趙碧航， 楊汝?yáng)|， 孫測(cè)世

(重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 重慶 400074)

懸索結(jié)構(gòu)是一類典型的非線性結(jié)構(gòu)，具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性[1-3]。對(duì)索結(jié)構(gòu)的研究最早可追溯至Irvine建立相關(guān)理論[4]。其后，Rega等[5]研究了懸索非線性自由振動(dòng)的正對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱模態(tài)，并對(duì)在一定垂跨比范圍內(nèi)幅頻響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬。Perkins[6]引入哈密頓原理并運(yùn)用多尺度方法求解分析了懸索的面內(nèi)和面外振動(dòng)響應(yīng)特性。Zhao等[7]研究了彈性索在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的非線性行為，用數(shù)值方法分析了懸索面內(nèi)與面外振動(dòng)的耦合特性。Nayfeh等[8]研究了懸索在外激勵(lì)作用下的三維非線性響應(yīng)，具體分析了面內(nèi)外一階模態(tài)的內(nèi)共振問(wèn)題。趙躍宇等[9]為了探討直接法和離散法在結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)上的差異性，分析出離散法在非對(duì)稱結(jié)構(gòu)中可能出現(xiàn)的缺陷。楊汝?yáng)|等[10]在小垂度條件下，研究了不同索力下內(nèi)共振對(duì)拉索面內(nèi)響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差的影響。Irvine等[11]只考慮在垂跨比約為1∶8以下的懸索自由振動(dòng)。Srinil等[12]研究不限于較小垂跨比，并考慮軸向變形，研究了斜垂垂索大振幅三維自由振動(dòng)的非線性特性。陳皓等[13]考慮懸索垂度和幾何非線性，研究垂跨比改變對(duì)懸索1/3次諧波共振瞬時(shí)相頻特性的影響。

以上對(duì)索結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)的大量研究成果可為懸索橋的設(shè)計(jì)提供理論參考依據(jù)。但是，懸索的非線性動(dòng)力學(xué)特性與其初始構(gòu)型密切相關(guān)。而初始構(gòu)型又決定于加勁梁的重量。目前國(guó)內(nèi)外懸索橋加勁梁類型主要有鋼箱梁和鋼桁梁兩種[14]，據(jù)統(tǒng)計(jì)滿足不同荷載等級(jí)、跨徑要求的加勁梁重量差異較大，其中最小為6.15 t/m (美國(guó)麥基納克橋，鋼桁橋)，最大可達(dá)到29.24 t/m(日本彩虹大橋，鋼桁梁)。從施工過(guò)程來(lái)看[15]，懸索橋經(jīng)歷了空纜狀態(tài)、架設(shè)加勁梁、施加二期荷載等關(guān)鍵階段。這些階段的加勁梁重量差異顯著?？梢?jiàn)，不同懸索橋及不同施工階段由于加勁梁的重量差異可能導(dǎo)致截然不同的非線性動(dòng)力學(xué)特性[16-17]。

但是，目前就不同加勁肋重量下的非線性動(dòng)力學(xué)特性尚缺乏深入研究。現(xiàn)通過(guò)建立非線性動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)不同加勁梁重量下懸索的固有特性和面內(nèi)1∶1內(nèi)共振、面內(nèi)非線性響應(yīng)及其瞬時(shí)相頻特性等非線性動(dòng)力學(xué)特性開(kāi)展深入的研究。

1 力學(xué)模型與多尺度分析

1.1 基本假定

如圖1所示為兩端固定且受面內(nèi)分布外激勵(lì)的懸索簡(jiǎn)化模型。兩端點(diǎn)分別為O和B，跨度為l，跨中垂度為d。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB連線的方向?yàn)閤方向，重力加速度g的方向?yàn)閥方向，垂直于xy面向外的方向?yàn)閦方向，建立O-xyz坐標(biāo)軸。x、y、z方向?qū)?yīng)位移分別用u、w、v表示。并假設(shè)：①懸索的扭轉(zhuǎn)及剪切剛度足夠地小以至于可以忽略不計(jì)；②懸索只承受拉力；③懸索在振動(dòng)過(guò)程中的軸向應(yīng)變足夠小；④只考慮幾何非線性，而不考慮其他非線性。

圖1 懸索構(gòu)形Fig.1 Configuration of suspended cables

1.2 振動(dòng)方程建立

基于Hamilton變分原理可以得到懸索的非線性運(yùn)動(dòng)方程，設(shè)拉索以擬靜態(tài)方式進(jìn)行軸向振動(dòng)，并結(jié)合邊界條件，略去高階無(wú)窮小量，可得懸索無(wú)量綱控制方程[18]為

(1)

式(1)中：y′、w′、v′、y″、w″、v″均表示對(duì)x求導(dǎo)；w″、v″、w′、v′均表示對(duì)t求導(dǎo)；F為激勵(lì)幅值；Ω為外激勵(lì)頻率；θ為相位；x和t分別為空間、時(shí)間坐標(biāo)。

式(1)中采用的無(wú)量綱變換如下。

式中:m為懸索單位長(zhǎng)度質(zhì)量；cu、cw和cv分別為u、w和v方向的阻尼系數(shù)；H為懸索索力水平分力；E為懸索彈性模量；A為懸索截面面積；y為拉索在兩端支座等高。

在式(1)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮將加勁梁重量簡(jiǎn)化為均布荷載下的靜態(tài)構(gòu)型，即

(2)

式(2)中：g0為懸索沿x軸無(wú)量綱單位長(zhǎng)度質(zhì)量；g1為加勁梁沿梁長(zhǎng)的無(wú)量綱自重荷載集度；H1為懸索在均布荷載和自重共同作用下任意點(diǎn)的張力的水平分量。

1.3 離散化模型

在分布外激勵(lì)作用下，懸索振動(dòng)位移被認(rèn)為是由純模態(tài)振動(dòng)產(chǎn)生，利用分離變量法，令

(3)

式(3)中：Φwi、Φυi分別為懸索面內(nèi)、外振動(dòng)模態(tài)；qwi、qυi分別為懸索面內(nèi)、外振動(dòng)的廣義時(shí)間坐標(biāo)。

一般情況下，懸索高階頻率出現(xiàn)較少。為方便分析只截取面內(nèi)外1階，并僅計(jì)入面內(nèi)激勵(lì)。利用Galerkin方法離散化可得在分布面內(nèi)外激勵(lì)下懸索的無(wú)量綱控制方程[19]為

(4)

式(4)中：

1.4 攝動(dòng)分析

引入無(wú)量綱小參數(shù)ε，設(shè)qw=εqw，qυ=εqυ，A1=ε3A1，A2=ε3A2。并取阻尼系數(shù)項(xiàng)和面內(nèi)激勵(lì)項(xiàng)為O(ε2)階，采用多尺度法設(shè)解的形式為

(5)

同樣將式(4)代入式(3)中，并按照ε的冪次進(jìn)行整理，可以得到下列方程。

ε0：

(6)

ε1：

(7)

ε2：

(8)

在分析響應(yīng)時(shí)，引入無(wú)量綱調(diào)諧參數(shù)σ1和ρ1，設(shè)Ω=ωw+ε2σ1，ωv=ωw+ε2ρ1，消去長(zhǎng)期項(xiàng)，再設(shè)A1=(a1eiβ1)/2，A2=(a2eiβ2)/2，其中，a1、β1、a2、β2均為時(shí)間T2的函數(shù)，得到常微分方程組，然后該方程組分離實(shí)部與虛部可得

(9)

式(9)中：γ3=-β1+σ1T2+?;γ4=β2+ρ1T2-σ1T2-?;Δ=γ4+γ3;

(10)

將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系后，對(duì)應(yīng)的懸索面內(nèi)外振動(dòng)近似解為

(11)

2 不同加勁梁重量下的固有特性

為研究不同加勁梁重量下懸索的固有特性，將式(1)退化，僅保留其線性項(xiàng)，可得面內(nèi)線性自由振動(dòng)方程[20]為

(12)

考慮加勁梁重量狀態(tài)下的面內(nèi)正對(duì)稱頻率，設(shè)w(x，t)=φ(x)eiωw1t，代入式(12)可得

(13)

根據(jù)邊界條件可求得正對(duì)稱頻率方程為

(14)

反對(duì)稱頻率為

ωw1=nπ，n=2，4，6，…

(15)

由于面內(nèi)的反對(duì)頻率與懸索的加筋梁重量變化無(wú)關(guān)，但面內(nèi)正對(duì)稱頻率會(huì)與其有關(guān)。為此后續(xù)只考慮懸索在不同加勁梁重量狀態(tài)下對(duì)Irvine參數(shù)與正對(duì)稱頻率關(guān)系的影響變化。

如圖2所示為不同加勁梁重量下懸索無(wú)量綱頻率與Irvine參數(shù)的關(guān)系?？梢钥闯?，面內(nèi)正對(duì)稱頻率的變化與加勁梁重量變化呈反比關(guān)系，且兩者反比關(guān)系與Irvine參數(shù)呈強(qiáng)相關(guān)，在Irvine參數(shù)值較小時(shí)，面內(nèi)正對(duì)稱頻率隨著加勁梁重量增大而減小且減少數(shù)值較大；在Irvine參數(shù)值較大時(shí)，面內(nèi)正對(duì)稱頻率隨著加勁梁重量增大而減小且減少數(shù)值較小，后期都將趨于穩(wěn)定值；但加勁梁重量的變化對(duì)頻率和Irvine參數(shù)關(guān)系影響趨勢(shì)一致。

由圖2可知，隨著加勁梁重量的增大，各階面內(nèi)正對(duì)稱頻率與各階反對(duì)稱頻率的交叉點(diǎn)的位置會(huì)往右移動(dòng)，尤其對(duì)高階頻率的影響較大。面內(nèi)正對(duì)稱頻率與反對(duì)稱頻率交叉點(diǎn)附近被認(rèn)為是內(nèi)共振產(chǎn)生的區(qū)域，由此可以推斷懸索的內(nèi)共振將受懸索的加勁梁重量的影響。

圖2 不同加勁梁重量下的固有頻率Fig.2 Natural frequencies under different stiffening girder weight

進(jìn)一步，響應(yīng)幅值及相位也可能有較顯著的改變，因此，著重以案例分析的方式研究不同加勁肋重量下的內(nèi)共振、面內(nèi)響應(yīng)及其瞬時(shí)相頻特性。

3 案例分析

選取懸索橋的基本參數(shù)如下:單位長(zhǎng)度質(zhì)量m=4 052.4 kg/m，跨徑l=1 490 m，懸索截面積A=0.515 5 m2，彈性模量E=2.0×1011Pa，空纜狀態(tài)下水平索力H=8.353 435×107N，空纜狀態(tài)下垂度為d=135.362 m，考慮加勁梁重量狀態(tài)下水平索力H1=2.737 433×108N，取面內(nèi)外阻尼系數(shù)c=0.001，面內(nèi)分布外激勵(lì)的幅值F=0.001。

為了分析懸索面內(nèi)主共振引起面外1∶1內(nèi)共振特性，并比較不同加勁梁重量對(duì)懸索主共振響應(yīng)的影響。采用MATLAB編制計(jì)算程序，同時(shí)為驗(yàn)證上述近似解的正確性，利用Runge-Kutta法對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程直接進(jìn)行數(shù)值積分求解。

3.1 對(duì)內(nèi)共振幅頻響應(yīng)曲線的影響

為研究懸索在分布面內(nèi)外激勵(lì)下產(chǎn)生面內(nèi)主共振引起面外1∶1的內(nèi)共振，引入小攝動(dòng)量的無(wú)量綱調(diào)頻參數(shù)σ1和ρ1。通過(guò)調(diào)節(jié)σ1可對(duì)懸索所受面內(nèi)分布外激勵(lì)的頻率Ω進(jìn)行調(diào)頻處理，繪制了空纜狀態(tài)下懸索因面內(nèi)分布外激勵(lì)產(chǎn)生面內(nèi)主共振引起面外1∶1內(nèi)共振的幅頻響應(yīng)曲線，如圖3所示為懸索在面內(nèi)分布外激勵(lì)下，面內(nèi)主共振引起面外1∶1內(nèi)共振幅頻響應(yīng)曲線受加勁梁重量變化的影響，為研究簡(jiǎn)便，響應(yīng)僅考慮了面內(nèi)外的一階對(duì)稱模態(tài)幅值。

由圖3可知，隨著加勁梁重量的增加系統(tǒng)會(huì)明顯表現(xiàn)出從硬彈簧特性轉(zhuǎn)變?yōu)檐洀椈商匦浴．?dāng)懸索呈現(xiàn)硬彈簧特性時(shí)，面內(nèi)1階振動(dòng)響應(yīng)幅值隨著加勁梁重量的增大而增大，同時(shí)面內(nèi)1階振動(dòng)響應(yīng)的跳躍點(diǎn)的位置向面內(nèi)分布外激勵(lì)頻率減小的方向移動(dòng)；當(dāng)懸索呈現(xiàn)軟彈簧特性時(shí)，面內(nèi)1階振動(dòng)響應(yīng)幅值隨著加勁梁重量的增大而減小，同時(shí)面內(nèi)1階振動(dòng)響應(yīng)的跳躍點(diǎn)的位置仍然向面內(nèi)分布外激勵(lì)頻率減小的方向移動(dòng)；從圖3還可知，無(wú)論系統(tǒng)處于硬彈簧特性還是軟彈簧特性，加勁梁重量的變化對(duì)面外1階振動(dòng)響應(yīng)影響較小。

綜上，處于硬彈簧特性時(shí)面內(nèi)1階振動(dòng)幅值與加勁梁重量的大小呈正相關(guān)，當(dāng)系統(tǒng)處于軟彈簧特性時(shí)面內(nèi)1階振動(dòng)幅值與加勁梁重量的大小呈負(fù)相關(guān)，而面內(nèi)1階振動(dòng)的跳躍點(diǎn)的位置與加勁梁重量的大小呈負(fù)相關(guān)。

圖3 不同加勁梁重量下懸索的幅頻曲線Fig.3 Amplitude-frequency curves of suspended cable under different stiffening girder weight

3.2 對(duì)面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線的影響

由式(10)、式(11)可知，懸索面內(nèi)外響應(yīng)的幅值和面內(nèi)分布外激勵(lì)頻率有關(guān)，同時(shí)面內(nèi)外響應(yīng)幅值也與激勵(lì)頻率有關(guān)，為此研究同一激勵(lì)頻率下加勁梁重量變化對(duì)懸索響應(yīng)幅值的影響。主要采用多尺度法進(jìn)行攝動(dòng)求解，為分析因加勁肋重量改變幅頻曲線跳躍點(diǎn)對(duì)后續(xù)懸索響應(yīng)幅值的影響，通過(guò)調(diào)諧參數(shù)σ在-1.45～-1.35范圍內(nèi)循環(huán)，選定幅頻曲線圖中產(chǎn)生跳躍點(diǎn)時(shí)所需激勵(lì)頻率來(lái)進(jìn)行分析，因此分別取激勵(lì)頻率Ω為2.55和2.89對(duì)比其結(jié)果精確性，在后續(xù)的響應(yīng)時(shí)程曲線分析中其激勵(lì)頻率同上述取值。

圖4所示為四階龍格庫(kù)塔法求解的面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線與多尺度法求解的面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線在不同加勁梁重量下的對(duì)比圖，由于作為驗(yàn)證對(duì)比，工況一只取加勁肋重量g1為0 t/m，Ω為2.89；工況二取g1為25 t/m，Ω為2.55。對(duì)比可知，兩種方式求解下的面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線在周期性和振動(dòng)幅值上吻合良好。

如圖5所示為懸索在不同加勁梁重量下的面內(nèi)響應(yīng)曲線。其中圖5(a)表明，當(dāng)激勵(lì)頻率在Ω=2.55時(shí)，面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線的線形無(wú)較大變化，懸索的加勁梁重量發(fā)生改變對(duì)面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線振動(dòng)幅值有較大的影響，當(dāng)加勁梁重量g1為30 t/m時(shí)面內(nèi)振動(dòng)幅值最大為0.006 9；而當(dāng)不考慮加勁梁重量時(shí)，面內(nèi)振動(dòng)幅值為0.000 5，加勁梁重量g1為10 t/m時(shí)面內(nèi)振動(dòng)幅值為0.000 8，加勁梁重量g1為25 t/m時(shí)面內(nèi)振動(dòng)幅值為0.001 8。

再結(jié)合圖3(a)和圖3(b)可知，當(dāng)加勁梁重量g1在0～10 t/m范圍內(nèi)變化時(shí)，懸索幅頻曲線系統(tǒng)呈硬彈簧特性，且硬彈簧特性隨著加勁梁重量的增大而減弱，從而導(dǎo)致面內(nèi)振動(dòng)幅值增大，最后結(jié)合圖3(c)和圖3(d)得出，當(dāng)加勁梁重量g1在25～30 t/m范圍內(nèi)變化時(shí)，懸索幅頻曲線系統(tǒng)呈現(xiàn)軟彈簧特性，且軟彈簧特性隨著加勁梁重量的增大而增大，這樣原本會(huì)導(dǎo)致面內(nèi)振動(dòng)幅值隨著加勁梁重量的增大而減小，但從圖5(a)可以看出，加勁梁重量g1為25 t/m時(shí)，面內(nèi)振動(dòng)幅值要比加勁梁重量g1為30 t/m時(shí)小，再一次結(jié)合圖3(c)和圖3(d)可知，當(dāng)加勁梁重量g1為25 t/m時(shí)，在激勵(lì)頻率Ω=2.55下，面內(nèi)響應(yīng)發(fā)生了向下跳躍現(xiàn)象，從響應(yīng)幅值較大處跳躍到了響應(yīng)幅值較小處，但未越過(guò)向上的跳躍點(diǎn)，而加勁梁重量g1為30 t/m時(shí)，在激勵(lì)頻率Ω=2.55下不但越過(guò)了向下的跳躍點(diǎn)，還越過(guò)了向上的跳躍點(diǎn)從而導(dǎo)致面內(nèi)振動(dòng)幅值處于較大處。

圖4 龍格庫(kù)塔法和多尺度法對(duì)比圖Fig.4 Comparison between Runge-Kutta method and the method of multiple scales

圖5 懸索面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線隨加勁梁重量變化圖Fig.5 Time-history curves of in-plane response of suspended cable versus weight of stiffening girder

從圖5(a)中還可以發(fā)現(xiàn)，面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線也發(fā)生了漂移，其漂移程度受加勁梁重量的影響較大。由圖5(b)可知，在激勵(lì)頻率Ω=2.89時(shí)，當(dāng)懸索系統(tǒng)處于硬彈簧性質(zhì)時(shí)，面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程的幅值隨加勁梁重量的增大而增大，而懸索系統(tǒng)處于軟彈簧性質(zhì)時(shí)，面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程的幅值隨加勁梁重量的增大而減小，結(jié)合圖3可知，在此激勵(lì)下懸索的面內(nèi)響應(yīng)都未越過(guò)跳躍點(diǎn)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)此激勵(lì)下面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線的上下漂移值受不同加勁梁重量的影響較大。由圖5(a)和圖5(b)兩圖相比之下，面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線受面內(nèi)響應(yīng)跳躍點(diǎn)的位置影響較大，而由幅頻曲線圖可知跳躍點(diǎn)的位置受懸索的加勁梁重量影響較大。

綜上，面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線受加勁梁重量的影響較大，不僅影響響應(yīng)時(shí)程曲線的振動(dòng)幅值的大小，還會(huì)影響到面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線的漂移程度。為了進(jìn)一步研究加勁梁重量變化對(duì)懸索非線性振動(dòng)特性的影響，考慮取不同的激勵(lì)頻率會(huì)產(chǎn)生跳躍點(diǎn)，從而對(duì)懸索加勁梁重量變化影響較大，為此需要研究其對(duì)響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差的影響。

3.3 對(duì)瞬時(shí)相頻特性的影響

考慮不同加勁梁重量下初始構(gòu)型的面內(nèi)響應(yīng)時(shí)程曲線進(jìn)行Hilbert變換得到其瞬時(shí)相位，再把不同構(gòu)型下產(chǎn)生的響應(yīng)瞬時(shí)相位分別與相應(yīng)的激勵(lì)瞬時(shí)相位做差，得到響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差值ΔP?？紤]差值在[-π， π]變化，為便于分析和比較，并體現(xiàn)其一般性，故定義相位差的歸一化參數(shù)為

(16)

如圖6所示為當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=2.55時(shí)P的時(shí)程曲線及響應(yīng)復(fù)平面投影曲線圖，其中圖6(a)描述的是當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=2.55時(shí)，懸索不同加勁梁重量對(duì)面內(nèi)響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差的影響。結(jié)合圖5可知，當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=2.55，此時(shí)面內(nèi)響應(yīng)幅值較大，因此在激勵(lì)頻率Ω=2.55時(shí)只考慮了加勁梁重量g1為25 t/m和30 t/m時(shí)對(duì)面內(nèi)響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差P。

從圖6(a)可知，通過(guò)改變加載加勁梁重量大小從而改變懸索的初始構(gòu)型對(duì)P影響較大，不僅僅影響了P時(shí)程曲線的線形，還影響了P幅值的大小。當(dāng)g1=25 t/m時(shí)，懸索面內(nèi)響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差的時(shí)程曲線線形發(fā)生了較大變化，同時(shí)發(fā)現(xiàn)其P基本上是在-1～1附近波動(dòng)，且P出現(xiàn)了跳躍性。結(jié)合圖3(c)和圖3(d)可知，當(dāng)g1=25 t/m時(shí)面內(nèi)響應(yīng)還沒(méi)有越過(guò)上的跳躍點(diǎn)，但已越過(guò)向下的跳躍點(diǎn)，而一階解中響應(yīng)與激勵(lì)的初始相位差γ3其跳躍性與幅頻曲線跳躍性相反，在此激勵(lì)下γ3已經(jīng)越過(guò)向上跳躍點(diǎn)但未越過(guò)向下跳躍點(diǎn)，故此時(shí)γ3的數(shù)值將會(huì)大于π/2處于一個(gè)很大的數(shù)值處，從而影響P在-1～1附近波動(dòng)，同時(shí)P會(huì)出現(xiàn)跳躍性。

P0為響應(yīng)與激勵(lì)的初始瞬時(shí)相位差圖6 P的時(shí)程曲線及響應(yīng)復(fù)平面投影曲線圖 (Ω=2.55)Fig.6 Time history curves of P and complex plane projection curve of response (Ω=2.55)

從圖6(b)和圖6(c)還展示出了在此激勵(lì)頻率下不同加勁梁重量影響了面內(nèi)響應(yīng)復(fù)平面投影曲線軌跡值的大小，其主要原因結(jié)合圖3可知，在此激勵(lì)頻率下當(dāng)g1=25 t/m時(shí)懸索的面內(nèi)響應(yīng)已越過(guò)向下的跳躍點(diǎn)但未越過(guò)向上的跳躍點(diǎn)，故響應(yīng)幅值較小使得投影曲線的軌跡值較小，而當(dāng)g1=30 t/m時(shí)懸索的面內(nèi)響應(yīng)不僅越過(guò)了向下跳躍點(diǎn)還越過(guò)了向上跳躍點(diǎn)，故響應(yīng)幅值較大使得投影曲線的軌跡值較大；從圖6(b)和圖6(c)中可以看到不同加勁梁重量下懸索面內(nèi)響應(yīng)與激勵(lì)初始相位差相差較大，導(dǎo)致產(chǎn)生的原因主要是一階解中響應(yīng)與激勵(lì)的初始相位差γ3的數(shù)值大小不同，數(shù)值不同的原因是γ3隨激勵(lì)頻率變化的跳躍性與響應(yīng)隨激勵(lì)變化的跳躍性相反，當(dāng)響應(yīng)幅值向下跳躍時(shí)，其γ3會(huì)發(fā)生向上的跳躍，反之，當(dāng)響應(yīng)幅值向上跳躍時(shí)，其γ3會(huì)發(fā)生向下的跳躍，故在激勵(lì)頻率Ω=2.55下當(dāng)g1=25 t/m時(shí)響應(yīng)未越過(guò)向上的跳躍點(diǎn)，此時(shí)γ3也未越過(guò)向下跳躍點(diǎn)，使其數(shù)值大于π/2，且接近π，從而導(dǎo)致初始瞬時(shí)相位差較大。

如圖7所示為當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=2.89時(shí)P的時(shí)程曲線及響應(yīng)復(fù)平面投影曲線圖。其中圖7(a)描述的是當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=2.89時(shí)懸索在不同加勁梁重量下對(duì)面內(nèi)響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差的影響。從圖3可知，當(dāng)加勁梁重量g1為25 t/m和30 t/m時(shí)，結(jié)合圖5可知當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=2.89，此時(shí)面內(nèi)響應(yīng)幅值較??；而加勁梁重量g1為0 t/m和10 t/m時(shí)，結(jié)合圖5可知，當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=2.89，此時(shí)面內(nèi)響應(yīng)幅值較大，因此在激勵(lì)頻率Ω=2.89時(shí)只考慮了加勁梁重量g1為0 t/m和10 t/m時(shí)對(duì)面內(nèi)響應(yīng)與激勵(lì)的瞬時(shí)相位差P。對(duì)圖7(a)定性分析可知，當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=2.89，且加勁梁重量g1在0～10 t/m范圍內(nèi)變化時(shí)，P的時(shí)程曲線的形狀發(fā)生輕微的變化向右偏轉(zhuǎn)，同時(shí)也會(huì)發(fā)生整體向下移動(dòng)現(xiàn)象；從定量方面可知，P的時(shí)程曲線的向下漂移程度隨著加勁梁重量g1的增大而減小，從而使得g1=0 t/m時(shí)的瞬時(shí)相位差P的絕對(duì)值要大于g1=10 t/m時(shí)P的絕對(duì)值。

圖7 P的時(shí)程曲線及響應(yīng)復(fù)平面投影曲線圖(Ω=2.89)Fig.7 Time history curves of P and complex plane projection curve of response (Ω=2.89)

同樣截取三維曲線中一個(gè)振動(dòng)周期在復(fù)平面上的投影曲線對(duì)其進(jìn)一步分析，且復(fù)平面投影曲線中曲線上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的連線與橫坐標(biāo)正方向的夾角為該點(diǎn)的瞬時(shí)相位，如圖7(b)和圖7(c)中可知，當(dāng)激勵(lì)頻率為Ω=2.89時(shí)，懸索的面內(nèi)響應(yīng)復(fù)平面投影曲線軌跡值受加勁梁重量變化的影響較大，其復(fù)平面投影曲線軌跡值隨g1增大而增大，同時(shí)側(cè)面驗(yàn)證了當(dāng)g1在0～10 t/m范圍內(nèi)面內(nèi)響應(yīng)幅值隨g1增大而增大；同時(shí)還表明不同加勁梁重量對(duì)懸索面內(nèi)響應(yīng)復(fù)平面投影曲線圖的漂移值的大小有很大的差異，在此激勵(lì)頻率下g1=0 t/m時(shí)復(fù)平面投影曲線的漂移值更大，結(jié)合式(10)可知其漂移程度與系數(shù)C1響應(yīng)幅值a1以及固有頻率有關(guān)，而三者的數(shù)值大小都與懸索的初始構(gòu)型有關(guān)，而通過(guò)改變加勁梁重量會(huì)改變懸索初始構(gòu)型。因此，可通過(guò)改變懸索加勁梁重量改變?nèi)邤?shù)值大小影響，從而影響投影曲線的漂移程度。

4 結(jié)論

(1)懸索面內(nèi)正對(duì)稱頻率與加勁梁重量呈反比關(guān)系，主要取決于Irvine參數(shù)；隨著加勁梁重量的增大，各階面內(nèi)正對(duì)稱頻率與各階反對(duì)稱頻率的交叉點(diǎn)的位置會(huì)往Irvine參數(shù)值變大的方向變化，高階頻率更為顯著。

(2)懸索橋加勁肋重量不斷增加將使懸索的非線性特性由硬彈簧變?yōu)檐洀椈?。?dāng)懸索處于硬彈簧特性時(shí)，面內(nèi)1階振動(dòng)幅值與加勁梁重量的大小呈正相關(guān)；當(dāng)系統(tǒng)處于軟彈簧特性時(shí)，面內(nèi)1階振動(dòng)幅值與加勁梁重量的大小呈負(fù)相關(guān)。

(3)當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=2.55時(shí)，懸索橋的加勁肋重量會(huì)影響面內(nèi)響應(yīng)復(fù)平面投影曲線軌跡值的大小，其投影曲線軌跡值與因加勁梁重量變化的響應(yīng)幅值的呈正比。此外，瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線向下漂移程度隨著加勁梁重量的增大而減小。當(dāng)Ω=2.89時(shí)其投影曲線軌跡值隨加勁梁重量的增大而增大。