楊荔賢 余 俊

（阿壩師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 阿壩 623000）

0 引言

維修模型經(jīng)常使用的準(zhǔn)則有3個：①維修費用、不能工作時間和維修時間最小化；②收入、利潤和可用性最大化；③達(dá)到要求的可靠性和安全性水平。在開展維修活動時，可能基于一項或多項準(zhǔn)則，使用單一的最優(yōu)化準(zhǔn)則建立起來的最優(yōu)預(yù)防維修模型已無法滿足現(xiàn)實需求，經(jīng)常要根據(jù)不同的需求和資源限制來作出不同的決策。金燕生等［1］研究兩個不同型部件的冷貯備系統(tǒng)的預(yù)防維修策略，在一般分布情況下利用補(bǔ)充變量法，求出系統(tǒng)首次故障前的平均時間和可靠度。程曉絢等［2］在幾何過程理論的基礎(chǔ)上，考慮工作時間受限的情況，提出單部件可修系統(tǒng)的最優(yōu)更換策略。利用更新過程理論，計算出平均可用度、平均故障頻度等，并給出系統(tǒng)的期望效益函數(shù)。高俏俏等［3］研究了一種可修系統(tǒng)的維修策略，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時，修理設(shè)備對其進(jìn)行維修。利用更新過程和幾何過程理論，可計算出系統(tǒng)長期運行后的單位時間內(nèi)的期望費用。劉勤明等［4］以設(shè)備維修能力為約束條件，對庫存緩沖區(qū)的多目標(biāo)設(shè)備維修問題進(jìn)行研究，在準(zhǔn)更新過程的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出設(shè)備的隨機(jī)故障次數(shù)，以最大設(shè)備可用度和最小生產(chǎn)總成本為目標(biāo)，構(gòu)建出不完美預(yù)防維修模型，并利用粒子群算法得到更新周期內(nèi)的庫存量和預(yù)防維修周期兩個決策變量的最優(yōu)值。劉學(xué)娟［5］利用加速失效時間模型和基本隨機(jī)回歸系數(shù)模型，在考慮協(xié)變量的影響下，建立模型來分析設(shè)備的退化過程，針對退化過程設(shè)置兩類更新閾值，一類是預(yù)防性維修更新閾值，另一類是故障更新閾值。運用更新回報定理，對兩類更新周期內(nèi)的單位時間期望維修費用進(jìn)行建模，并對模型進(jìn)行求解，可得設(shè)備的最優(yōu)監(jiān)測區(qū)間和最優(yōu)預(yù)防性維修閾值。Paprocka［6］研究了具有截斷正態(tài)分布故障率的預(yù)測維修策略，生產(chǎn)任務(wù)的優(yōu)化是通過選取的參數(shù)估計方法來比較不同作業(yè)車間調(diào)度問題的描述擾動，基于最大似然估計法能更準(zhǔn)確地預(yù)測調(diào)度問題。

綜上所述，已有的大部分研究只是對維修策略中只有一個因素的單目標(biāo)或由兩個因素組成的多目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，并采用智能優(yōu)化算法求解模型，且對考慮因素的數(shù)學(xué)表達(dá)式大部分沒有推導(dǎo)過程。本研究利用更新極限定理，來推導(dǎo)出系統(tǒng)長期運行后單位時間期望維修費用、平均可靠度和穩(wěn)態(tài)可用度，并運用極大模理想點法建立關(guān)于這三個目標(biāo)和一個決策變量，即預(yù)防維修周期的多目標(biāo)最優(yōu)化模型，并結(jié)合算例給出求解過程。

1 更新報酬過程和更新極限定理

更新報酬過程［7］如下所示：{N(t),t≥0}是由非負(fù)隨機(jī)變量X1,X2,……所產(chǎn)生的更新過程，假設(shè)Y n是第n個更新壽命X n中的報酬，且{(X n,Y n),n≥1}獨立同分布。令為(0,t]時間內(nèi)的總報酬，則稱{Y(t),t≥0}為更新報酬過程。

更新極限定理［7］如式（1）所示。

若E Y n和EX n有限，則

更新極限定理說明了對長時間運行后求得的期望平均報酬等于一個周期內(nèi)得到的期望報酬除以該周期的期望時間。

1.1 基本模型及假設(shè)

假設(shè)部件的壽命分布函數(shù)為Φ(t)，當(dāng)部件突發(fā)故障時對其進(jìn)行小修，小修時間Y m服從一般分布，其均值為βm，部件經(jīng)小修后，能夠正常工作，且部件年齡不變。當(dāng)累計工作時間達(dá)到部件的指定年齡T時，需要對部件進(jìn)行預(yù)防維修，預(yù)防維修時間Y p，其服從均值為βp的一般分布，經(jīng)過預(yù)防維修后的部件恢復(fù)初始狀態(tài)，并能立即正常工作。故障小修每次費用為cm，預(yù)防維修每次費用為c p，(0,t]時間內(nèi)的期望工作時間為M T，(0,t]時間內(nèi)的期望維修費用為M C，(0,t]時間內(nèi)的期望可靠度為M R；長期運行單位時間的期望維修費用為，t時刻的瞬時可用度為A(t)，極限平均可用度為，穩(wěn)態(tài)可用度為，失效率為γ(t)。在部件工作時間T內(nèi)，發(fā)生故障的平均次數(shù)為m(T)，可靠度函數(shù)為R(t)，平均可靠度為。

假設(shè)小修時間、預(yù)防維修時間及部件壽命等因素相互獨立。

再生點為部件的預(yù)防維修結(jié)束時刻，假設(shè)兩個相鄰的預(yù)防維修結(jié)束時刻之間的時間差是一個周期。很顯然，各周期獨立同分布，并形成一個更新過程，因此可運用更新極限定理來推導(dǎo)相關(guān)表達(dá)式［8］。本研究是要求最優(yōu)的累計工作時間T（即預(yù)防維修周期T），使其能滿足多項準(zhǔn)則的最優(yōu)化問題。部件的可能發(fā)展進(jìn)程見圖1。

圖1 部件的可能發(fā)展進(jìn)程

由上述分析可知，壽命的概率密度為Φ'()t，可得部件的失效率，見式（2）。

在部件工作時間T內(nèi)，發(fā)生故障平均次數(shù)見式（3）。

即周期長為=T+Y p+Y m·m(T)，平均周期長為T+βp+βm·m(T)。

1.2 穩(wěn)態(tài)可用度、長期運行單位時間的期望維修費用和平均可靠度的推導(dǎo)過程

若將工作時間看成其所在周期內(nèi)的報酬，則(0,t]時間內(nèi)的期望工作時間可看成(0,t]時間內(nèi)的總報酬，更新極限定理見式（4）。

這里將可靠度看成其所在周期內(nèi)的報酬，則(0,t]時間內(nèi)的期望可靠度可看成(0,t]時間內(nèi)的總報酬，更新極限定理見式（8）。

運用更新極限定理可得這三個指標(biāo)的表達(dá)式與能夠反映長期運行的系統(tǒng)性能，綜合考慮這三個因素來確定最優(yōu)預(yù)防維修周期T將更加符合實際。

2 極大模理想點法建立多目標(biāo)預(yù)防維修最優(yōu)化模型

將公式（4）（5）（8）按照穩(wěn)態(tài)可用度極大、長期運行單位時間的期望維修費用極小和平均可靠度極大準(zhǔn)則，建立包含三個目標(biāo)和一個決策變量，即預(yù)防維修周期T的多目標(biāo)最優(yōu)化模型，見式（9）。

針對多目標(biāo)函數(shù)問題的求解，先分別求解出每一個分目標(biāo)函數(shù)的極小值，各目標(biāo)函數(shù)在接近其極小值時，即取得理想點，從而獲得多目標(biāo)函數(shù)的解。為了體現(xiàn)各目標(biāo)在問題中的重要程度不同，及各目標(biāo)對最優(yōu)預(yù)防維修周期T的影響，本研究采用理想點法中極大模理想點法［9］來求解上面多目標(biāo)問題。

在進(jìn)行統(tǒng)一量綱處理后，各分量目標(biāo)函數(shù)記為F i(T)，i=1,2,3，F(xiàn)(T)=(F1(T),F2(T),F3(T))，并求得，i=1,2,3，則F*=(F1*,F2*,F3*)為模型的理想點。

理想點法就是將目標(biāo)與理想點之間的“距離”‖F(xiàn)(T)-F*‖作為評價函數(shù)，所以問題就轉(zhuǎn)化為求解 數(shù) 值 極 小 化 問 題，其 中‖F(xiàn)(T)-F*‖為向量F(T)-F*的模。極大模理想點法就是采用作為評價函數(shù)求解模型。于是，將問題轉(zhuǎn)化為式（10）所示的等價輔助問題。

運用極大模理想點法求解模型的計算步驟如下所示。

①統(tǒng)一各分量目標(biāo)函數(shù)的量綱。取適當(dāng)?shù)恼龜?shù)α分別加入各分量目標(biāo)函數(shù)，得到新的各分量目標(biāo)函數(shù)：f i(T)+α＞0,?T≥0,i=1,2,3；計算T≥0時各分量目標(biāo)函數(shù)的極小值,以函數(shù)作為新的分量目標(biāo)函數(shù)。

③檢驗理想點。當(dāng)T*1=T*2=T*3時，絕對最優(yōu)解T*=T*1，停止計算。否則轉(zhuǎn)步驟④。

④給出正權(quán)數(shù)。λ1,λ2,λ3＞0，且（注意要求所有λi＞0）。

⑤求解輔助非線性規(guī)劃問題（10），得最優(yōu)解（T*,ω*），輸出T*。

3 算例分析

假設(shè)某部件的壽命服從η=4×10-4（尺度參數(shù)）、β=2（形狀參數(shù)）的威布爾分布。經(jīng)小修后，部件恢復(fù)工作，但修復(fù)后部件的年齡不變，故障小修時間Y m的均值βm=1 h。另外，當(dāng)該部件的累計工作時間達(dá)到指定年齡T時，對部件需要進(jìn)行預(yù)防維修，預(yù)防維修完成后，部件恢復(fù)如新，并立即進(jìn)入工作狀態(tài)，預(yù)防維修時間Y p的均值βp=5 h。每次預(yù)防維修的費用c p=1 000元，每次故障小修的費用cm=100元。為使穩(wěn)態(tài)可用度極大、長期運行單位時間的期望維修費用極小和平均可靠度極大，求取最優(yōu)的預(yù)防維修周期T*（單位：h）。

首先，該算例中相鄰兩個預(yù)防維修結(jié)束時刻之間的時間構(gòu)成一個更新過程。威布爾分布的壽命分布函數(shù)是所以，可靠度，故障率即部件工作時間T內(nèi)發(fā)生故障的平均次數(shù)為m(T)=；平 均 周 期

根據(jù)公式（9）建立多目標(biāo)最優(yōu)化模型，見式（11）。

根據(jù)極大模理想點法求解公式（11），步驟如下。

①統(tǒng)一各分量目標(biāo)函數(shù)量綱。各分量目標(biāo)函數(shù)f1(T)、f2(T)、f3(T)分別加1（各分量的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閒 i(T)+1＞0,?T≥0,i=1,2,3），求f i(T)+1在T≥0上的極小值(i=1,2,3)：0.020 5，并由，i=1,2,3來構(gòu)造新的分量目標(biāo)函數(shù)，見式（12）。

③檢驗理想點。因為T*1≠T*2≠T*3，所以轉(zhuǎn)步驟④。

④給出正權(quán)數(shù)。λ1,λ2,λ3＞0，且=（1注意要求所有λi＞0）。

⑤根據(jù)式（10）構(gòu)造輔助非線性規(guī)劃問題，由式（12）（13）可得非線性規(guī)劃問題（14）。

分別代入幾組不同的權(quán)重來求解非線性規(guī)劃問題（14），輸出T*。

首先每個權(quán)重的改變對最優(yōu)結(jié)果產(chǎn)生的影響較大，當(dāng)代表穩(wěn)態(tài)可用度的λ1和代表維修費用的λ2在三個權(quán)重中最大時，所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期都較大；當(dāng)代表平均可靠度的λ3在三個權(quán)重中最大時，所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期都較小。這是因為部件在長期運行過程中，若考慮穩(wěn)態(tài)可用度，即要保證部件處于正常狀態(tài)的時間比例大，則不宜經(jīng)常維修；若考慮維修費用，要讓部件維修費用較小，顯然也不易經(jīng)常維修；若考慮平均可靠度，則要避免部件失效才能保證較高的平均可靠度，通過較頻繁的預(yù)防維修可實現(xiàn)這一目的。所以，當(dāng)三個目標(biāo)同時考慮，且穩(wěn)態(tài)可用度或維修費用所占權(quán)重又較大時，所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期就會較大；當(dāng)三個目標(biāo)同時考慮，且平均可靠度所占權(quán)重又較大時，所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期就會較小。當(dāng)穩(wěn)態(tài)可用度的權(quán)重相同，增大平均可靠度的權(quán)重時（因λ1+λ2+λ3=1，所以此時代表維修費用的權(quán)重λ2逐漸減小），明顯可看出所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期就變小；當(dāng)維修費用的權(quán)重相同，增大穩(wěn)態(tài)可用度的權(quán)重時（因λ1+λ2+λ3=1，所以此時代表平均可靠度的權(quán)重λ3逐漸減?。黠@可看出所得的最優(yōu)預(yù)防維修周期就變大。

在系統(tǒng)長期運行的過程當(dāng)中，需要根據(jù)不同的需求和資源限制作出不同的決策時，可以運用本研究的方法調(diào)整相關(guān)因素的權(quán)重來得到滿意的結(jié)果。