趙正俊，陳文兵

(安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133)

代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的重要分支之一。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)及科技的發(fā)展，尤其是20世紀(jì)以來，諸多重要數(shù)學(xué)猜想的解決(如Fermat大定理、Mordell猜想等)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，代數(shù)學(xué)在理論及應(yīng)用領(lǐng)域的重要性日益凸顯。我國(guó)高校數(shù)學(xué)專業(yè)代數(shù)課程設(shè)置及內(nèi)容形成于20世紀(jì)50年代，普通院校數(shù)學(xué)專業(yè)“重分析、輕代數(shù)”的狀況雖然受到許多高校相關(guān)任課教師的關(guān)注，但是受限于體制、師資及教材等因素，代數(shù)類課程設(shè)置的問題與核心代數(shù)及幾何課程缺失的現(xiàn)狀仍然沒有得到緩解。正如著名數(shù)論學(xué)家馮克勤教授所說[4]，高校的幾何與代數(shù)教學(xué)應(yīng)該加強(qiáng)，這是必須予以重視的問題。通過分析高校代數(shù)類課程設(shè)置的現(xiàn)狀，結(jié)合筆者多年代數(shù)類課程教學(xué)的體會(huì)與部分高校對(duì)代數(shù)類課程設(shè)置改革的措施及成效，談?wù)剬?duì)普通師范院校代數(shù)類課程設(shè)置的看法，供同行交流參考。

1 代數(shù)類課程設(shè)置存在的問題

代數(shù)作為數(shù)學(xué)的三大分支之一，包括初等代數(shù)和抽象代數(shù)，以研究代數(shù)方程為中心，其特點(diǎn)是具有高度的抽象性。國(guó)內(nèi)師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)代數(shù)類課程主要包括“初等數(shù)論”“高等代數(shù)”及“近世代數(shù)”。根據(jù)筆者多年教授代數(shù)類課程的經(jīng)驗(yàn)及與兄弟院校相關(guān)課程任課老師的交流情況，目前普通師范院校代數(shù)類課程設(shè)置存在以下幾個(gè)問題。

1.1 課程內(nèi)容銜接的問題

“高等代數(shù)”一直是高校數(shù)學(xué)專業(yè)重視的核心基礎(chǔ)課，多數(shù)學(xué)校在大學(xué)一年級(jí)開設(shè)兩個(gè)學(xué)期，每周5-7學(xué)時(shí)，部分學(xué)校會(huì)單獨(dú)開設(shè)習(xí)題課?！案叩却鷶?shù)”的基本內(nèi)容包括線性空間和矩陣?yán)碚?，?duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。普通高校數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對(duì)于該門課程的學(xué)習(xí)感到吃力，考試及格率低于同期開設(shè)的其他課程。學(xué)生對(duì)該門課程的總體印象是抽象，多數(shù)學(xué)生不能理解線性空間與線性變換的定義，更談不上領(lǐng)會(huì)該門課程的精髓。

目前，多數(shù)高校采用北京大學(xué)于上世紀(jì)70年代末編寫的“高等代數(shù)”作為該門課程的教材。這是一部經(jīng)典教材，其他教材基本都以這本書作為藍(lán)本。在內(nèi)容安排上，首先講解多項(xiàng)式理論，然后圍繞線性方程組這個(gè)中心課題，逐步引入行列式、矩陣、線性空間與線性變換、二次型及歐式空間。相對(duì)“高等代數(shù)”，高度抽象的“近世代數(shù)”更加使得學(xué)生焦頭爛額?！敖来鷶?shù)”主要講授群、環(huán)及域的基本知識(shí)，多數(shù)高校選擇在大學(xué)二年級(jí)開設(shè)。雖然“高等代數(shù)”中多項(xiàng)式、矩陣及線性空間與線性變換為“近世代數(shù)”中相關(guān)概念提供了實(shí)例，但學(xué)生依然不能很好地理解“近世代數(shù)”中的相關(guān)定義與結(jié)論，從“高等代數(shù)”到“近世代數(shù)”的過渡并不自然?！俺醯葦?shù)論”主要講授整數(shù)的相關(guān)理論，內(nèi)容大致包括整數(shù)的整除、同余、二次剩余、原根及指數(shù)與不定方程等。多數(shù)高校選擇將該門課程作為選修課在大三開設(shè)。同樣，“初等數(shù)論”也為“近世代數(shù)”中相關(guān)概念提供了很好的實(shí)例。同時(shí)，整數(shù)的整除理論與多項(xiàng)式的整除理論在環(huán)論的意義下又有某種重合。因此，在以“高等代數(shù)”“近世代數(shù)”“初等數(shù)論”開課次序的前提下，授課內(nèi)容存在一定程度的交叉與重合。事實(shí)上，“近世代數(shù)”的思想方法滲透在“初等數(shù)論”與“高等代數(shù)”中，處理好這三門課程的內(nèi)容安排對(duì)于代數(shù)學(xué)習(xí)尤為關(guān)鍵。

1.2 代數(shù)類課程缺失的問題

相對(duì)于分析類課程，普通師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)代數(shù)類課程顯得較為單薄。一些在重點(diǎn)高校開設(shè)的“抽象代數(shù)”“交換代數(shù)”“同調(diào)代數(shù)”“群與代數(shù)表示”“代數(shù)數(shù)論”與“代數(shù)幾何”等代數(shù)類課程，普通高校沒有作為選修課程開設(shè)，原因是多方面的，學(xué)生基礎(chǔ)、師資、師范教育類課程的安排等。這些代數(shù)類后續(xù)課程不僅是將來從事代數(shù)研究的學(xué)生的基礎(chǔ)課程，對(duì)邏輯思維能力與數(shù)學(xué)品味及修養(yǎng)的提高也具有重要意義。普通師范類院校不僅要培養(yǎng)合格的中小學(xué)教師，也肩負(fù)了培養(yǎng)從事科學(xué)研究人才的重任。為有意愿從事代數(shù)研究的學(xué)生開設(shè)代數(shù)后續(xù)課程是有必要的。

進(jìn)入新世紀(jì)以來，眾多高校數(shù)學(xué)系開設(shè)了信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，培養(yǎng)具有扎實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的從事與計(jì)算機(jī)相關(guān)工作的人才。然而，一些高校不再為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)開設(shè)“近世代數(shù)”與“初等數(shù)論”，甚至淡化“高等代數(shù)”。而在一些普通師范院校，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)也不再開設(shè)“初等數(shù)論”。筆者所在師范高校，“初等數(shù)論”僅作為選修課程，教務(wù)部門規(guī)定，選課人數(shù)不足30人不開課?！俺醯葦?shù)論”經(jīng)常與數(shù)學(xué)競(jìng)賽聯(lián)系在一起，對(duì)于以培養(yǎng)優(yōu)秀中小學(xué)數(shù)學(xué)教師為目標(biāo)的師范院校，掌握初等數(shù)論的相關(guān)知識(shí)和技巧是有必要的。

1.3 課時(shí)壓縮的問題

近年來，隨著高校培養(yǎng)方案中實(shí)踐及思政課時(shí)的不斷增加，一些重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程的課時(shí)不斷被壓縮?！敖来鷶?shù)”在一些高校的課時(shí)由周4減為周3，“初等數(shù)論”以每周2學(xué)時(shí)作為選修課開設(shè)?！敖来鷶?shù)”的群論中，除了同態(tài)基本定理，群在集合上的作用對(duì)群的研究至關(guān)重要，簡(jiǎn)單介紹群作用及其應(yīng)用是有必要的。但是，在總課時(shí)為51的前提下，很難講透這些重要內(nèi)容，只能流于表面地介紹群環(huán)域的基本定義與結(jié)論?？傉n時(shí)為34的“初等數(shù)論”，只能簡(jiǎn)單介紹整數(shù)整除、同余及二次剩余與二次互反律的基本結(jié)果，而其中與有限群結(jié)構(gòu)關(guān)系密切的原根及指數(shù)、不定方程等只能舍棄。

2 部分高校代數(shù)類課程設(shè)置改革措施

21世紀(jì)以來，高校代數(shù)類課程設(shè)置與教學(xué)內(nèi)容的改革一直被廣泛關(guān)注。國(guó)內(nèi)眾多代數(shù)學(xué)家和從事代數(shù)教學(xué)研究的人員對(duì)代數(shù)類課程設(shè)置改革作了諸多研究和實(shí)踐。著名數(shù)論學(xué)家馮克勤先生對(duì)代數(shù)類課程設(shè)置有獨(dú)到的見解[4]和豐碩的實(shí)踐成果。自1977年開始，在馮先生的領(lǐng)導(dǎo)下，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系在一年級(jí)第一學(xué)期開設(shè)“初等數(shù)論”，并和余紅兵教授編寫了教材“整數(shù)和多項(xiàng)式”，將整數(shù)與多項(xiàng)式的整除、因式分解等理論納入同一范疇，其中滲透了近世代數(shù)的思想，從主理想整環(huán)的角度統(tǒng)一講授整數(shù)與多項(xiàng)式。2011年以來，在歐陽毅教授的領(lǐng)導(dǎo)下，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)院對(duì)代數(shù)類課程設(shè)置及教學(xué)內(nèi)容作了重大改革，將“初等數(shù)論”“解析幾何”“高等代數(shù)”“近世代數(shù)”“抽象代數(shù)”等代數(shù)類課程教學(xué)內(nèi)容作了優(yōu)化，出臺(tái)了“代數(shù)系列課程綱要”，并編寫了代數(shù)學(xué)系列教材。科大對(duì)代數(shù)課程設(shè)置及內(nèi)容改革的成果獲得了安徽省教學(xué)成果獎(jiǎng)。正如歐陽毅教授所說[1]，受老一輩數(shù)學(xué)家指導(dǎo)和影響，科大的代數(shù)教學(xué)一直維持在很高的水平，培養(yǎng)了許多著名的代數(shù)學(xué)家。2000年之后，馮先生調(diào)入清華大學(xué)數(shù)學(xué)系擔(dān)任系主任。自2001年起，清華數(shù)學(xué)系也在大學(xué)一年級(jí)為新生開設(shè)“初等數(shù)論”，并以專題討論的形式為有志于從事代數(shù)與數(shù)論研究的學(xué)生開設(shè)相關(guān)代數(shù)類課程。在以構(gòu)建和實(shí)施本科人才培養(yǎng)體系為核心的“三三制”本科教學(xué)改革的背景下，南京大學(xué)數(shù)學(xué)系對(duì)“高等代數(shù)”課程的內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整，與科大和清華的做法類似，也是同時(shí)講授整數(shù)與多項(xiàng)式的整除理論。早在20世紀(jì)90年代，華中師范大學(xué)就嘗試對(duì)代數(shù)類課程設(shè)置進(jìn)行改革[5]，將“高等代數(shù)”“解析幾何”“近世代數(shù)”與“范疇論”四門課作為一個(gè)整體，以代數(shù)結(jié)構(gòu)為主線統(tǒng)一四門課程。

在學(xué)生基礎(chǔ)與師資條件較好的前提下，科大等重點(diǎn)高校對(duì)代數(shù)類課程的設(shè)置是合理有成效的。以“初等數(shù)論”“高等代數(shù)”與“解析幾何”“近世代數(shù)”這樣的順序開課，可以做到與中學(xué)課程銜接、與后續(xù)課程銜接、與數(shù)學(xué)研究銜接。受限于師資條件與學(xué)生基礎(chǔ)，普通師范院校對(duì)代數(shù)類課程設(shè)置作大刀闊斧的改革并非易事。科學(xué)分析代數(shù)課程內(nèi)容及相互聯(lián)系，明確學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)，師范院校對(duì)代數(shù)課程設(shè)置改革的空間依然很大。一些地方師范院校也作了許多嘗試。早在20年前，湖州師范學(xué)院對(duì)“高等代數(shù)”“初等數(shù)論”及“近世代數(shù)”三門課程的內(nèi)容進(jìn)行整合調(diào)整[2]，三門課統(tǒng)一編教材，分四個(gè)學(xué)期開設(shè)。2016年開始，淮陰師范學(xué)院在大學(xué)一年級(jí)第一學(xué)期開設(shè)“初等數(shù)論”與“解析幾何”，第二學(xué)期開設(shè)“高等代數(shù)”。

3 代數(shù)類課程教學(xué)的體會(huì)與改革設(shè)想

課程設(shè)置改革具有很強(qiáng)的學(xué)術(shù)性。在明確培養(yǎng)目標(biāo)的前提下，如何處理課程內(nèi)容的銜接、知識(shí)傳授與能力培養(yǎng)的關(guān)系值得深究。在普通師范院校從事“高等代數(shù)”與“抽象代數(shù)”課程教學(xué)多年，“高等代數(shù)”的教材幾經(jīng)更換，而從教學(xué)效果及學(xué)生反饋情況來看，簡(jiǎn)單的教材更換，并不能改變歷屆學(xué)生對(duì)這門課的印象——抽象、難學(xué)、及格率低。一方面，正如歐陽毅教授的分析[1]，受中學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)與高考指揮棒的影響，學(xué)生獨(dú)立探索和抽象思維能力受到很大限制；另一方面，“高等代數(shù)”對(duì)學(xué)生抽象思維能力要求較高，而剛?cè)雽W(xué)的新生還沒能適應(yīng)大學(xué)的授課方式，用功的學(xué)生多數(shù)采用中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，忽略對(duì)數(shù)學(xué)定義及結(jié)論的理解與記憶，學(xué)習(xí)效果事倍功半，積極性受挫。教學(xué)中除了引導(dǎo)學(xué)生積極改變中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法，更應(yīng)該在課程設(shè)置與內(nèi)容的銜接上下功夫。下面具體談?wù)剬?duì)普通師范院校代數(shù)類課程設(shè)置改革的一些想法。

首先，數(shù)學(xué)師范專業(yè)首要任務(wù)是培養(yǎng)合格的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師，“初等數(shù)論”與中學(xué)數(shù)學(xué)及競(jìng)賽聯(lián)系密切，掌握“初等數(shù)論”中相關(guān)知識(shí)與技巧對(duì)于師范生來說是必要的。在新生入學(xué)開設(shè)每周4學(xué)時(shí)的“初等數(shù)論”，一方面，與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)自然過渡，另一方面，以整數(shù)為實(shí)例，滲透代數(shù)學(xué)的思想方法，為后續(xù)抽象代數(shù)做一個(gè)鋪墊。而在具體內(nèi)容安排上，除了介紹整數(shù)整除、同余、原根及指數(shù)等基本知識(shí)外同時(shí)，以整數(shù)和同余為實(shí)例，介紹集合和映射的基本定義與性質(zhì)，從而過渡到集合的劃分、關(guān)系與等價(jià)。最后，介紹多項(xiàng)式的整除與因式分解。這里適當(dāng)介紹集合和映射的相關(guān)知識(shí)，一是為后續(xù)線性空間與線性映射作準(zhǔn)備，同時(shí)，也為學(xué)習(xí)分析與點(diǎn)集拓?fù)涞日n程打下了基礎(chǔ)。

第二、三學(xué)期，開設(shè)每周5學(xué)時(shí)的“高等代數(shù)”。主要內(nèi)容包括矩陣與行列式、線性方程組、線性空間與線性映射、二次型與歐式空間、相似標(biāo)準(zhǔn)形。第四學(xué)期，開設(shè)每周4學(xué)時(shí)的“近世代數(shù)”。主要內(nèi)容包括群、環(huán)與域的基本概念。整數(shù)整除及同余、矩陣空間及線性映射為學(xué)習(xí)群與環(huán)的相關(guān)知識(shí)提供了實(shí)例。要使“近世代數(shù)”摘掉“枯燥、抽象”的帽子，除了盡可能多介紹實(shí)例，更關(guān)鍵的在于理順群、環(huán)與域的關(guān)系，尤其是打通群與域的聯(lián)系，而這正是Galois理論的精髓。

普通師范院校的任務(wù)不只是培養(yǎng)優(yōu)秀的中小學(xué)教師，也肩負(fù)培養(yǎng)優(yōu)秀科研人員的重任，這就需要更多關(guān)注優(yōu)秀學(xué)生的培養(yǎng)。要為優(yōu)秀學(xué)生創(chuàng)造好的學(xué)習(xí)環(huán)境，開闊眼界，除了在硬件方面提供條件，在軟件方面，落到實(shí)處，就需要為優(yōu)秀學(xué)生開設(shè)豐富的選修課。

在日益重視基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的形勢(shì)下，代數(shù)幾何與微分幾何等主流數(shù)學(xué)也日益受到重視。為了減小與歐美等發(fā)達(dá)國(guó)家的差距，國(guó)家在這些方向人才培養(yǎng)與引進(jìn)方面給予了較大投入，也取得了可喜的成績(jī)。即使普通師范院校，為有志于未來從事代數(shù)及相關(guān)方向研究的學(xué)生開設(shè)后續(xù)代數(shù)課程是必要的。因此，后續(xù)的代數(shù)課程，例如“交換代數(shù)”“同調(diào)代數(shù)”“群與代數(shù)表示”“代數(shù)數(shù)論”等，也不應(yīng)該只是出現(xiàn)在重點(diǎn)高校的課程目錄中。在有條件的情況下，應(yīng)該積極為學(xué)生開設(shè)這些選修課程。

對(duì)于普通師范院校代數(shù)類課程設(shè)置改革的總體思路是，按照“初等數(shù)論”—“高等代數(shù)”—“近世代數(shù)”—各類代數(shù)選修課程的開課順序，加強(qiáng)代數(shù)類課程的教學(xué)。這其中需要解決的問題是，如何優(yōu)化各門課程的教學(xué)內(nèi)容，做到銜接有序、過渡自然、步步深入，而這需要賦予具體的教學(xué)實(shí)踐以檢驗(yàn)效果。

4 總結(jié)

結(jié)合教學(xué)實(shí)踐與同行交流的情況，通過分析國(guó)內(nèi)普通師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)代數(shù)類課程設(shè)置存在的問題，借鑒部分高校代數(shù)類課程設(shè)置及內(nèi)容改革的措施與經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了代數(shù)類課程教學(xué)的體會(huì)，提出了對(duì)普通師范院校代數(shù)類課程設(shè)置改革的一些想法，供同行交流參考。