王雯琦, 江登英

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院, 湖北 武漢 430070)

0 引 言

多屬性群決策(multi-attribute group decision-making, MAGDM)是現(xiàn)代決策理論的重要組成部分,1986年Atanassov提出了直覺模糊集(intuitionistic fuzzy sets, IFS)的概念。隨后,學(xué)者對IFS進(jìn)行了深入的研究,并取得了一定的成就。由于實(shí)際決策問題的復(fù)雜性和人類思維的模糊性,決策者更傾向于使用自然語言來描述信息,因此Zadeh提出了語言術(shù)語集(linguistic term sets, LTS)。然而,考慮到在某些情況下,單一地使用IFS或語言變量并不能完全表達(dá)決策者的觀點(diǎn),Chen等提出語言直覺模糊數(shù)(linguistic intuitionistic fuzzy numbers, LIFNs)的概念,將隸屬度和非隸屬度用語言變量表示,在直觀上可以看成是IFS的定性形式。因LIFNs具有LTS和IFS的優(yōu)點(diǎn),故在處理不確定性和模糊性決策問題時更加靈活和實(shí)用。作為處理不確定性的強(qiáng)大信息表達(dá)工具,LIFNs已引起越來越多學(xué)者的關(guān)注。

Chen等研究了LIFNs的運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì),并給出得分函數(shù)和精確函數(shù)來比較大小;針對Chen等運(yùn)算規(guī)則的缺陷,Liu等提出改進(jìn)的運(yùn)算規(guī)則,并驗(yàn)證了它們的性質(zhì);Li等引入減法和除法運(yùn)算,擴(kuò)展了運(yùn)算規(guī)則,同時定義了LIFNs的熵來確定屬性權(quán)重;Zhang等定義了LIFNs的距離公式;Peng等定義了LIFNs的海明距離公式;Meng等引入可加一致性的概念,提出基于語言直覺模糊偏好關(guān)系的多屬性決策方法;朱小強(qiáng)提出LIFNs的可能度排序方法,并將其應(yīng)用到MAGDM問題中。

關(guān)于基于LIFNs的集結(jié)算子,也是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)之一。Chen等提出語言直覺模糊加權(quán)平均算子、語言直覺模糊有序加權(quán)平均算子和語言直覺模糊混合平均算子;柳溪提出基于LIFNs的廣義集成算子、冪平均算子等;Liu等考慮到分區(qū)Heronian mean(HM)算子具有考慮參數(shù)之間相互關(guān)系的優(yōu)點(diǎn),將LIFNs與分區(qū)HM算子相結(jié)合;Liu等將Maclaurin symmetric mean(MSM)算子與LIFNs結(jié)合在一起,提出一些新的算子;Garg等用SPA理論對語言直覺模糊集(linguistic intuitionistic fuzzy set, LIFS)進(jìn)行了改進(jìn),定義了語言連接數(shù)(linguistic connection number, LCN)及其各種運(yùn)算規(guī)律,并提出了LCN加權(quán)幾何算子、LCN有序加權(quán)幾何算子和LCN混合幾何算子,克服了現(xiàn)有算子在LIFS環(huán)境下的不足;Liu等提出了一種基于LIFNs的縮放優(yōu)先加權(quán)平均算子和縮放優(yōu)先級幾何加權(quán)平均算子;Arora等提出了在LIFNs環(huán)境下考慮屬性之間優(yōu)先關(guān)系的優(yōu)先聚合算子。

關(guān)于基于LIFNs的多屬性決策方法,Li等提出擴(kuò)展的VIKOR方法來處理基于語言直覺模糊信息的多屬性決策問題;Liu等提出基于LIFNs的拓展TODIM多屬性決策方法;劉培德等根據(jù)可能度公式給出基于LIFNs的改進(jìn)ELECTRE方法;Liu等提出了一種基于證據(jù)理論的語言直覺模糊MAGDM方法。

在對于LIFNs的進(jìn)一步探究中,Liu等和Garg等提出了語言區(qū)間IFS的概念,其中隸屬度和非隸屬度由區(qū)間值語言項(xiàng)表示,并定義運(yùn)算規(guī)則及比較方法。劉利枚等提出了語言區(qū)間直覺模糊 Frank 加權(quán)平均算子與幾何算子以及 Lukasiewicz運(yùn)算法則并應(yīng)用到應(yīng)急物流預(yù)案中。

綜上可知,現(xiàn)有文獻(xiàn)對LIFNs相關(guān)問題進(jìn)行了深入研究,但關(guān)于LIFNs可能度的計算公式缺乏合理性,現(xiàn)有文獻(xiàn)人為給定屬性和決策者權(quán)重以及語言直覺模糊MAGDM問題的決策方法并未涉及到對備選方案優(yōu)劣性的討論,這些問題都會導(dǎo)致決策結(jié)果產(chǎn)生偏差。因此,本文首先基于Atanassov偏序和猶豫度改進(jìn)LIFNs的可能度,基于改進(jìn)的可能度提出決策者屬性的確定方法；然后建立共識反饋模型,修正不一致決策者的偏好關(guān)系以提高群體共識度,基于修正后的偏好關(guān)系和決策者主觀權(quán)重,提出修正系數(shù)確定決策者權(quán)重；最后提出一種基于改進(jìn)的可能度和偏好順序結(jié)構(gòu)評估法(preference ranking organization method for enrichment evaluations, PROMETHEE)的語言直覺模糊MAGDM方法。

1 預(yù)備知識

1.1 LIFS

設(shè)為一個非空論域,是給定論域中的元素,={[,(),()]∈}為上的IFS,(),()∈[0,1]且()+()∈[0,1],(),()為其隸屬度和非隸屬度,稱()=1-()-()為其猶豫度。

設(shè)=(,),=(,)是兩個直覺模糊數(shù),Atanassov偏序滿足以下關(guān)系:

(1) 若≥,<或<,≤,則>;

(2) 若=,=,則=;

(3) 若>,>,則,無法比較。

設(shè)={,,,…,}是一個給定的有序語言項(xiàng)集,表示語言變量的可能取值,取自然數(shù)。滿足以下性質(zhì):

(1) 有序性:若≤,則≤;

(2) 可逆性:neg()=-;

(3) 取大算子:若≤,則=max(,);

(4) 取小算子:若≤,則=min(,)。

設(shè)=(,),=(,)為兩個LIFNs,如果≥且≤,那么≥,當(dāng)且僅當(dāng)=且=時,=。

設(shè)定義在集合={,,…,}上的偏好關(guān)系由一個判斷矩陣=()×表示,對于?,∈{1,2,…,}滿足∈[0,1]且+=1。其中,表示優(yōu)于的程度,=05。

1.2 可能度公式

設(shè)=(,),=(,)是兩個直覺模糊數(shù),=1--,=1--,當(dāng),不全為0時,稱

(1)

為>的可能度。

若(>)=(>)=05,則稱無差異于,記為～;

設(shè)=(,),=(,),=(,)為3個直覺模糊數(shù),滿足下面性質(zhì):

(1) 0≤(>)≤1;

(2)(>)=05當(dāng)且僅當(dāng)=;

(3) 互補(bǔ)性:(>)+(>)=1;

(4) 傳遞性:若(>)≥05,(>)≥05,則(>)≥05。

=(,),=(,)是兩個直覺模糊數(shù),其可能度定義如下:

(2)

=(,),=(,)是兩個直覺模糊數(shù),其可能度定義如下:

(3)

式中:=05(-)(+2-),=(-),=(-),=05(-)(+2-)。

設(shè)=(,),=(,)為兩個LIFNs,其可能度定義如下:

(4)

設(shè)=(,),=(,)為兩個LIFNs,其可能度定義如下:

(5)

1.3 PROMETHEE

PROMETHEE是一種基于“優(yōu)先關(guān)系”的多屬性決策方法,其基于方案的兩兩比較,充分考慮了決策者對屬性的偏好情況,使得評價結(jié)果更具有說服力。在備選方案集中構(gòu)建不完全(PROMETHEE Ⅰ)序或完全(PROMETHEE Ⅱ)序,該方法主要步驟如下:

(1) 構(gòu)建評估函數(shù)矩陣。設(shè)={,,…,}為方案集,,,…,為屬性集={,,…,}的評估函數(shù),將集合中的評估方案的評估值映射到當(dāng)中,即

(6)

(2) 確定偏好函數(shù)。定義在屬性下方案優(yōu)于的程度為(,)。

(3) 確定優(yōu)先指數(shù)。多屬性優(yōu)先指數(shù)定義如下:

(7)

式中：≠；(=1,2,…,)為屬性的權(quán)重；(,)是綜合所有屬性下對方案和之間偏好程度的描述,其取值在[0,1]之間。

(4) 計算備選方案的流出流量、流入流量以及凈流量。

流出流量:

(8)

流入流量:

(9)

凈流量:

()=()-()

(10)

式中：≠,()表示方案比其他備選方案級別更優(yōu)先的程度,其值越大說明級別優(yōu)先度越強(qiáng);()表示其他備選方案比方案級別更優(yōu)先的程度,其值越小說明的優(yōu)先關(guān)系越強(qiáng)。

(5) 根據(jù)方案凈流值的大小對方案進(jìn)行排序。

2 基于改進(jìn)的可能度和PROMETHEE的語言直覺模糊MAGDM方法

基于LIFNs的MAGDM問題,首先改進(jìn)可能度公式;其次根據(jù)改進(jìn)的可能度,建立線性規(guī)劃模型來計算每個決策者的屬性權(quán)重;然后建立反饋模型平衡群體共識,提出修正系數(shù)確定決策者的權(quán)重;最后提出一種基于改進(jìn)的可能度和PROMETHEE的語言直覺模糊MAGDM方法。

2.1 改進(jìn)的可能度公式

在語言直覺模糊環(huán)境下,學(xué)者們對可能度進(jìn)行了研究,并提供了很好的思路。但是,現(xiàn)有的可能度還存在不足和不合理之處。

對文獻(xiàn)[5],其可能度計算結(jié)果會違反直覺模糊值的偏序。例如,=(05,03),=(01,04)為兩個直覺模糊數(shù),根據(jù)Atanassov偏序可知,由于>和<,因此>完全成立,即(>)=1。而根據(jù)式(1)計算可得(>)=0875。故文獻(xiàn)[5]的可能度不滿足Atanassov偏序。同理,文獻(xiàn)[6]的可能度計算結(jié)果也不滿足Atanassov偏序。

對文獻(xiàn)[7],其直覺模糊數(shù)在二維坐標(biāo)系中表示,但是可能度僅計算了可與作比較、無法與作比較的面積,以及可與作比較、無法與作比較的面積,并未將無法與、同時作比較的情況考慮在內(nèi),這無疑會造成數(shù)據(jù)缺失。

對文獻(xiàn)[15],其可能度雖結(jié)合了Atanassov偏序,但是計算結(jié)果會違背可能度的性質(zhì)(2)。例如,=(,),=(,),=(,)為3個LIFNs,其計算結(jié)果為(>)=05,表明與是等價的。但的猶豫度小于的猶豫度,即所提供的信息可靠性大于提供的信息可靠性?？紤]到的隸屬度大于的隸屬度,直觀上我們認(rèn)為大于的可能性更大。因此,認(rèn)為與等價是不合理的。

對文獻(xiàn)[23],其可能度計算結(jié)果也會違背可能度的性質(zhì)。針對上述例子,利用式(5)計算結(jié)果為(>)=075和(>)=-025,即(>)為兩個值以及可能度存在負(fù)值,這顯然違背了可能度的性質(zhì)(1),而且計算結(jié)果顯示(>)=05,這也不滿足可能度的性質(zhì)(2)。

上述文獻(xiàn)提出的可能度公式雖然有不合理之處,但是卻提供了很好的研究思路,其中文獻(xiàn)[7]將直覺模糊值拓展到二維直角坐標(biāo)系,文獻(xiàn)[15]結(jié)合了Atanassov偏序,因此本文在文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上,提出了改進(jìn)的可能度公式。

下面將LIFNs在二維平面直角坐標(biāo)系中表示,具體如圖1所示。任何一個LIFNs=(,)均可用圖1的三角形中的任意點(diǎn)表示,其中(,0)、(0,0)、(0,)。

如圖1所示,以點(diǎn)=(,)為中心,可以將三角形劃分為8個區(qū)域,即右下部分記為,左上部分記為,左下部分、分別記為、,右上部、分別記為、,線段記為,線段記為。

圖1 LIFNs的幾何表示Fig.1 Geometric representation of LIFNs

為比較=(,),=(,),以點(diǎn)=(,)為中心,當(dāng)點(diǎn)在以為中心的區(qū)域時,根據(jù)Atanassov偏序可知>,即(>)=1。當(dāng)點(diǎn)在為中心的區(qū)域時,由Atanassov偏序可知<,即(>)=0。當(dāng)點(diǎn)在以為中心的區(qū)域、、、、、時,根據(jù)Atanassov的偏序無法比較與的大小。但當(dāng)點(diǎn)在以為中心的區(qū)域,即>和>且-≠-時,根據(jù)--<1,通過計算(-)(-)的反正切值可以計算得出其可能度。同理,當(dāng)點(diǎn)在以為中心的區(qū)域、、時,我們都可以計算出其可能度。當(dāng)點(diǎn)在以為中心的區(qū)域,即>和>且-=-時,(-)(-)=1,根據(jù)(-)(-)的比值計算所得的結(jié)果為(>)=12,從而判斷與是等價的,這不滿足可能度的性質(zhì)。所以,考慮到LIFNs的猶豫度,我們認(rèn)為所提供的信息可靠性大于,通過計算和的猶豫度,進(jìn)而得出可能度。同理,當(dāng)點(diǎn)在以為中心的區(qū)域時,也可以利用猶豫度計算求得可能度。

綜上,本文通過將LIFNs在二維直角坐標(biāo)系中表示,將其隸屬度、非隸屬度和猶豫度3個維度加以考慮,再結(jié)合Atanassov偏序,提出了改進(jìn)的可能度公式,定義如下。

設(shè)=(,),=(,)為兩個LIFNs,其可能度公式為

(11)

為驗(yàn)證定義12中提出的可能度公式的合理性,下面采用文獻(xiàn)[9]的例子進(jìn)行比較分析。

采用文獻(xiàn)[5-7,15,23]以及本文的可能度公式分別對=(,)、=(,)、=(,)、=(,)這4個LIFNs進(jìn)行計算,結(jié)果如表1所示。

表1 現(xiàn)有可能度與本文可能度計算結(jié)果的對比分析

從表1可以看出,文獻(xiàn)[5-6]的計算結(jié)果不滿足Atanassov偏序;文獻(xiàn)[23]的計算結(jié)果超出[0,1]范圍,且同時出現(xiàn)兩個可能度,不滿足可能度的性質(zhì);文獻(xiàn)[7,15]很好地避免了文獻(xiàn)[5-6,23]出現(xiàn)的問題,但文獻(xiàn)[7]的計算方法會造成數(shù)據(jù)缺失,文獻(xiàn)[15]的可能度公式將LIFNs轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù),而區(qū)間數(shù)的可能度僅考慮了區(qū)間數(shù)的端點(diǎn),未考慮區(qū)間數(shù)的可能度分布情況,因此會得到一些不符合邏輯的結(jié)果,導(dǎo)致決策結(jié)果產(chǎn)生偏差。而本文提出的可能度公式計算結(jié)果避免了上述問題,在考慮猶豫度和Atanassov偏序的基礎(chǔ)上減少了信息損失,可以更客觀地比較LIFNs的大小。

綜上可知,與現(xiàn)有的可能度計算公式相比,本文提出的可能度公式更符合主觀判斷,在滿足Atanassov偏序的同時將猶豫度考慮在內(nèi),從而增加可能度計算的可靠性。因此，本文所改進(jìn)的可能度公式在理論上是可行的,而且可證其滿足可能度的良好性質(zhì),即定理3。

設(shè)=(,),=(,),=(,)為3個LIFNs,根據(jù)定義11計算的可能度具有以下性質(zhì):

(1) 0≤(>)≤1;

(2)(>)+(>)=1;

(3)(>)=1,>,≤或≥,<;

(4)(>)=05,=,=;

(5)(>)=0,<,≥或≤,>;

(6)(>)≥05?位于的,,,區(qū)域;

(7) 若(>)≥05,(>)≥05,則(>)≥05。

根據(jù)定義12,定理3中的性質(zhì)(1)～(5)顯然成立,下面首先證明性質(zhì)(6)。

一方面,證明必要性:當(dāng)位于的區(qū)域時,≥且≤,根據(jù)Atanassov偏序可知(>)=1,即(>)≥05;當(dāng)位于的區(qū)域時,<,<且(-)(-)>05,利用式(11),計算可得(>)≥05;當(dāng)位于的區(qū)域時,>,>,且(-)(-)<05,利用式(11),計算可得(>)≥05;當(dāng)位于的區(qū)域時,-=-,利用式(11),計算可得(>)≥05。

另一方面,證明充分性:當(dāng)(>)≥05時,根據(jù)定義12的條件1、2可知≥且≤,即在圖1中位于的區(qū)域;根據(jù)定義12的條件4可知此時arctan(-)(-)≥π4,(-)(-)≥05且<,<,即在圖1中位于的區(qū)域;根據(jù)定義12的條件5可知此時arctan(-)(-)≤π4,(-)(-)≤05且>,>,即在圖1中位于的區(qū)域;根據(jù)定義12的條件6可知--<--且-=-,等價于到線段的距離小于到線段的距離,即在圖1中位于的區(qū)域。

綜上所述,性質(zhì)(6)得證。

然后下面證明性質(zhì)(7)。

(>)≥05等價于位于的、、、區(qū)域,分別記為、、、。下面分4種情況討論:

當(dāng)點(diǎn)位于以為中心的區(qū)域時,如圖2所示。以為中心繼續(xù)劃分區(qū)域,此時(>)≥05有7種情況,分別記為、、、、、、,其中位于以為中心的區(qū)域,、、位于以為中心的區(qū)域,、位于以為中心的區(qū)域,位于以為中心的區(qū)域。由此,根據(jù)性質(zhì)(6)得到(>)≥05,因此在這種情況下性質(zhì)(7)得證。

圖2 情況1點(diǎn)γ21的位置 Fig.2 Position of point γ21 in case 1

當(dāng)點(diǎn)位于以為中心的區(qū)域時,如圖3所示。以為中心繼續(xù)劃分區(qū)域,此時(>)≥05有7種情況,分別記為、、、、、、,其中、、、位于以為中心的區(qū)域,、位于以為中心的區(qū)域,位于以為中心的區(qū)域,根據(jù)性質(zhì)(6)得到(>)≥05。因此在這種情況下性質(zhì)(7)得證。

圖3 情況2點(diǎn)γ22的位置Fig.3 Position of point γ22 in case 2

當(dāng)點(diǎn)位于以為中心的區(qū)域時,如圖4所示。以為中心繼續(xù)劃分區(qū)域,此時(>)≥05有7種情況,分別記為、、、、、、,其中、位于以為中心的區(qū)域,、、、位于以為中心的區(qū)域,位于以為中心的區(qū)域,根據(jù)性質(zhì)(6)得到(>)≥05。因此,在這種情況下性質(zhì)(7)得證。

圖4 情況3點(diǎn)γ23的位置Fig.4 Position of point γ23 in case 3

當(dāng)點(diǎn)位于以為中心的區(qū)域時,如圖5所示。以為中心繼續(xù)劃分區(qū)域,此時(>)≥05有8種情況,分別記為、、、、、、、,其中、位于以為中心的區(qū)域,、、位于以為中心的區(qū)域,、、位于以為中心的區(qū)域,根據(jù)性質(zhì)(6)得到(>)≥05。因此,在這種情況下性質(zhì)(7)得證。

圖5 情況4點(diǎn)γ24的位置Fig.5 Position of point γ24 in case 4

綜上所述,性質(zhì)(7)得證。

證畢

2.2 基于改進(jìn)可能度的決策者屬性權(quán)重的確定

屬性權(quán)重在決策中起著重要的作用,屬性權(quán)重的變化可能會對方案的最終排序產(chǎn)生影響。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中,對于不同決策者,人為給予的屬性權(quán)重相同。但是在實(shí)際中,屬性不同,對于不同的決策者來說,其重要性也大相徑庭。由此,下面基于改進(jìn)的可能度,建立相應(yīng)的線性規(guī)劃模型求解每個決策者的屬性權(quán)重。

(12)

(13)

(14)

max

(15)

max

(16)

(17)

即為決策者對于的屬性權(quán)重。

2.3 基于偏好關(guān)系的群體共識的平衡

由于決策者不同的專業(yè)水平和背景,以及決策者之間的社會關(guān)系,決策者之間常常會產(chǎn)生一定的決策沖突,因此如何協(xié)調(diào)各種不同意見和看法,使不一致的決策者達(dá)到群體共識的閾值,建立共識反饋模型是十分必要的。

(18)

和

同時,可以推導(dǎo)出

證畢

基于偏好關(guān)系,平衡群體共識的步驟如下:

(1) 測算群體一致性

利用偏好關(guān)系的歐氏距離度量決策者的群體共識度:

(19)

(2) 測算個體一致性

(3) 確定和諧度

(20)

式中:∈[0,1]。

的和諧度為=1-,其中

(21)

式中：#APS是APS中元素的個數(shù)。

(4) 建立群體共識反饋模型

根據(jù)文獻(xiàn)[33]可知,反饋修正應(yīng)以最大限度地提高不和諧決策者的共識程度和盡可能保留原有偏好不變?yōu)槟繕?biāo)。根據(jù)上述分析,基于式(19)～式(21)建立平衡不和諧決策者的共識程度約束方程：

(22)

2.4 基于修正偏好關(guān)系決策者權(quán)重的確定

基于修正后的偏好關(guān)系,此時已消除決策群體中的沖突,決策群體有較高的共識水平。考慮到?jīng)Q策者社會地位、專業(yè)水平等方面的不同,人為給定決策者權(quán)重會導(dǎo)致決策結(jié)果產(chǎn)生偏差。為了削弱主觀權(quán)重的影響,提出修正系數(shù)確定決策者的權(quán)重。

考慮決策者給出評價信息的差異性,提出修正系數(shù)來調(diào)整決策者的主觀權(quán)重。當(dāng)的評價信息與其他決策者提供的評價信息一致性程度越高時,的修正系數(shù)就越大。反之,的修正系數(shù)就越小。

(23)

定義決策者的修正系數(shù)為

(24)

顯然,修正系數(shù)代表了的整體一致性程度。也就是說,代表了群體中的支持程度,在一定程度上反映了的相對重要性。由以上分析可知,修正系數(shù)越大,越重要,的重要性更應(yīng)得到加強(qiáng)。根據(jù)給定的主觀權(quán)重和修正系數(shù),確定權(quán)重為

(25)

式中：=(,,…,)為提前給定的決策者主觀權(quán)重。

2.5 基于修正偏好關(guān)系的PROMETHEE

基于第24節(jié)中修正后的偏好關(guān)系,得到語言直覺模糊環(huán)境下PROMETHEE的決策步驟如下:

計算備選方案的優(yōu)先指數(shù),得到優(yōu)先矩陣:

(26)

=((,))×

(27)

計算備選方案的流出流量、流入流量和凈流量

流出流量:

(28)

流入流量:

(29)

凈流量:

()=()-()

(30)

根據(jù)備選方案的凈流量大小進(jìn)行排序。

2.6 基于PROMETHEE的語言直覺模糊MAGDM方法

基于上述分析,提出基于改進(jìn)可能度和PROMETHEE的語言直覺模糊MAGDM方法,其具體步驟如下:

根據(jù)決策者對各個方案的評價建立語言直覺模糊矩陣。

利用式(22)平衡不一致決策者的共識程度,得到修正后的結(jié)果。

利用式(25)求得修正系數(shù)并確定決策者的權(quán)重。

利用式(27)計算方案的優(yōu)先指數(shù)(,),并構(gòu)造優(yōu)先矩陣。

通過式(30)計算每個方案()的凈流量,根據(jù)方案的凈流量大小對方案進(jìn)行排序。

3 實(shí)證分析

為驗(yàn)證本文所提方法的合理性和有效性,下面選取文獻(xiàn)[9]中的案例進(jìn)行實(shí)證分析。

3.1 問題描述

有一家制造公司想要選擇一個最好的供貨商來為其供貨,現(xiàn)有4個潛在的國際供貨商可供選擇,即={,,,}。選擇供貨商時需要考慮以下5個指標(biāo):產(chǎn)品總成本;產(chǎn)品質(zhì)量;供應(yīng)商的服務(wù)績效;供貨商的形象;風(fēng)險因素。4位決策者給定的有序語言項(xiàng)集為

={:極差;:很差;:差;:中下;:中;
:中上;:好;:很好;:極好}

下面利用本文第26節(jié)中提出的MAGDM方法選擇最佳供貨商,具體步驟如下:

表2 決策矩陣R1

表3 決策矩陣R2

表4 決策矩陣R3

表5 決策矩陣R4

=(0198 2,0198 2,0207 2,0198 2,0198 2)

=(0205 3,0196 5,0196 5,0205 2,0196 5)

=(0196 8,0205 6,0196 8,0196 8,0204 0)

=(0198 2,0198 2,0198 2,0198 2,0207 2)

利用式(18)和式(19)得到?jīng)Q策者的偏好矩陣及群體共識度:

=0843 7,=0870 4
=0878 7,=0897
(1)=,(2)=
(3)=,(4)=

參考文獻(xiàn)[35-36],假設(shè)群體的共識度閾值=085,則

APS={(1,2)(1),(1,3)(1),(1,4)(1),(2,1)(1),
(2,3)(1),(3,1)(1),(3,2)(1),(4,1)(1)}

利用式(22)平衡不和諧決策者的共識程度,得到修正后的結(jié)果:

=085,=0871 4,
=0879,=0897 8

對給定的決策者權(quán)重=(025,03,02,025),利用修正系數(shù),通過式(25)得到?jīng)Q策者的權(quán)重(=1,2,…,):

=(0231 2,0303 5,0202 9,0262 4)

利用式(27)計算供貨商的優(yōu)先指數(shù)(,),構(gòu)造優(yōu)先矩陣:

通過式(30)計算每個供貨商()的凈流量,根據(jù)供貨商的凈流量大小對供貨商進(jìn)行排序。其中:

()=-0125,()=1285,
()=-0994,()=-0166

故排序結(jié)果為fff,即最佳供貨商是。

3.2 結(jié)果的比較分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出方法的有效性,采用文獻(xiàn)[9,15,21,23]的方法分別對文獻(xiàn)[9]中算例進(jìn)行排序,其中該屬性和專家權(quán)重采用文獻(xiàn)[9]給的權(quán)重=(025,03,02,025)與屬性權(quán)重=(025,02,015,018,022)。所得結(jié)果的具體比較如表6和表7所示。

表6 不同方法的決策結(jié)果比較

表7 不同方法的特性比較

通過表6的排序結(jié)果可知,本文方法和文獻(xiàn)[9,15,24]的排序結(jié)果是一致的。和文獻(xiàn)[21]相比,排序雖存在差異,但最優(yōu)方案都是。因此,本文所提的基于改進(jìn)可能度的語言直覺模糊PROMETHEE MAGDM方法是有效的。

對于可能度矩陣計算優(yōu)先權(quán)重結(jié)果為=(0268 3,0371 7,036),即ff,但是根據(jù)可能度(>)=051>05,由可能度的含義可知>,這說明利用可能度矩陣行求和法會得到不合理的排序。對文獻(xiàn)[21],其利用LIPFOWA算子對信息進(jìn)行集結(jié)時,根據(jù)LIFNs得分函數(shù)劃分權(quán)重,得分函數(shù)大的給予更大的權(quán)重。但信息集結(jié)應(yīng)考慮屬性的重要性,即屬性權(quán)重,而非該屬性下決策者所給的評價信息的得分函數(shù),不同屬性下的得分函數(shù)沒有可比性。對文獻(xiàn)[24],其利用證據(jù)理論得到的計算結(jié)果的區(qū)分度太小,無法判斷方案之間的優(yōu)劣性。

通過表7可知,現(xiàn)有文獻(xiàn)在屬性權(quán)重和決策者權(quán)重方面,采用的決策方法大多數(shù)是基于權(quán)重已知,無法解決權(quán)重未知的決策問題。雖然文獻(xiàn)[21]利用得分函數(shù)計算客觀權(quán)重,避免了計算結(jié)果太過主觀的情況,但本身也存在缺陷。另外,文獻(xiàn)[9,15,21]采用集結(jié)算子對信息進(jìn)行集結(jié)的過程中會造成信息缺失。文獻(xiàn)[24]雖然避免了這些問題,但是區(qū)分度太小,無法準(zhǔn)確判斷方案之間的優(yōu)劣性。

綜上所述,本文的排序結(jié)果與以上方法所得結(jié)果基本相同,而較于其他方法,本文所提方法擁有如下優(yōu)點(diǎn):

(1) 從可能度上看,本文改進(jìn)的可能度利用數(shù)形結(jié)合的思想,將LIFNs在二維平面直角坐標(biāo)系中表示,評價信息更直觀。同時,將Atanassov偏序以及猶豫度考慮在內(nèi),計算結(jié)果的可靠性更強(qiáng)。

(2) 從屬性權(quán)重和決策者權(quán)重上看,在MAGDM中,不同決策者眼中不同屬性的重要性也不同,文獻(xiàn)[9,15]中每位決策者的屬性權(quán)重相同,不符合人的主觀判斷。考慮到?jīng)Q策者專業(yè)水平等方面的差異,提前給定專家主觀權(quán)重也會導(dǎo)致決策結(jié)果產(chǎn)生偏差。而本文基于改進(jìn)的可能度,最大化決策者在屬性上的總加權(quán)平方可能度,實(shí)現(xiàn)了決策者對屬性重要性的把控。然后,為消除決策群體中不一致決策者對決策結(jié)果的影響,提高群體共識,建立群體共識反饋模型,對決策者偏好關(guān)系進(jìn)行修正,使得共識水平達(dá)到給定閾值。通過修正系數(shù),對于人為給定的決策者權(quán)重進(jìn)行調(diào)整,保證決策者給出的決策結(jié)果具有較高的一致性。

(3) 從決策方法上看,本文結(jié)合PROMETHEE,對備選方案優(yōu)劣性進(jìn)行討論。充分考慮決策者對屬性的偏好情況,使得決策結(jié)果更具有說服力。而且,計算結(jié)果區(qū)分度大,直觀性強(qiáng)。

4 結(jié) 論

本文首先在文獻(xiàn)[7,15]所提的可能度的基礎(chǔ)上,改進(jìn)了可能度公式,并證明其具有互補(bǔ)性、傳遞性等較好的性質(zhì);然后基于改進(jìn)的可能度和修正的偏好關(guān)系確定屬性權(quán)重和決策者權(quán)重;最后提出基于可能度與PROMETHEE的語言直覺模糊MAGDM方法,并通過實(shí)證分析驗(yàn)證該方法的可行性和優(yōu)越性。對比現(xiàn)有的方法,本文將可能度與PROMETHEE結(jié)合,充分考慮專家的猶豫度,提高了決策信息的可靠性;對備選方案優(yōu)劣性進(jìn)行討論,使得決策結(jié)果直觀性更強(qiáng);同時還保證了較高的群共識水平,使得群決策結(jié)果更可信。