劉東明，姜廣浩，李 輝

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北235000）

1 引言與預(yù)備知識(shí)

由于計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)言邏輯的迫切需要，著名數(shù)學(xué)家Scott于1972年首次引入連續(xù)格的概念，并由此創(chuàng)建了比較完整的連續(xù)格理論[1].隨后相關(guān)學(xué)者將連續(xù)格理論推廣到使用更廣泛的連續(xù)Domain[2]上.Domain理論的一個(gè)重要的研究方向是將其推廣到一般的偏序集中去，如，連續(xù)偏序集[3-5]、擬連續(xù)偏序集[6-7]、C-連續(xù)偏序集[8-9]等.本文在以往文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，將定向集和一致集進(jìn)行推廣.首先引入相對(duì)定向集和相對(duì)定向完備集的概念，并在相對(duì)定向完備集上引入相對(duì)雙小于的概念，研究其在給定的集合T中的一些性質(zhì)；然后利用相對(duì)way below關(guān)系引入相對(duì)連續(xù)偏序集的概念，探討了它的一些等價(jià)條件；最后引入相對(duì)遺傳性的概念，證明了相對(duì)連續(xù)偏序集在給定的集合T下具有相對(duì)T的遺傳性.

設(shè)P為偏序集，?X?P，記↓X={y∈P：?x∈X，y≤x}，對(duì)偶地，記↑X={y∈P：?x∈X，x≤y}，并記↓x=↓{x}，↑x=↑{x}.設(shè)P為偏序集，X?P，則X是下集當(dāng)且僅當(dāng)X=↓X，X為上集當(dāng)且僅當(dāng)X=↑X.若?x、y∈X，?z∈X，使得 x、y≤z，則稱 X是P的定向集.對(duì)偶地，可以定義余定向集.

定義1[2]設(shè)P為偏序集，X?P，稱X為理想，當(dāng)且僅當(dāng)X既是下集又是定向集.對(duì)偶地，可以定義濾子.記P的所有理想構(gòu)成的集合為Idl（P），P的所有濾子構(gòu)成的集合為Filt（P）.

定義2[2]設(shè)P為偏序集，若對(duì)于任意定向子集D，sup D存在且sup D∈D，則稱偏序集P是定向完備的，簡(jiǎn)記為DCPO.

定義3[4]設(shè)P為偏序集，S?P，若?x、y∈S，存在z∈P，使得 x≤z，y≤z，則稱 S 為 P 的一致集.

定義4[4]設(shè)P為偏序集，若對(duì)于任意一致集S，sup S存在且sup S∈S，則稱偏序集P為一致完備的，簡(jiǎn)記為UCPO.

定義5[4]設(shè)P為偏序集，定義P上的waybelow＜＜u關(guān)系如下：?x、y∈P，若對(duì)于任意一致集S，當(dāng)y≤sup S時(shí)，存在s∈S，使得x≤s，則稱x一致小于 y，記作x＜＜uy.記?ux={v：v＜＜ux}.

定義6[4]設(shè)P為一致完備偏序集，若對(duì)于任意x∈P，x=sup?ux，則稱P是一致連續(xù)偏序集.

定義7設(shè)P為偏序集，S、T?P，S≠，T≠，若?x、y∈S，存在 t∈T，使得 x≤t，y≤t，則稱 S 為偏序集P相對(duì)于T的定向集.當(dāng)T明了時(shí)，簡(jiǎn)稱S為相對(duì)定向集.

例1設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，?x∈T，則單點(diǎn)集{x}是P中相對(duì)于T的定向集.

定義8設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，若任意相對(duì)于T的定向集都存在最小上界，則稱P為相對(duì)于T的定向完備集.當(dāng)T明了時(shí)，簡(jiǎn)稱P為相對(duì)定向完備集，簡(jiǎn)記為 RDCPO（T）.

設(shè)P為偏序集，且P具有性質(zhì)Q，若P的任意非空子集也具有性質(zhì)Q，則稱Q在P中具有遺傳性.

2 相對(duì)way below關(guān)系

定義9設(shè)P為相對(duì)于T的定向完備集，定義P上的相對(duì) way below＜＜T關(guān)系如下：?x、y∈P，若對(duì)于任意相對(duì)于T的定向集S，當(dāng)y≤sup S時(shí)，存在s∈S，使得x≤s，則稱x在P上相對(duì)于T小于y，當(dāng)T明了時(shí)，簡(jiǎn)稱 x相對(duì)小于 y，記為 x＜＜Ty.若 x＜＜Tx成立，則稱x為P上相對(duì)于T的緊元，當(dāng)T明了時(shí)，簡(jiǎn)稱x為相對(duì)緊元.記?Tx={u：x＜＜Tu}，?Tx={v：v＜＜Tx}.

命題設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，若P為相對(duì)于T的定向完備集，則對(duì)于任意u、x、y、z∈T，有如下結(jié)論成立.

（1）x＜＜Ty?x≤y.

（2）u≤x＜＜Ty≤z?u＜＜Tz.

（3）?Tx∈U（T）.

（4）當(dāng)P有最小元0時(shí)，0＜＜Tx.

（5）x＜＜Tz，y＜＜Tz，若 x∨y存在，則 x∨y＜＜Tz.

證明（1）?D∈U（T），由于P為相對(duì)于T的定向完備集，則sup D存在，若y≤sup D，則存在d∈D，使得 x≤d，取 D={y}∈U（T），則 x≤sup D=y.

（2）?D∈U（T），sup D存在，若 z≤sup D，由條件得y≤sup D，又 x＜＜Ty，從而存在 d∈D，使得 x≤d，又因?yàn)?u≤x，所以u(píng)≤d，由相對(duì)way below的定義得u＜＜Tz.

（3）?a、b∈?Tx，有 a＜＜Tx 且 b＜＜Tx，則 a≤x，b≤x，而 x∈T，所以?Tx∈U（T）.

（4）?D∈U（T），若 x≤sup D，則存在 d∈D，使得x≤d，又由于0是P的最小元，故0≤d，所以0＜＜Tx.

（5）?D∈U（T），則 sup D 存在且 sup D∈D，若z≤sup D，因?yàn)?x＜＜Tz，y＜＜Tz，故存在 d1、d2∈D，使得x≤d1≤sup D 且 y≤d2≤sup D，進(jìn)而 x∨y≤sup D，所以x∨y＜＜Tz.

由命題易得推論1和推論2.

推論1設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，若P為相對(duì)于T的定向完備集，則?x∈T，有?Tx?↓x，?Tx?↑x.

推論2設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，若P為相對(duì)于T的定向完備集，則?x、y∈T且x≤y，有?Tx??Ty.

推論3設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，若P為相對(duì)于T的定向完備集，x∈T，則有?Tx∈RId（lT）.

證明由命題的（3）知?Tx∈U（T），下證?Tx為下集.任意取 a∈?Tx，則 a＜＜Tx，任意取 b∈P，若 b≤a，再由命題的（2）得 b＜＜Tx，因此?Tx為下集，故?Tx∈RId（lT）.

引理設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，則I（rT）?U（T）.

證明?M∈I（rT），則存在S∈U（T），使得M=↓S.?x、y∈M，則有 x、y∈↓S，從而存在 s1、s2∈S，使得x≤s1，y≤s2，又 S 為相對(duì)于 T 的定向集，故存在 t∈T，使得 s1≤t，s2≤t，進(jìn)而有 x≤t，y≤t，所以 M 為相對(duì)于T的定向集.

定理1設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，P為相對(duì)于T的定向完備集.?x、y∈T，x＜＜Ty當(dāng)且僅當(dāng)?I∈I（rT），若 y≤sup I，則 x∈I.

證明必要性 ?I∈I（rT），由引理得I?U（T），故I相對(duì)于T定向且為下集，若x＜＜Ty且y≤sup I，則存在d∈I，使得x≤d，進(jìn)而x∈I.

充分性 ?I∈I（rT），有I∈RId（lT），對(duì)于任意x∈I，則存在d∈I，使得x≤d，即對(duì)于任意相對(duì)于T定向的I，若y≤sup I，則存在d∈I，使得x≤d，故有x＜＜Ty.

定理2設(shè)P為一致完備集，T?P，T，?x∈T，則有?ux??Tx.

證明?a∈?ux，有 a＜＜ux，下證 a∈?Tx，任意取D?U（T），則D為P中的一致集，因?yàn)镻為一致完備集，所以sup D存在，若x≤sup D，則存在d∈D，使得a≤d，由相對(duì)way below關(guān)系的定義得a＜＜Tx，從而a∈?Tx，故?ux??Tx.

3 相對(duì)連續(xù)偏序集

定義10設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，且P為相對(duì)于T的定向完備集，若?x∈T，x=sup?Tx，則稱P為相對(duì)于T的連續(xù)偏序集.當(dāng)T明了時(shí)，簡(jiǎn)稱P為相對(duì)連續(xù)偏序集.

注1相對(duì)連續(xù)偏序集未必為一致連續(xù)偏序集.

例2設(shè)偏序集 P=M∪N，見(jiàn)圖 1.N={a，b，c，d}，規(guī)定P的序：若x、y∈M，則x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x=y；若x∈N，y∈M,則 x≤y；若 x、y∈N，N 上的序如圖 1所示.令T={b，c，d}，則P為相對(duì)于T的連續(xù)偏序集.然而，對(duì)于一致集N，sup N?N，P不為一致完備集，從而P不是一致連續(xù)偏序集.

圖1 偏序集P=M∪NFig.1 Poset P=M∪N

注2相對(duì)連續(xù)偏序集未必為連續(xù)偏序集，連續(xù)偏序集也未必為相對(duì)連續(xù)偏序集.

例3設(shè) P=[0，1），T=[0，1/2]，則 P 為相對(duì)于T的連續(xù)偏序集，但由sup P?P知P不為定向完備偏序集，故P不為連續(xù)偏序集.

定理3設(shè)P為一致連續(xù)偏序集，則?T?P，T≠，P為相對(duì)于T的連續(xù)偏序集.

證明若P為一致連續(xù)偏序集，則P為一致完備集，從而P為相對(duì)于T的定向完備集.?x∈T，由定理1知?Tx∈U（T）.下證x=sup?Tx.首先，易知x為?Tx的一個(gè)上界，從而sup?Tx≤x；其次，由定理2得?ux??Tx，又P為一致連續(xù)偏序集，故有x=sup?ux≤sup?Tx，進(jìn)而x=sup?Tx.所以P為相對(duì)于T的連續(xù)偏序集.

定理4設(shè)P為偏序集，T1?T2?P，T1、T2≠，若P為相對(duì)于T2的連續(xù)偏序集，則P為相對(duì)于T1的連續(xù)偏序集.

證明設(shè)P為相對(duì)于T2的連續(xù)偏序集，則P為相對(duì)于T2的定向完備集.首先證P為相對(duì)于T1的定向完備集.?D∈U（T1），?a、b∈D，存在 t∈T1?T2，使得a≤t且b≤t，從而 D∈U（T2），又P為相對(duì)于 T2的定向完備集，故sup D存在且sup D∈D，進(jìn)而P為相對(duì)于T1的定向完備集.?x∈T1，由定理1知.下面證易知的一個(gè)上界，從而下證，則有，，有，因P為相對(duì)于T1的定向完備集，故sup D存在且sup D∈D，若 x≤sup D，又，故存在 d∈D，使得y≤d，由相對(duì)way below的定義可知，進(jìn)而，所以，又因P為相對(duì)于T2的連續(xù)偏序集，進(jìn)而有，故綜上可知P為相對(duì)于T1的連續(xù)偏序集.

定義11設(shè)P為偏序集，T?P，T≠，若P具有性質(zhì)Q，且T中的任意子集D都具有性質(zhì)Q，則稱Q在P中具有相對(duì)于T的遺傳性.當(dāng)T明了時(shí)，簡(jiǎn)稱相對(duì)遺傳性.

注3若某種性質(zhì)具有遺傳性，則必具有相對(duì)遺傳性.

注4若某種性質(zhì)具有相對(duì)遺傳性，則未必具有遺傳性.

例4設(shè)偏序集 P={a，b，c，d，e，f}，見(jiàn)圖 2.設(shè)T={b，d，e}，易知P為定向的，且對(duì)于任意T中的非空子集D，D都是定向的，但顯然P中的子集不都是定向的.故定向性質(zhì)具有相對(duì)于T的遺傳性，但不具有遺傳性.

圖2 偏序集 P={a，b，c，d，e，f}Fig.2 Poset P={a，b，c，d，e，f}

定理5設(shè)P為相對(duì)于T的連續(xù)偏序集，T?P，T≠，則對(duì)于T的任一非空子集D，P為相對(duì)于D的連續(xù)偏序集.