并令導(dǎo)數(shù)為0,可得σs k的方程式解表示為

(25)

(26)

在無SNR約束的情況下,該優(yōu)化波形表示為

(27)

(28)

(29)

(30)

3.2 基于雙假設(shè)MI最小化的波形設(shè)計(jì)

基于雙假設(shè)MI最小化的波形設(shè)計(jì)分為兩步:第一步,以基于單假設(shè)最大化MI為準(zhǔn)則設(shè)計(jì)波形,并建立波形庫(kù);第二步,根據(jù)兩個(gè)假設(shè)之間的MI最小化為準(zhǔn)則從波形庫(kù)中選擇優(yōu)化波形。根據(jù)MI定義,假設(shè)Hi與假設(shè)Hj輸出信號(hào)Xik與Xjk之間的MI可表示為

(31)

結(jié)合雷達(dá)信號(hào)模型及熵計(jì)算公式,可得

MI(Xik,Xjk)=-Nln[det(IN-D2)]

(32)

式中:IN表示單位矩陣;D矩陣表示協(xié)方差矩陣RHi,Hj奇異值分解后的對(duì)角矩陣。協(xié)方差矩陣RHi,Hj[18]可表示為

(33)

式中：Xik、Xjk分別表示假設(shè)Hi與假設(shè)Hj時(shí)輸出信號(hào);RXik、RXjk、RXik,Xjk分別表示為

(34)

(35)

(36)

此時(shí),波形優(yōu)化準(zhǔn)則可表示為

(37)

(38)

4 仿真及結(jié)果分析

本節(jié)主要以多元假設(shè)檢驗(yàn)中參數(shù)估計(jì)精度、發(fā)射脈沖數(shù)量、檢測(cè)概率等為檢驗(yàn)指標(biāo),對(duì)基于雙階段MI準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的波形進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)基于單假設(shè)MI最大化設(shè)計(jì)(簡(jiǎn)寫為maxMI)、基于雙假設(shè)MI最小化設(shè)計(jì)(簡(jiǎn)寫為minMI)的波形進(jìn)行仿真,考慮到文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)的波形為無SNR約束的估計(jì)波形(簡(jiǎn)寫為maxMI-NoSNR波形),可作為本文參數(shù)估計(jì)階段的對(duì)比方案,可與maxMI波形進(jìn)行對(duì)比。當(dāng)以文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)的波形為波形庫(kù),結(jié)合基于雙假設(shè)MI最小化設(shè)計(jì)的波形為雙階段設(shè)計(jì)波形(簡(jiǎn)寫為minMI-NoSNR波形),可與minMI波形進(jìn)行對(duì)比,同時(shí)加入正交波形這一基準(zhǔn)對(duì)比方案,對(duì)本文設(shè)計(jì)波形提升檢測(cè)性能的情況進(jìn)行驗(yàn)證。

假設(shè)雷達(dá)探測(cè)目標(biāo)為點(diǎn)目標(biāo),MIMO雷達(dá)的發(fā)射與接收陣元數(shù)量一致,且NT=NR=6,陣元間距為波長(zhǎng)的1/2,發(fā)射能量設(shè)置為0.1 J。借鑒文獻(xiàn)[16]波形優(yōu)化特性,本文方法可應(yīng)用于目標(biāo)參數(shù)Φk隨脈沖個(gè)數(shù)k的變化而變化,但為了驗(yàn)證自適應(yīng)波形對(duì)參數(shù)估計(jì)性能的提升,本節(jié)仿真中設(shè)定目標(biāo)參數(shù)Φk保持靜止。假設(shè)空間中有3個(gè)目標(biāo),波形信號(hào)經(jīng)目標(biāo)反射后的衰減幅度一致,均為1,不同之處在于3個(gè)目標(biāo)的角度不同,假設(shè)三者偏離波束中心線的角度分別為-33°、0°、30°,設(shè)定波形SNR約束閾值SNR0為-3 dB。

4.1 參數(shù)估計(jì)性能

從圖1可知,隨著發(fā)射脈沖數(shù)的增長(zhǎng),目標(biāo)參數(shù)的MMSE在減小,minMI波形能夠獲得最好的參數(shù)估計(jì)性能,由于minMI波形是從maxMI波形庫(kù)中選擇發(fā)射波形,從理論推導(dǎo)上就具有參數(shù)估計(jì)的先驗(yàn)優(yōu)勢(shì),在多假設(shè)概率迭代的基礎(chǔ)上,能夠更快地降低目標(biāo)參數(shù)的MMSE,仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論的可行性。又因?yàn)閙inMI波形是在maxMI波形的基礎(chǔ)上乘以各假設(shè)的概率權(quán)重,使得參數(shù)估計(jì)MMSE波動(dòng)更為平緩。而minMI-NoSNR波形的參數(shù)估計(jì)性能,因?yàn)槿狈?duì)SNR閾值的自適應(yīng)調(diào)整,會(huì)弱于minMI波形,但時(shí)而優(yōu)于maxMI波形時(shí)而弱于maxMI波形,原因在于多假設(shè)概率權(quán)重迭代帶來的波動(dòng)。同時(shí),maxMI波形設(shè)計(jì)受到SNR約束,隨著脈沖數(shù)的增加,SNR發(fā)生變化,使得參數(shù)估計(jì)MMSE出現(xiàn)一定的波動(dòng),但參數(shù)估計(jì)性能會(huì)優(yōu)于maxMI-NoSNR波形。

4.2 目標(biāo)檢測(cè)性能

同時(shí),采用正交波形、maxMI波形、maxMI-NoSNR波形、minMI-NoSNR波形進(jìn)行序貫檢測(cè),可得正交波形獲得正確判決的脈沖數(shù)為34個(gè),maxMI波形獲得正確判決的脈沖數(shù)為31個(gè),maxMI-NoSNR波形獲得正確判決的脈沖數(shù)為33個(gè),minMI-NoSNR波形獲得正確判決的脈沖數(shù)為29個(gè),也就是說minMI波形能夠有效縮短目標(biāo)檢測(cè)的時(shí)間。

在圖2中,隨著脈沖數(shù)的增加,每個(gè)假設(shè)的概率都在發(fā)生波動(dòng),這和假設(shè)中的目標(biāo)響應(yīng)協(xié)方差矩陣的變化有關(guān),在每次發(fā)射波形后,估計(jì)參數(shù)都發(fā)生變化,進(jìn)而引起了各假設(shè)概率的波動(dòng)。相應(yīng)地給出5種波形的目標(biāo)檢測(cè)性能,如圖3所示。

從圖3可知,隨著脈沖數(shù)的增加,由于參數(shù)估計(jì)精度的增加,當(dāng)前脈沖獲得的SNR也在增加,使得檢測(cè)概率在同步增加,minMI波形能夠獲得最好的目標(biāo)檢測(cè)性能,其次是maxMI波形、minMI-NoSNR波形,之后是maxMI-NoSNR波形。在脈沖數(shù)積累到一定程度時(shí)minMI-NoSNR波形會(huì)優(yōu)于maxMI波形帶來的檢測(cè)性能。據(jù)此,給出minMI波形以及對(duì)應(yīng)的角度概率密度與發(fā)射脈沖數(shù)量的關(guān)系如圖4所示。

從圖4中可知,隨著脈沖數(shù)的增加,目標(biāo)在-33°、0°、30° 3個(gè)角度上的概率分布更為聚焦,當(dāng)脈沖數(shù)達(dá)到25次時(shí),獲得最大的概率分布。但在脈沖數(shù)為14次時(shí),3個(gè)目標(biāo)的角度概率分布已經(jīng)出現(xiàn)聚焦的現(xiàn)象,此時(shí)假設(shè)H7的概率已經(jīng)領(lǐng)先于其他假設(shè)的概率,檢測(cè)概率也接近于1,在第14個(gè)脈沖以前,目標(biāo)參數(shù)MSE變化更陡峭,檢測(cè)性能也提升較快,可見,自適應(yīng)波形設(shè)計(jì)總會(huì)超前于目標(biāo)檢測(cè)性能和估計(jì)性能的變化。

5 結(jié) 論

為提升多目標(biāo)檢測(cè)性能,本文以假設(shè)檢驗(yàn)判決與估計(jì)參數(shù)的約束關(guān)系為紐帶,提出了以SNR為約束基于單假設(shè)MI最大化設(shè)計(jì)的波形,并以此為基礎(chǔ)提出了基于雙假設(shè)MI最小化的波形設(shè)計(jì)方法,仿真結(jié)果表明,基于雙假設(shè)MI最小化的波形能夠有效提升目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能,進(jìn)而提升多目標(biāo)檢測(cè)性能。由于目標(biāo)信號(hào)模型中只考慮了噪聲的影響,因此該波形設(shè)計(jì)方法對(duì)環(huán)境中出現(xiàn)干擾的情況,需要做出改進(jìn)。另外,針對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)判決閾值自適應(yīng)變化、設(shè)計(jì)適用于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的波形為下一步研究波形設(shè)計(jì)提供了方向。