李 康, 史憲銘, 李廣寧, 劉昊邦

(陸軍工程大學石家莊校區(qū), 河北 石家莊 050003)

0 引 言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中,第一波次攻擊通常使用具有遠程精確打擊能力的巡航導彈。有效預計反巡航導彈武器的彈藥需求可為彈藥供應保障相關部門和指揮員等提供決策基礎。通過對武器系統(tǒng)的仿真試驗,我們可以預測武器對目標的殺傷概率、擊中概率等指標,本著實踐檢驗真理這一原則,需要進行武器系統(tǒng)的實裝實射試驗,對射擊精度進行鑒定。然而,防空武器系統(tǒng)一般較昂貴,靶機造價也在不斷提升,所以只能進行少量的實裝實射試驗,依據(jù)少量的實彈射擊試驗結果對命中概率進行估計就顯得尤為必要。

目前關于防空武器對巡航導彈命中概率的研究已取得一些進展,張學峰等建立了某火箭武器系統(tǒng)攔截巡航導彈的命中概率模型,并采用蒙特卡羅法進行了仿真計算;劉松等考慮了巡航導彈不同戰(zhàn)斗部的毀傷概率,并利用蒙特卡羅仿真方法建立了單發(fā)毀傷概率打靶模型;王濤等對戰(zhàn)斧巡航導彈的單發(fā)命中彈的毀傷概率進行了仿真,同時基于理論和推算的方法計算命中概率。上述關于反巡航導彈武器命中概率的研究沒有解決小樣本信息量不足的問題。

針對上述分析,本文應用貝葉斯統(tǒng)計推斷方法估計防空武器對巡航導彈命中概率,它綜合利用了總體信息、先驗信息和樣本信息,可依據(jù)少量的樣本信息估計防空武器對巡航導彈命中概率的參數(shù)。目前貝葉斯統(tǒng)計方法在彈藥消耗預測的研究中取得了一些成果:趙汝東等提出了基于Gompertz分布的彈藥需求貝葉斯推斷方法,估計了達到不同毀傷等級下彈藥需求量的參數(shù),為小樣本彈藥消耗試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析提供了指導;康宗宇等應用貝葉斯理論預測航空彈藥,仿真結果表明,貝葉斯理論可以有效預測未來階段的航空戰(zhàn)時彈藥保障供應能力;鞠訓光等應用貝葉斯概率推理方法估計航空彈藥在長期貯存中分布函數(shù)的參數(shù)。

1 防空武器系統(tǒng)對巡航導彈命中概率的表示

1.1 脫靶量理論

防空武器系統(tǒng)中的脫靶量指的是彈藥與目標交會的過程中彈藥和目標之間的最小距離,原理如圖1所示。

圖1 脫靶量示意圖Fig.1 Miss distance diagram

圖1中,表示彈藥，是彈的飛行速度,是目標的飛行速度,是彈藥相對于目標的速度,是彈藥和目標之間的最小距離,其方向垂直于相對速度。

在分析防空武器作戰(zhàn)效能時,選取垂直于彈藥相對速度方向的平面進行射擊誤差分析。如圖2所示,以為坐標原點,代表目標質心位置,作兩個相互垂直的橫縱坐標軸、,平面上的彈著點距離的位置即為脫靶量。

圖2 彈著點示意圖Fig.2 Schematic diagram of impact point

1.2 防空武器系統(tǒng)對巡航導彈的命中概率

大量防空武器的射擊試驗表明靶面上彈著點的兩個坐標分量、服從二維正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為

(1)

在圖2所示直角坐標系下,變量、相互獨立,則=0,式(1)中概率密度函數(shù)可化為

(2)

計算防空武器命中概率時,通常考慮彈藥命中圓域或者等效矩形域,巡航導彈各艙段可劃分為不同的長方形(狹長區(qū))。因此,本文在計算防空武器系統(tǒng)的命中概率時選取彈著點落入矩形域時的概率。

假設矩形域為{(,)|≤≤,≤≤},則防空武器系統(tǒng)命中巡航導彈等效矩形域的概率為

(3)

式(3)計算后得:

(4)

式(4)所示無法用初等函數(shù)表示,可通過數(shù)值積分表查出,則命中概率為

(5)

如果確定了式(5)中參數(shù)、、、的值,也就確定了命中概率的值,下面對參數(shù)進行估計。

2 反巡航導彈武器系統(tǒng)命中概率的貝葉斯推斷

2.1 反巡航導彈武器系統(tǒng)命中概率參數(shù)的樣本信息

由統(tǒng)計知識可知,未知參數(shù)的估計包括最大似然估計和矩估計,正態(tài)分布的最大似然估計和矩估計重合。假設有組彈著樣本點[(,),(,),…,(,)],則未知參數(shù)的估計量為

(6)

式(6)得到的均是無偏估計量,其均方誤差為

(7)

又因為

(8)

則式(7)中的均方誤差可表示為

(9)

由式(9)可以看出樣本量越小,誤差越大。通常在防空武器對目標射擊效能試驗中,只有少量的樣本數(shù)據(jù),則此時根據(jù)小樣本試驗條件得到的參數(shù)點估計量均方誤差較大。

2.2 反巡航導彈武器系統(tǒng)命中概率參數(shù)的先驗信息

為解決小樣本信息帶來的問題,本文采取貝葉斯統(tǒng)計推斷方法推斷反巡航導彈武器命中概率的參數(shù)。

(10)

(11)

(12)

2.3 反巡航導彈武器系統(tǒng)命中概率參數(shù)的后驗分布

貝葉斯定理綜合了樣本信息、先驗信息和總體信息,所以通過貝葉斯推斷方法得到的反巡航導彈武器命中概率的參數(shù)估計值比傳統(tǒng)的根據(jù)樣本估計的參數(shù)值使用的信息更多。

(13)

(14)

(15)

式(15)中的超參數(shù)可由下列公式給出:

(16)

下面將討論如何確定超參數(shù),從而確定后驗分布函數(shù),為防空武器系統(tǒng)命中巡航導彈的概率參數(shù)估計提供基礎。

3 反巡航導彈武器系統(tǒng)命中概率先驗分布超參數(shù)的確定

3.1 命中概率參數(shù)先驗信息的處理

表1 由先驗信息得到的參數(shù)樣本數(shù)據(jù)Table 1 Parameter sample data obtained from prior information

由表1樣本數(shù)據(jù)可得相應的頻率分布直方圖如圖3～圖6所示,4個參數(shù)對應的樣本、均值如表2所示。

圖3 my頻率分布直方圖Fig.3 Frequency distribution histogram of my

圖頻率分布直方圖Fig.4 Frequency distribution histogram of

圖5 mz頻率分布直方圖Fig.5 Frequency distribution histogram of mz

圖頻率分布直方圖Fig.6 Frequency distribution histogram of

表2 4個參數(shù)對應的均值、方差Table 2 Mean and variance corresponding to the four parameters

3.2 命中概率先驗分布超參數(shù)確定

由上述推導可知,只要確定正態(tài)分布和逆伽馬分布中的超參數(shù)就可以確定命中概率參數(shù)的先驗分布。

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由上述公式結合表1、表2數(shù)據(jù),計算可得命中概率參數(shù)的先驗分布對應的超參數(shù)如表3所示,采用K-S方法進行擬合優(yōu)度檢驗,檢驗水平為005,結果如表3所示。可以看出值均大于005,證明相應的先驗分布假設是合理的。

表3 先驗分布的超參數(shù)Table 3 Super parameter of prior distribution

4 反巡航導彈武器系統(tǒng)命中概率參數(shù)的最大后驗估計

(23)

可得:

(24)

由式(16)和式(24)結合可得:

(25)

5 示例分析

表4 某防空武器射擊試驗樣本數(shù)據(jù)Table 4 Sample data of an air defense weapon firing test

表5 先驗分布的超參數(shù)(示例)Table 5 Super parameter of prior distribution (example)

6 結束語

貝葉斯統(tǒng)計推斷方法為解決彈藥射擊試驗次數(shù)較少而帶來的小樣本條件下彈藥需求預計問題提供了良好的思路。本文提出的基于正態(tài)-逆伽馬分布的反巡航導彈武器命中概率估計方法結合巡航導彈特點,充分利用樣本信息、先驗信息和總體信息推斷防空武器對巡航導彈命中概率的參數(shù),有一定的操作性和科學性,為彈藥需求預計理論提供了新的思路。