逯麒，陳坤，栗保明

(南京理工大學瞬態(tài)物理國家重點實驗室，江蘇 南京 210094)

電磁發(fā)射超高速制導彈藥是一種采用電磁軌道炮發(fā)射的高初速、遠射程、高精度新概念武器[1]。隨著抗高過載和強電磁防護技術(shù)的逐步成熟，電磁發(fā)射超高速彈藥實現(xiàn)了從無控彈藥向制導彈藥的過渡，在遠程精確打擊、防空反導、反裝甲等領域應用潛力巨大，得到世界各國極大關注和重點研究。

不同于常規(guī)低速制導彈藥，電磁發(fā)射超高速制導彈藥炮口初速大、動壓高、炮口擾動劇烈，如果采用發(fā)射后即通過電動舵機的主動控制方法，維持飛行穩(wěn)定所需控制力矩遠遠超出了舵機的鉸鏈力矩承受極限；超高速彈藥也不同于導彈，導彈發(fā)射階段速度低，加速度有限，控制技術(shù)成熟。超高速彈藥出炮口后的高速大動壓，帶來的快時變、強耦合、非線性等問題，需要采用新穎的控制方式。

電磁發(fā)射超高速制導彈藥可通過斜置尾翼的方式主動起旋，利用旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性來消除質(zhì)量偏心和氣動力不對稱等影響因素對飛行穩(wěn)定性和打擊精度的影響[2]。然而高速旋轉(zhuǎn)運動的耦合作用會增加控制難度，因此需要在合適時機將彈體滾轉(zhuǎn)速度降低至無旋狀態(tài)。解旋時機一般取決于動壓條件是否滿足舵機鉸鏈力矩要求。當彈體速度下降，動壓達到伺服舵機的起控要求之后，彈載控制系統(tǒng)進行滾轉(zhuǎn)通道的減旋止擺，然后采用三通道控制方式完成對目標的精確打擊。

關于電磁發(fā)射超高速彈藥的相關研究是伴隨著電磁發(fā)射技術(shù)進行的，目前研究均未對電磁發(fā)射超高速彈丸出炮口后的滾轉(zhuǎn)運動以及減旋止擺方法進行展開。李湘平、謝楊柳等針對電磁發(fā)射一體化彈丸外彈道運動進行仿真研究[3-4]，主要考慮初始擾動和氣動燒蝕等因素對于彈道特性的影響，但是并未考慮彈體的滾轉(zhuǎn)運動穩(wěn)定性。針對傳統(tǒng)彈箭的滾轉(zhuǎn)運動，國外研究者如Bolz很早就得出了適用于無控旋轉(zhuǎn)彈的穩(wěn)定性邊界條件，指出對于靜穩(wěn)定彈存在一個穩(wěn)定轉(zhuǎn)速上限[5]；Murphy則創(chuàng)造性提出非旋轉(zhuǎn)彈體坐標系，并建立了一套完整的旋轉(zhuǎn)彈動穩(wěn)定理論[6-7]；Nicolaides考慮了周期性擾動對彈體轉(zhuǎn)速的干擾[8]，進而引出共振轉(zhuǎn)速會引發(fā)彈體共振不穩(wěn)定；我國學者同樣得到了類似旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性理論，并運用到相關領域[9-11]。除此以外，針對旋轉(zhuǎn)彈箭進行的氣動特性分析也得到了廣泛研究[12-13]，得出了具有參考意義的結(jié)論。針對減旋止擺控制方法，國外學者Close和Frank等針對炮射彈藥滾轉(zhuǎn)通道，設計了PID控制方法[14-15]，給本文提供了一定參考價值,但適用條件顯然區(qū)別于電磁發(fā)射超高速彈藥，也并未考慮動壓的限制。

綜上所述，電磁發(fā)射超高速制導彈藥在出炮口高動壓情況下，為了維持飛行彈道穩(wěn)定性，需要經(jīng)歷主動起旋、高速滾轉(zhuǎn)、減旋止擺等一系列過渡過程。針對電磁發(fā)射超高速制導彈藥初始彈道的滾轉(zhuǎn)運動過程，筆者采用理論分析和建模仿真相結(jié)合的研究方法，著重于分析彈體飛行動態(tài)穩(wěn)定性以及減旋止擺主動控制策略，給出了適用于超高速彈藥的滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域判別方法，能夠為同類的超高速彈藥的急滾穩(wěn)定性研究提供參考。

1 滾轉(zhuǎn)運動建模

1.1 氣動布局

電磁發(fā)射超高速制導彈藥采用軸對稱翼身組合體氣動布局，錐形頭部和4片全動尾翼的組合能夠最大程度滿足超高速發(fā)射的增程減阻的要求。

為了清楚地描述和分析電磁發(fā)射超高速制導彈藥初始彈道的滾轉(zhuǎn)運動情況，建立如圖1所示準彈體坐標系Ox1y1z1，彈體速度矢量V與鉛垂面Ox1y1的相對位置定義為攻角α和側(cè)滑角β。

由于彈體的旋轉(zhuǎn)運動所需力和力矩主要來自于滾轉(zhuǎn)舵偏角δx，不同的控制需求下的滾轉(zhuǎn)舵偏角需要進行特別設計。滾轉(zhuǎn)舵偏角和舵極性定義如圖2所示，其中4片舵片呈“×”型均勻分布，并有相同預置舵偏角δ1=δ2=δ3=δ4，彈體滾轉(zhuǎn)角φ=0，設為初始滾轉(zhuǎn)狀態(tài)。

1.2 運動方程組

電磁發(fā)射超高速制導彈藥在外彈道飛行過程中屬于非線性時變系統(tǒng)，其滾轉(zhuǎn)通道所受力和力矩隨時間變化，受飛行姿態(tài)和飛行環(huán)境的影響。筆者根據(jù)彈體的氣動外形和實際飛行情況，對文獻[16]提出的低速滾轉(zhuǎn)導彈運動方程組進行適當簡化。假設：軸對稱彈體的氣動參數(shù)與滾轉(zhuǎn)方位角無關，其俯仰和偏航通道動力學特性一致且繞軸轉(zhuǎn)動慣量滿足Jx

(1)

式中：Y和Z分別為彈體所受法向力和側(cè)向力；Mx、My和Mz分別為彈體所受總氣動力矩在彈體坐標系各軸上的分量，對于滾轉(zhuǎn)飛行的超高速彈藥而言，總氣動力矩包括滾轉(zhuǎn)阻尼力矩、導轉(zhuǎn)力矩、馬格努斯力矩和交叉力矩。

2 滾轉(zhuǎn)運動分析

2.1 主動起旋過程

電磁發(fā)射超高速制導彈藥在出炮口后的小段時間內(nèi)，外部擾動作用于彈體的時間較短，彈體錐形運動不明顯，可以認為彈體飛行速度矢量方向和旋轉(zhuǎn)角速度矢量與彈體坐標系Ox1軸重合。電磁發(fā)射超高速制導彈藥的起旋過程，只需選取方程組(1)的第3式即可描述，暫不考慮交叉力矩的影響：

(2)

(3)

式(3)表明，平衡轉(zhuǎn)速主要與當前時刻飛行速度V成比例。假設式(2)是常系數(shù)方程，對其進行求解，則一階非齊次微分方程的通解表示為

(4)

式(4)表明，超高速彈藥從無旋狀態(tài)到達平衡轉(zhuǎn)速的快慢，主要取決于表達式中滾轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)導數(shù)與飛行速度的乘積。

2.2 轉(zhuǎn)速極限和動態(tài)穩(wěn)定性

選擇合理的膛外轉(zhuǎn)速，不但能減少對該彈散布起主要作用的起始擾動的影響，還能防止由于轉(zhuǎn)速過快產(chǎn)生馬格努斯力矩的影響[9]。針對筆者研究的電磁發(fā)射超高速制導彈藥而言，無控段彈體有利于轉(zhuǎn)速的確定主要考慮以下條件：

1)起旋時間盡量要短，使得彈體盡快進入平衡轉(zhuǎn)速狀態(tài)，減小炮口擾動的持續(xù)影響；

2)炮口高動態(tài)大動壓環(huán)境下，預置舵偏的合理設計需要考慮舵機鉸鏈力矩的承受極限；

3)在轉(zhuǎn)速變化過程中，應該盡量避免停留在“共振轉(zhuǎn)速”區(qū)；

4)彈體轉(zhuǎn)速不宜過大，否則過大馬格努斯力矩會對飛行穩(wěn)定性產(chǎn)生干擾。

根據(jù)電磁發(fā)射超高速彈藥單自由度滾轉(zhuǎn)的特點，彈體滾轉(zhuǎn)角速度和飛行速度在經(jīng)歷快速起旋過程之后，變化趨勢逐漸平緩，可認為滾轉(zhuǎn)角速度保持很大的常數(shù)ωx0。結(jié)合小擾動假設，對方程組(1)中剩余4式進行近似線性化，則旋轉(zhuǎn)彈藥擾動運動方程組為

(5)

引入復攻角和復角速度的概念，令：

(6)

利用復攻角偏量和復角速度偏量，則線性化的彈體角運動方程，可進一步簡化為如下形式：

(7)

由式(7)可得復數(shù)形式的特征方程，此處不做展開，則特征方程的根為

(8)

式中：A=a1+a4+ia6ωx0；B=a2+a1a4+iωx0(a7+a6a4)。

特征根λ1,2的性質(zhì)決定自由擾動運動是否穩(wěn)定，即當特征根同時具有負實部時滿足系統(tǒng)穩(wěn)定。則可推導得到超高速彈藥旋轉(zhuǎn)運動動態(tài)穩(wěn)定性條件為

(9)

(10)

此外，旋轉(zhuǎn)彈的固有頻率可以表示為以下形式：

(11)

當制導彈藥的旋轉(zhuǎn)速度和固有頻率相同時，彈體會發(fā)生共振現(xiàn)象。長時間共振會導致彈體攻角增加產(chǎn)生錐形運動，造成飛行穩(wěn)定性下降甚至失去穩(wěn)定，所以滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定轉(zhuǎn)速取值應避開共振轉(zhuǎn)速。

綜上所述，滾轉(zhuǎn)角速度應該滿足的滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域為

(12)

2.3 減旋止擺方法

電磁發(fā)射超高速制導彈藥減旋止擺的主要目的：一方面是滾轉(zhuǎn)運動狀態(tài)下彈體各方向運動耦合嚴重，減旋后可采用三通道控制；另一面是減小馬格努斯力和力矩的持續(xù)作用對彈體飛行及其動態(tài)穩(wěn)定性的影響。

電磁發(fā)射超高速彈藥減旋止擺方法，主要是針對滾轉(zhuǎn)控制通道的設計，可基于自動控制的負反饋原理，采用滾轉(zhuǎn)角速度反饋和滾轉(zhuǎn)角反饋組成滾轉(zhuǎn)控制穩(wěn)定回路。內(nèi)回路為滾轉(zhuǎn)角速度反饋，控制目標為使得彈體滾轉(zhuǎn)角速度降低至0；外回路為滾轉(zhuǎn)角反饋，控制目標為使得彈體滾轉(zhuǎn)角回到初始滾轉(zhuǎn)狀態(tài)。滾轉(zhuǎn)控制數(shù)學模型與式(2)類似，主動控制力矩來自于滾轉(zhuǎn)舵偏角δx。則采用PD控制的舵偏指令表示為

δx=kp(φc-φ)-kdωx，

(13)

式中，kp、kd分別為增益系數(shù)。

電動舵機作為控制執(zhí)行機構(gòu)，可以視作一個帶有延遲效果的一階系統(tǒng)：

(14)

式中，τ為時間常數(shù)。則電動舵機環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可表示為

(15)

根據(jù)以上滾轉(zhuǎn)控制模型，可得滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定回路框圖，如圖3所示。

3 滾轉(zhuǎn)運動仿真

3.1 氣動參數(shù)仿真

已知電磁發(fā)射超高速彈藥氣動布局和模型參數(shù)，定義初始狀態(tài)如表1所示。

表1 電磁發(fā)射超高速彈藥初始狀態(tài)

筆者通過成熟的氣動參數(shù)工程估算程序DATCOM計算得到不同飛行狀態(tài)下的氣動參數(shù)離散值。在進行彈體外彈道三自由度建模時，可將離散氣動參數(shù)在不同飛行高度，馬赫數(shù)和舵偏角下進行插值處理，如表2所示。

表2 電磁發(fā)射超高速彈藥飛行狀態(tài)

考慮到電磁發(fā)射超高速彈藥外彈道飛行過程中，彈體軸向阻力是影響飛行速度的主要因素，當預置舵偏角一定時，軸向阻力系數(shù)在不同馬赫數(shù)和飛行高度的取值情況如圖4所示。

事實上，當預置舵偏角分別為0.25°、0.5°和1.0°等小量時，彈體的軸向阻力系數(shù)Cx相差不大，反而隨著飛行馬赫數(shù)減小而增大，也隨著飛行高度增大而增大。

當預置舵偏角分別為0.25°、0.5°和1.0°，彈體的導轉(zhuǎn)力矩系數(shù)在不同馬赫數(shù)的取值情況如圖5所示。由圖5可得，當飛行馬赫數(shù)一定，導轉(zhuǎn)力矩系數(shù)是預置舵偏角的倍數(shù)關系，即其關于預置舵偏角的導數(shù)m2x可認為是一定值，也稱為舵效。

同樣，當預置舵偏角分別為0.25°、0.5°和1.0°等小量時，彈體的滾轉(zhuǎn)阻尼力矩系數(shù)導數(shù)m1x在不同馬赫數(shù)的取值情況如圖6所示。由圖6可得，滾轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)導數(shù)與預置舵偏之間不再是簡單的倍數(shù)關系，且舵偏值為小量時，滾轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)導數(shù)變化不大。

由于電磁發(fā)射超高速彈藥外彈道是一個動態(tài)變化過程，氣動參數(shù)是時變非線性的，筆者根據(jù)工程上比較成熟的氣動參數(shù)估算程序DATCOM進行電磁發(fā)射超高速彈藥的外彈道氣動參數(shù)計算仿真，并做了適當簡化處理，得出具有一定參考價值的氣動數(shù)據(jù)。

3.2 外彈道仿真

基于MATLAB/Simulink平臺搭建電磁發(fā)射超高速彈藥外彈道仿真模型，求解器選用四階龍格庫塔算法，仿真步長0.01 s，系統(tǒng)延遲0.01 s。

進行電磁發(fā)射超高速彈藥的質(zhì)心運動仿真，主要考慮外彈道過程中彈體飛行高度和動壓變化情況。帶入初始發(fā)射條件和不同飛行狀態(tài)下氣動參數(shù)插值，并假設除了軸向阻力外，其他氣動阻力可忽略。則電磁發(fā)射超高速彈藥外彈道仿真飛行高度和動壓變化曲線如圖7所示。

由仿真曲線可知，由于電磁發(fā)射超高速彈藥初速高達2 km/s，炮口動壓極大，約為2.4 MPa，遠遠超過了彈載電動舵機的主動控制極限，此時只能采用預置小角度舵偏角提供彈體旋轉(zhuǎn)力矩。

3.3 滾轉(zhuǎn)運動仿真

電磁發(fā)射超高速制導彈藥的滾轉(zhuǎn)運動仿真包括主動起旋、急速滾轉(zhuǎn)和減旋止擺3個過程，需要考慮滾轉(zhuǎn)運動穩(wěn)定性要求并確定極限轉(zhuǎn)速范圍。

首先，進行電磁發(fā)射超高速制導彈藥的主動起旋滾轉(zhuǎn)運動仿真，主要考慮外彈道過程中彈體實際轉(zhuǎn)速、平衡轉(zhuǎn)速以及飛行速度之間的關系。由于預置舵偏角對質(zhì)心運動影響不大，但是對滾轉(zhuǎn)運動影響很大，假設δ=0.25°，則電磁發(fā)射超高速彈藥滾轉(zhuǎn)運動角速度和飛行速度變化趨勢曲線如圖8所示。由圖8可得，彈體滾轉(zhuǎn)角速度動態(tài)變化趨勢基本吻合式(3)、(4)所述分析結(jié)果。超高速彈藥從無旋狀態(tài)快速起旋，在實際轉(zhuǎn)速趨近平衡轉(zhuǎn)速的過程中，飛行速度因空氣阻力作用不斷降低處于動態(tài)變化中，平衡轉(zhuǎn)速變化曲線與飛行速度變化曲線具有相同的下降趨勢。

其次，由式(10)知，電磁發(fā)射超高速制導彈藥存在一個與動力系數(shù)密切相關的滾轉(zhuǎn)速度上限。各動力系數(shù)中所涉及動導數(shù)同樣可以通過DATCOM計算得到，并在仿真時由馬赫數(shù)插值得到。筆者在仿真時考慮馬格努斯效應，并參考文獻[13]所得馬格努斯力矩的經(jīng)驗計算公式，認為馬格努斯力矩系數(shù)在小攻角范圍內(nèi)是旋轉(zhuǎn)角速度的線性函數(shù)。

由于存在滾轉(zhuǎn)上限，預置偏角和起控時機的選擇決定了超高速制導彈藥在無控段是否滿足動態(tài)穩(wěn)定條件。欲使得滾轉(zhuǎn)角速度滿足動態(tài)穩(wěn)定范圍，首先應該設置合適的預置舵偏角，氣動起旋過程迅速，快速通過共振轉(zhuǎn)速區(qū)域；其次當滾轉(zhuǎn)角速度逐漸趨于平衡轉(zhuǎn)速，應不超過轉(zhuǎn)速上限滿足動態(tài)穩(wěn)定條件；最后，減旋止擺過程應該迅速降低轉(zhuǎn)速，防止?jié)L轉(zhuǎn)角速度在共振轉(zhuǎn)速附近振蕩。選取不同的預置舵偏角分別為0.25°、0.5°和1.0°，彈體滾轉(zhuǎn)角速度變化情況如圖9所示。

由圖9可得，彈體因預置舵偏角存在而快速起旋，短時間內(nèi)穿過共振轉(zhuǎn)速，趨于平衡轉(zhuǎn)速。不同預置舵偏角情況下，彈體平衡轉(zhuǎn)速相差很大；預置舵偏角增加一倍，平衡轉(zhuǎn)速也近似增加一倍；當預置舵偏較大時(δ=1°)，彈體滾轉(zhuǎn)角速度很快超出滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定轉(zhuǎn)速上限，這意味著超高速彈藥還未通過稠密大氣就已經(jīng)失去穩(wěn)定；隨著預置舵偏角減小，彈體滾轉(zhuǎn)角速度處于滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域的時間也相應增加。

考慮到工程實際情況，假設彈載舵機系統(tǒng)最大鉸鏈力矩要求為1 N·m，滾轉(zhuǎn)舵偏角限制為±30°，即來流動壓滿足q<100 kPa時，彈載控制系統(tǒng)啟動減旋止擺控制程序。綜合考慮上述限制條件，應設置預置舵偏角δ=0.25°，彈載控制系統(tǒng)中，電動舵機時間常數(shù)τ=0.02。控制器采用PD控制，kp=5，kd=1，并當彈體滾轉(zhuǎn)角速度和滾轉(zhuǎn)角滿足ωx=0且φ=0時停止仿真。如圖10為超高速制導彈藥滾轉(zhuǎn)運動階段滾轉(zhuǎn)角速度變化情況。如圖12為預置舵偏角及控制作用下滾轉(zhuǎn)舵偏角變化曲線。

由圖10可知，超高速制導彈藥外彈道是一個動態(tài)變化過程，彈體滾轉(zhuǎn)角速度的穩(wěn)定范圍與其外彈道飛行狀態(tài)密切相關。超高速制導彈藥在無控段，受到氣動導旋力矩作用，起旋過程約2.88 s，最大轉(zhuǎn)速147.1 rad/s；當動壓下降到100 kPa時，起控時機為15.92 s，控制過程約0.70 s，滿足最大舵偏角限制?？刂七^程中，滾轉(zhuǎn)角速度快速穿越共振轉(zhuǎn)速并收斂到0，遠離共振轉(zhuǎn)速且?guī)缀鯖]有振蕩，符合預期控制效果。

綜上所述，針對電磁發(fā)射超高速制導彈藥滾轉(zhuǎn)運動，筆者基于實際動壓條件進行急滾運動穩(wěn)定性分析，從而提出主動起旋、高速滾轉(zhuǎn)及減旋止擺的控制策略，經(jīng)過仿真驗證基本達到控制效果，為電磁發(fā)射超高速制導彈藥工程應用提供一條可行方法。

4 結(jié)束語

針對電磁發(fā)射超高速彈藥炮口大動壓條件下，彈載控制系統(tǒng)很難及時實施穩(wěn)定控制這一工程問題，筆者提出了一系列主動起旋、高速滾轉(zhuǎn)及減旋止擺的控制策略并給出了特定發(fā)射條件下具體仿真結(jié)果。通過仿真分析得出：當電磁發(fā)射超高速制導彈藥以2 km/s的初速，50°射角進行發(fā)射時，可利用預置舵偏角主動起旋。預置舵偏角的大小對起旋過程時間影響不大，對平衡轉(zhuǎn)速的大小呈比例相關。綜合考慮彈體滾轉(zhuǎn)運動穩(wěn)定性和動壓條件之后，選用0.25°預置滾轉(zhuǎn)舵偏角，彈體起旋過程時長為2.88 s；彈體轉(zhuǎn)速可達到最大值147.1 rad/s；彈體減旋時刻為15.92 s；彈體滾轉(zhuǎn)控制通道僅需0.70 s即可將彈體轉(zhuǎn)速減小為0，并且滿足預期控制效果。雖然研究對象指的是電磁發(fā)射超高速制導彈藥，但是該控制策略和方法同樣可拓展應用到其他類型的超高速滾轉(zhuǎn)制導彈藥。