李凌霄 成群林 平 昊 袁楨棣 葉 磊

（上海航天精密機(jī)械研究所，上海 201600）

隨著我國航空航天技術(shù)的發(fā)展，越來越多的新結(jié)構(gòu)、新工藝正應(yīng)用在各類回轉(zhuǎn)體類航天產(chǎn)品中。例如航天薄壁類圓形艙體的內(nèi)壁需要鏜銑加工，艙體內(nèi)腔存在許多凸臺、零件安裝面和通孔等特征需要加工[1]。內(nèi)腔加工專機(jī)是能夠滿足此類機(jī)加工需求的專用設(shè)備，已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用。

航天典型產(chǎn)品的內(nèi)腔加工，刀具路徑為復(fù)雜空間軌跡，加工中專機(jī)的動態(tài)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過幾何誤差等靜態(tài)誤差，是影響加工誤差的主要因素[2]。對內(nèi)腔加工專機(jī)開展機(jī)械動力學(xué)特性的研究與分析是加工動態(tài)誤差辨識與補(bǔ)償，提高內(nèi)腔加工精度與產(chǎn)品質(zhì)量的前提。目前工程中對內(nèi)腔加工專機(jī)進(jìn)行動力學(xué)建模的普遍方法是，設(shè)置專機(jī)CAD 模型的材料數(shù)據(jù)與剛性接觸，采用有限元分析軟件求解固有頻率與振型[3-4]，分析動力學(xué)特性。但是，這種簡化假設(shè)沒有考慮專機(jī)結(jié)合部的動態(tài)剛度特性，根據(jù)研究統(tǒng)計，機(jī)床整機(jī)60%～80%的剛度來自各種結(jié)合部[5]。因此無論是從專機(jī)設(shè)計、裝配和動特性分析，還是從結(jié)構(gòu)修改、建立虛擬樣機(jī)來說，必須考慮專機(jī)結(jié)合部的動態(tài)剛度特性[6]。而且采用有限元分析軟件進(jìn)行的機(jī)械動力學(xué)建模分析為離線模型，不適用于數(shù)字孿生技術(shù)中虛擬實體鏡像物理實體，數(shù)據(jù)實時交互的研究[7]。

本文以立式四軸艙體內(nèi)腔加工專機(jī)為研究對象，基于動態(tài)子結(jié)構(gòu)法建立機(jī)械動力學(xué)模型，求解了專機(jī)結(jié)合部的滾珠絲杠副、直線導(dǎo)軌副動態(tài)剛度。應(yīng)用有限元軟件建立專機(jī)有限元模型，求解結(jié)合部剛性接觸與設(shè)定動態(tài)剛度性的整機(jī)固有頻率與振型，最后對專機(jī)進(jìn)行諧響應(yīng)分析求解了加工振動激勵下的專機(jī)響應(yīng)。

1 基于子結(jié)構(gòu)法的機(jī)械動力學(xué)建模

立式四軸內(nèi)腔加工用于加工大直徑尺寸艙體，如圖1 所示主要由床身、立柱、滑枕、工作臺和主軸部件組成，其中床身為T 型底座與橫梁的固連的整體。各部件由伺服電機(jī)通過絲杠螺母機(jī)構(gòu)驅(qū)動，在直線導(dǎo)軌上往復(fù)運動，并通過光柵尺實現(xiàn)閉環(huán)控制，實現(xiàn)四軸聯(lián)動加工?；砩习惭b有第二回轉(zhuǎn)軸用于適當(dāng)調(diào)節(jié)主軸角度，適應(yīng)特定艙體內(nèi)腔加工面。根據(jù)專機(jī)驅(qū)動形式，可劃分為床身、立柱、滑枕、工作臺和主軸5 個子結(jié)構(gòu)。

圖1 立式四軸艙體內(nèi)腔加工專機(jī)的部件構(gòu)成

建立如圖2 所示坐標(biāo)系，其中A軸不作為四軸聯(lián)動軸?？梢苑治龅弥獙C(jī)的剛性結(jié)合部有床身與機(jī)床墊鐵的地腳螺栓結(jié)合部，滑枕與主軸的螺栓連接剛性結(jié)合部。專機(jī)的動結(jié)合部有X軸的工作臺與床身的絲杠螺母副、直線導(dǎo)軌副結(jié)合部；Z軸的立柱與床身的絲杠螺母副、直線導(dǎo)軌副結(jié)合部；Y軸的立柱與滑枕的絲杠螺母副、直線導(dǎo)軌副結(jié)合部。

圖2 立式四軸艙體內(nèi)腔加工專機(jī)的坐標(biāo)系建立

以機(jī)床床身底部的端點作為整個坐標(biāo)系的原點，根據(jù)振動特點，將機(jī)床簡化為具有20 個自由度的集中參數(shù)動力學(xué)模型，各自由度的分配如下：

q1為 床身沿y軸的平動坐標(biāo)y1；q2為床身繞z軸的轉(zhuǎn)動坐標(biāo) θz1；q3為 床身繞x軸 的轉(zhuǎn)動坐標(biāo) θx1；q4為立柱沿x軸的平動坐標(biāo)x1；q5為立柱沿y軸的平動坐標(biāo)y2；q6為 立柱繞x軸的轉(zhuǎn)動坐標(biāo) θx2；q7為立柱繞z軸的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)θz2；q8為滑枕沿x軸的平動坐標(biāo)x2；q9為滑枕沿z軸的平動坐標(biāo)z1；q10為 滑枕繞y軸的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)θy1；q11為滑枕繞z軸的轉(zhuǎn)動坐標(biāo) θz3；q12為主軸沿x軸的平動坐標(biāo)x3；q13為 主軸沿y軸的平動坐標(biāo)y3；q14為主軸沿z軸的平動坐標(biāo)z2；q15為主軸繞x軸的轉(zhuǎn)動坐標(biāo) θx3；q16為主軸繞z軸的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)θz4；q17為工作臺沿y軸的平動坐標(biāo)y4；q18為工作臺沿z軸的平動坐標(biāo)z3；q19為 工作臺繞x軸 的轉(zhuǎn)動坐標(biāo) θx4；q20為工作臺繞z軸的轉(zhuǎn)動坐標(biāo) θz5。

依照劃分的子結(jié)構(gòu)、建立的坐標(biāo)系，得到內(nèi)腔加工專機(jī)機(jī)械動力學(xué)建模系統(tǒng)簡圖如圖3 所示。

圖3 中ci為各子結(jié)構(gòu)質(zhì)心，ai、bi與di為各子結(jié)構(gòu)質(zhì)心相對位置關(guān)系。

圖3 專機(jī)動力學(xué)建模系統(tǒng)簡圖

用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動方程，拉格朗日方程的一般表達(dá)式[8]為

式中：U、D分別為系統(tǒng)的總勢能、瑞利耗能函數(shù)。

根據(jù)動力學(xué)模型，算得T、U、D，系統(tǒng)的總動能為

系統(tǒng)的瑞利耗能函數(shù)為

式（4）～（6）中，mi（i=1,2,···,5）依次為5個子結(jié)構(gòu)：床身、立柱、滑枕、工作臺和主軸的質(zhì)量；Iφi（φ=x,y,z，i=1,2,···,5）為5 個子結(jié)構(gòu)繞各軸的轉(zhuǎn)動慣量；（ω=x,y,z，α=①,②,···,⑤）為5 個動結(jié)合部的各向線剛度；（ω=x,y,z，α=①,②,···,⑤）為5 個動結(jié)合部的各向角剛度；同理，C為各結(jié)合部阻尼。

將式（4）～（6）代入式（3）中，整理后得專機(jī)動力學(xué)方程

2 專機(jī)結(jié)合部的剛度求解

式（5）中專機(jī)的動力學(xué)方程中各項剛度參數(shù)為各結(jié)合部參數(shù)，專機(jī)的各種結(jié)合部可以分為子結(jié)構(gòu)螺栓連接的剛性接觸結(jié)合部、各移動軸由滾珠絲杠副和直線導(dǎo)軌副組成的動結(jié)合部，針對各結(jié)合部特點，開展求解。

2.1 剛性結(jié)合部的剛度

專機(jī)的剛性接觸部即螺栓結(jié)合部剛度由吉村允孝法[9]求解，根據(jù)螺栓參數(shù)、等效元素個數(shù)由吉村允孝法得表1。

表1 專機(jī)剛性結(jié)合部剛度

2.2 滾珠絲杠副的剛度

對于動結(jié)合部進(jìn)行動力學(xué)建模分析，滾珠絲杠副軸向剛度kx為與滾珠絲杠副相關(guān)聯(lián)的零部件剛度的串聯(lián)總和[10]，絲杠副主要由軸承、絲杠和螺母組件組成，其動力學(xué)模型如圖4 所示。

圖4 滾珠絲杠副的動力學(xué)模型

由此得到絲杠傳動系統(tǒng)的軸向剛度kx可表示為

式中：kx為滾珠絲杠副的軸向剛度；kS為絲杠軸的軸向剛度；kN為螺母組件的軸向剛度；kB為支撐軸承的軸向剛度；kH為螺母座的剛性，N/μm。

絲杠的安裝方式為兩端固定，絲杠軸的軸向剛度由下式求得

式中：A為 絲杠軸的斷面面積，mm2；E為絲杠軸的楊氏模數(shù)；L為安裝間距，mm；a與b為螺母距兩端面的距離，mm。當(dāng)在a=b=的位置時，kS的值為最小，軸向彈性位移量最大為

螺母的軸向剛性kN，支撐軸承的軸向剛性kB與螺母座的軸向剛度kH可通過查詢THK 手冊曲線結(jié)合機(jī)床螺母預(yù)壓情況、使用情況得出[11-12]。綜合以上絲杠螺母的各組成部分剛性，代入式中即可求解絲杠螺母動結(jié)合部的軸向剛性。

絲杠螺母動結(jié)合部的法向剛性計算方法由基于赫茲基礎(chǔ)理論法[13]求解，這里不再贅述。

得到絲桿螺母動結(jié)合部的剛度，其中：軸向剛度kx=3.76×105N/mm，法向剛度為ky=kz=2.13×106N/mm。

2.3 直線導(dǎo)軌副的剛度

建立直線導(dǎo)軌的動力學(xué)模型如圖5 所示。

圖5 直線滾動導(dǎo)軌動力學(xué)建模

滾動導(dǎo)軌承受負(fù)荷時，鋼球、滑塊在容許負(fù)荷范圍產(chǎn)生彈性變形[14]。這時的形變量與外加負(fù)荷之比率就是剛性。由于滾動導(dǎo)軌的徑向間隙影響剛性，因此機(jī)床選THK 品牌標(biāo)準(zhǔn)的C0 間隙即中預(yù)壓，為適用于加工中心的預(yù)壓種類。根據(jù)選定的間隙標(biāo)準(zhǔn)、滑塊形式，查詢手冊可以得到直線導(dǎo)軌的剛性kx′，直線導(dǎo)軌的法向剛度求解方法與滾珠絲杠相同。

得到直線導(dǎo)軌動結(jié)合部的剛度為：軸向剛度kx=2.53×105N/mm，法向剛度為ky=kz=4.78×106N/mm。

將絲杠螺母剛度與直線導(dǎo)軌剛度代入式（5）即可得到專機(jī)考慮了動結(jié)合部剛度的動力學(xué)方程。

3 內(nèi)腔加工專機(jī)動力學(xué)特性分析

3.1 應(yīng)用動態(tài)子結(jié)構(gòu)法求解固有頻率

多自由度系統(tǒng)的固有頻率是通過求解系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程得到的[15]。多自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的運動方程可由式（7）中令C20×20=[0]、Q20×1=[0]，得

式中：[M]為 專機(jī)的質(zhì)量矩陣；[K]為專機(jī)剛度矩陣，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。

設(shè)方程的解為

式中：{A}為 系統(tǒng)自由振動時的振幅向量；ωn為振動頻率，t為時間。

將由式（12）及其對時間的二階導(dǎo)數(shù)代入式（11）中，消去因子后得

求解式（13）常稱為特征值問題。要得到振動解（非零解），必須 {A}的系數(shù)行列式等于零，即

式（14）中剛度矩陣K各元素均已求得，質(zhì)量矩陣M中子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量由三維建模后設(shè)置密度，經(jīng)CAD 軟件求解得到，如表2 所示。

表2 機(jī)床子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量

計算式（14）即可得到基于動態(tài)子結(jié)構(gòu)法的專機(jī)前四階固有頻率為：35.1 Hz、36.9 Hz、76.4 Hz和73.7 Hz。

3.2 應(yīng)用剛性簡化的有限元分析求解固有頻率

在實際機(jī)械設(shè)備設(shè)計中，通常不會考慮動結(jié)合部的剛性問題，將所有結(jié)合部都按照剛性固定方式處理[16]。采用剛性簡化的方式，基于有限元軟件求解專機(jī)的固有頻率。

首先對專機(jī)進(jìn)行合理簡化，去除模型中的螺紋凸緣等特征，其中電機(jī)、轉(zhuǎn)臺、加長桿角度頭、刀具和卡盤等部件采用實體建模、抽殼特征處理。設(shè)置材料屬性如表3 所示。

表3 有限元仿真部件材料屬性設(shè)置

將三維模型導(dǎo)入有限元軟件中建立有限元仿真模型，設(shè)置所有結(jié)合部剛性接觸，劃分網(wǎng)格如圖6所示。

圖6 基于有限元軟件的內(nèi)腔加工專機(jī)有限元建模

模態(tài)分析求解的邊界條件設(shè)置為床身底面與墊鐵的接觸面固定。求得基于動態(tài)子結(jié)構(gòu)法的專機(jī)前四階固有頻率為：40.2 Hz、42.9 Hz、90.6 Hz 和91.7 Hz。

3.3 應(yīng)用設(shè)置動結(jié)合部剛度的有限元法求解固有頻率

為驗證建立考慮動結(jié)合部剛性的子結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型正確性，利用有限元軟件設(shè)置動結(jié)合部剛性，為簡化計算處理，將各子結(jié)構(gòu)接觸面處剛性固連，在滾珠絲杠副及直線導(dǎo)軌處設(shè)置動結(jié)合部，求解專機(jī)固有頻率。模態(tài)分析的材料設(shè)置、網(wǎng)格劃分及邊界條件與剛性簡化計算一致。

設(shè)置專機(jī)的動結(jié)合部（X軸的工作臺與床身的絲杠螺母副、直線導(dǎo)軌副結(jié)合部；Z軸的立柱與床身的絲杠螺母副、直線導(dǎo)軌副結(jié)合部；Y軸的立柱與滑枕的絲杠螺母副、直線導(dǎo)軌副結(jié)合部）的剛度進(jìn)行模態(tài)分析。代入動結(jié)合部法向與切向的剛度，如圖7a 所示，在各絲杠螺母副的結(jié)合處設(shè)置3 個彈簧單元模擬結(jié)合部剛度。

如圖7b 所示，以床身與工作臺的動結(jié)合部為例，以床身絲杠螺母與工作臺、床身導(dǎo)軌與工作臺滑塊的接觸面法向建立X方向彈簧單元，以右手系建立X方向、Z方向彈簧單元。設(shè)置所有彈簧單元的剛度，完成動結(jié)合部剛度定義。

圖7 專機(jī)動結(jié)合部設(shè)置

由此可以求解專機(jī)含動結(jié)合部剛度的固有頻率為34.2 Hz，38.2 Hz、78.6 Hz 和79.4 Hz。

專機(jī)的前四階振型如圖8 所示。

從圖8 可知專機(jī)的機(jī)械動力特性，一階振型為立柱與主軸頭繞Y軸的偏擺，二階振型為立柱與主軸頭繞Z軸的轉(zhuǎn)動，三階振型為立柱與床身繞Z軸的扭轉(zhuǎn)，四階振型變化為主軸頭滑枕繞X軸的扭轉(zhuǎn)。根據(jù)固有頻率與振型分析研究結(jié)果表明：（1）主軸部件的動力響應(yīng)對刀尖點的動力響應(yīng)貢獻(xiàn)最大，應(yīng)選用高剛性的鏜銑動力頭、加長桿角度頭，并加強(qiáng)主軸部件與A軸回轉(zhuǎn)臺的剛性連接。（2）立柱組件與床身組件的動結(jié)合處中導(dǎo)軌滑塊的跨距較小，致使二階振型立柱組件繞Z軸轉(zhuǎn)動幅度較大，應(yīng)在該處選用高剛性大尺寸導(dǎo)軌滑塊，并適當(dāng)增大跨距。針對上述結(jié)構(gòu)修改后，較大幅度提高了整機(jī)的動態(tài)性能。

3 種求解方法得到的專機(jī)前四階固有頻率為如表4 所示。

表4 含動結(jié)合部剛度求解的專機(jī)固有頻率

可以看出，結(jié)合部動態(tài)參數(shù)的描述是影響機(jī)床整機(jī)動力學(xué)性能的重要因素，特別是對于高階固有頻率特性計算，影響更為明顯。因此研究動結(jié)合部的動態(tài)剛度，對于求解機(jī)床動力學(xué)特性有著重要意義。由表4 的數(shù)據(jù)可知，本文建立的考慮結(jié)合部動態(tài)剛度的子結(jié)構(gòu)法可以正確求解專機(jī)動力學(xué)模型，求解固有頻率與振型，建立的動力學(xué)方程可以應(yīng)用到數(shù)字孿生動力學(xué)仿真應(yīng)用中。

3.4 內(nèi)腔加工專機(jī)的諧響應(yīng)分析

模態(tài)分析只能求得設(shè)備本身的固有頻率與振型，而諧響應(yīng)分析可求得機(jī)床在不同頻率簡諧載荷作用下的位移響應(yīng)，對于分析加工過程中刀具振動對專機(jī)加工精度的影響具有重要意義。

在刀具刀尖部添加大小為F=F0sinωt，F(xiàn)0=200 N，方向垂直于動平臺的應(yīng)力幅值；簡諧力的頻率變化范圍為0～200 Hz（專機(jī)工作中刀具與工件振動激勵的頻率范圍）；設(shè)置載荷子步數(shù)為50；其余邊界條件按計算的動結(jié)合部剛性設(shè)置（理論方法）。得到刀尖點處X、Y、Z的3 個方向上的位移響應(yīng)結(jié)果（振幅與頻率的關(guān)系）如圖9 所示。

圖9 內(nèi)腔加工專機(jī)的刀尖點幅頻特性曲線

在激勵頻率為38 Hz、79 Hz 時響應(yīng)較大，并且刀尖點X、Y、Z三個方向均產(chǎn)生了較大響應(yīng)，在其他頻率處沒有發(fā)生共振，并且38 Hz 與機(jī)床前兩階固有頻率吻合，79 Hz 與第三階固有頻率相吻合，為該機(jī)床的敏感頻率，因此在專機(jī)在機(jī)加工時應(yīng)避開上述振動頻率，從而保證加工精度和效率。

4 結(jié)語

本文基于動態(tài)子結(jié)構(gòu)法對立式四軸艙體內(nèi)腔加工專機(jī)進(jìn)行機(jī)械動力學(xué)建模，求解了專機(jī)動結(jié)合部滾珠絲杠副和直線導(dǎo)軌副的動態(tài)剛度特性。結(jié)果顯示建立的含動態(tài)剛度的動力學(xué)模型能夠有效鏡像專機(jī)動力學(xué)特性，可以準(zhǔn)確表達(dá)專機(jī)的真實動態(tài)性能，可應(yīng)用于專機(jī)的動力分析與數(shù)字孿生虛擬樣機(jī)研究。