羅 靜 康先強(qiáng)

（①重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400054；②重慶理工大學(xué)汽車零部件先進(jìn)制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400054）

錐齒輪機(jī)床銑齒切削力研究一直是切削過程研究的重點(diǎn)問題，同時(shí)也是銑齒振動(dòng)刀具磨損、工藝參數(shù)優(yōu)化等研究的基礎(chǔ)。目前對(duì)銑齒切削力建模的方法主要包括3 種：一是根據(jù)金屬切削理論，將切削力表達(dá)為進(jìn)給量、主軸轉(zhuǎn)速和背吃刀量等加工參數(shù)的函數(shù)，但這種方法需要進(jìn)行大量的正交實(shí)驗(yàn)，確定加工參數(shù)前面的系數(shù)；二是機(jī)械模型，將刀具切削刃沿軸向進(jìn)行離散，對(duì)離散后的微段切削刃進(jìn)行求解，對(duì)微段切削刃積分即可求解出刀具上的切削力；三是根據(jù)簡(jiǎn)化切削力模型，將切削力當(dāng)作切削面積和切削力系數(shù)的乘積，其中切削力系數(shù)由刀具材料和齒坯材料決定。

對(duì)于上述模型，國外Yang Y[1]、Pradeep K B[2]、Korkut I[3]等學(xué)者分別對(duì)其進(jìn)行了相應(yīng)的應(yīng)用。Andersson C[4]建立了一種適用于多齒加工的切削力模型，對(duì)各參數(shù)與總切削力之間的影響進(jìn)行了分析。國內(nèi)賈新杰[5]通過正交實(shí)驗(yàn)標(biāo)定銑削力系數(shù)，并對(duì)瞬時(shí)切削面積進(jìn)行推導(dǎo)，建立了成形法加工螺旋錐齒輪大輪切削力模型，但銑削力系數(shù)是通過正交實(shí)驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定，應(yīng)用效率需要進(jìn)一步提高。王勇[6]采用切入法加工螺旋錐齒輪大輪的原理，推導(dǎo)了齒坯、刀具和機(jī)床坐標(biāo)系的關(guān)系模型。石銳[7]等人根據(jù)材料Johnson-Cook 本構(gòu)方程和斜角切削理論，對(duì)剪切區(qū)的剪切應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，并結(jié)合瞬時(shí)切削面積構(gòu)建展成法粗銑小輪的銑削力模型。Zheng F Y[8]等人對(duì)展成法加工螺旋錐齒輪過程中的未變形切屑面積進(jìn)行了歸納總結(jié)，在此基礎(chǔ)上提出了一種高效、準(zhǔn)確的面銑切削力預(yù)測(cè)模型。

本文通過推導(dǎo)成形法銑齒過程中的瞬時(shí)未變形切削面積，結(jié)合剪切區(qū)應(yīng)力計(jì)算結(jié)果，構(gòu)建了成形法加工螺旋錐齒輪大輪的瞬時(shí)切削力模型，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)對(duì)理論模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 成形法銑齒加工原理

成形法加工螺旋錐齒輪時(shí)，首先需要調(diào)整齒坯安裝角和刀具位置，使其保持正確的相對(duì)位置。在銑齒加工過程中，齒坯和刀盤的相對(duì)位置保持不變，齒坯保持不動(dòng)，刀盤旋轉(zhuǎn)并沿著刀盤軸線方向進(jìn)給，齒輪齒形取決于刀具形狀，其加工原理如圖1 所示。當(dāng)完成一個(gè)齒的加工后，刀具退刀，齒坯旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分度，并進(jìn)行下一個(gè)齒的加工，循環(huán)該切削過程，直至完成所有齒的加工。

圖1 成形法銑齒加工原理圖

2 未變形切屑切削寬度和厚度計(jì)算

2.1 刀片產(chǎn)形面方程

在成形法加工螺旋錐齒輪大輪時(shí)，內(nèi)外刀片切削刃繞著刀盤中心旋轉(zhuǎn)形成兩個(gè)圓錐面，建立其刀盤坐標(biāo)系如圖2 所示。

圖2 成形法加工大輪刀盤坐標(biāo)系

根據(jù)成形法加工大輪的刀盤坐標(biāo)系，可得到內(nèi)外刀片的產(chǎn)形面方程為

式中：(μ,θ) 為 刀片產(chǎn)形面上的動(dòng)點(diǎn)參數(shù)；rc為內(nèi)外刀片刀尖點(diǎn)處半徑，其中rc=r0±0.5W，r0為刀盤名義半徑，W表示刀錯(cuò)距，外刀取“ +”，內(nèi)刀取“-”。αm為 內(nèi)外刀片齒形角，m=(e,i)，其中e表示外刀取“+”，i表示內(nèi)刀取“-”。

2.2 螺旋錐齒輪大輪面錐方程

螺旋錐齒輪切削加工過程中，刀盤上的外刀片和內(nèi)刀片首先與大輪面錐接觸，因此首先建立大輪面錐坐標(biāo)系Sa，并在軸交錯(cuò)點(diǎn)處建立大輪坐標(biāo)系S2。當(dāng)齒坯完成設(shè)計(jì)后，大輪齒坯各參數(shù)值均為已知，如圖3 所示。

圖3 大輪面錐坐標(biāo)系及大輪坐標(biāo)系示意圖

根據(jù)大輪面錐坐標(biāo)系Sa，可得到大輪面錐方程為

式中：(p,β)表 示大輪面錐上的動(dòng)點(diǎn)參數(shù)；B表示大輪齒面寬；δa表示大輪面錐角；M為面錐頂點(diǎn)與軸交錯(cuò)點(diǎn)之間的距離。

2.3 成形法銑齒機(jī)床加工坐標(biāo)系

圖4 為成形法加工螺旋錐齒輪大輪的機(jī)床坐標(biāo)系，其包含的錐齒輪機(jī)床調(diào)整參數(shù)分別為床位zj，水平刀位H、垂直刀位V、水平輪位X2和錐齒輪機(jī)床安裝根錐角 δM2。

圖4 成形法加工螺旋錐齒輪大輪機(jī)床坐標(biāo)系

因此，刀片產(chǎn)形面方程可通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，變換到機(jī)床坐標(biāo)系中，其方程可表達(dá)為

式中：Mmt為刀盤坐標(biāo)系St變換到機(jī)床坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

同理大輪面錐方程變換到機(jī)床坐標(biāo)系中，其方程為

式中：Mmf、Mf2、Ma2為面錐坐標(biāo)系變換到機(jī)床坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

因此，可得到在機(jī)床坐標(biāo)系中，刀片產(chǎn)形面方程和大輪面錐方程的交線方程為

為了得到刀盤上內(nèi)外刀片的切入切出角度，即內(nèi)外刀片在切入切出角范圍內(nèi)對(duì)齒坯進(jìn)行切削。因此，需對(duì)內(nèi)外刀片的切入切出角度進(jìn)行計(jì)算，刀盤切入切出齒坯的相對(duì)位置如圖5 所示。

圖5 刀具和齒坯相對(duì)位置示意圖

因此，可求得切入角 θst、切出角 θex分別如式（6）、式（7）所示，其中k為刀盤轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。

2.4 瞬時(shí)未變形切削寬度和厚度計(jì)算

在成形法銑齒過程中，為簡(jiǎn)化研究對(duì)象，假定在銑齒加工過程中，任意時(shí)刻只有單個(gè)刀齒參與切削，即相鄰刀片刀刃之間的距離大于齒線長(zhǎng)度，其滿足任意時(shí)刻只有一個(gè)刀齒參與切削的條件為：

其中：r0為刀盤名義半徑，ZH為刀盤上的刀齒數(shù)，B為齒面寬，βM為大輪中點(diǎn)螺旋角。

螺旋錐齒輪銑齒過程中，刀盤以轉(zhuǎn)速n旋轉(zhuǎn)，其切削方向?yàn)榈侗P的切向，同時(shí)刀具沿著刀具軸線方向進(jìn)給，當(dāng)?shù)毒咛幱诖筝喨X高Hg位置時(shí)，刀具與齒坯進(jìn)行接觸，切削開始，當(dāng)移動(dòng)到床位Zj=0 時(shí)，刀片刀尖平面與齒槽底平面相切，完成一個(gè)齒的加工，刀具退刀同時(shí)齒坯進(jìn)行分度，進(jìn)行下一個(gè)齒的切削，不斷循環(huán)直至完成所有齒的加工，刀盤上刀齒的分布情況如圖6 所示。

圖6 刀片在刀盤上的安裝位置示意圖

其中，相鄰刀片的夾角即節(jié)距角 φ1=2π/ZH，每齒進(jìn)給量fc=f/(nZH)，床位zj(t)=Hg-fct。

則刀片j在任意時(shí)刻的轉(zhuǎn)角為

式中：j取奇數(shù)表示外刀片，j取偶數(shù)表示內(nèi)刀，j=1,2,···,ZH。

對(duì)于外刀片而言，當(dāng)軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)的床位保持在0 ≤zj(t)≤Hg時(shí)，且刀片任意時(shí)刻轉(zhuǎn)角保持在2kπ+θst≤θ(t)≤2kπ+θex時(shí)（即在切入切出角范圍內(nèi)），其中k為刀盤旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，將 (θ(t),zj(t))代入機(jī)床坐標(biāo)系里所建立的交線方程中可求得uej(θ(t),zj(t))。

因此，外刀片主切削刃的瞬時(shí)未變形切削寬度和厚度分別為

由于在實(shí)際加工過程中，螺旋錐齒輪的齒槽是刀具頂刃切削形成，因此在計(jì)算中需要考慮頂刃的影響，其瞬時(shí)未變形切削寬度和厚度分別為

式中：Sb為刀頂寬，Sb=(0.5-0.75)W，W為刀錯(cuò)距。

同理可求得內(nèi)刀片主切削刃的瞬時(shí)未變形切削寬度和厚度分別為

內(nèi)刀片頂刃的瞬時(shí)未變形切削寬度和厚度分別為

其中：內(nèi)外刀齒主切削刃和頂刃切削時(shí)的瞬時(shí)未變形切削寬度和厚度如圖7 所示。

圖7 瞬時(shí)切削寬度和厚度示意圖

3 剪切區(qū)應(yīng)力計(jì)算

JC 本構(gòu)模型是一類描述應(yīng)變、應(yīng)變率、溫度影響關(guān)系的函數(shù)，根據(jù)斜角切削理論及材料的JC本構(gòu)模型可計(jì)算得到材料的剪切區(qū)應(yīng)力τ即單位橫截面切削力，其具體公式如下[9]。

在等效平面上對(duì)非等分剪切區(qū)模型進(jìn)行應(yīng)用，可得到材料JC 本構(gòu)方程中剪切區(qū)的剪切應(yīng)變 ξ、剪切應(yīng)變率計(jì)算公式為

由于在成形法銑齒過程中，刀具的切削刃方向和切削速度方向并不垂直，成一夾角，因此滿足斜角切削理論，因此可根據(jù)斜角切削理論對(duì)剪切流動(dòng)角 ηs、等效平面角 ηe進(jìn)行計(jì)算。

同理需要對(duì)法向剪切角 φn、法向前角 αn、流屑角 ηc的值進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)斜角切削理論，法向前角的計(jì)算公式如下。

在斜角切削中，法向前角 αn、法向剪切角 φn、摩擦角 β滿足Merchant 公式[10]。

根據(jù)Schulz 公式[11]，刀屑面上的平均摩擦系數(shù)和摩擦角的關(guān)系為

式中：f為平均摩擦系數(shù)，f0、p為常數(shù)值，取其典型值f0=0.704，p=-0.2048。

切屑速度Vc可根據(jù)斜角切削的理論公式計(jì)算得到

式中：根據(jù)Stabler 法則[12]，當(dāng)刃傾角較小時(shí)(λs≤15。)，流屑角 ηc和刃傾角近似相等。本文所采用的刀具刃傾角為5°，滿足條件，因此有

對(duì)于剪切區(qū)速度分布特性參數(shù)q，在進(jìn)行塑性材料加工時(shí)，低速切削取q=3，高速切削取q=7[13];本文采用的齒坯材料為42CrMo4 結(jié)構(gòu)鋼，其本構(gòu)模型常數(shù)為[14]A=595 MPa，B=580 MPa，C=0.023，m=1.03，n=0.133，=0.0011 s-1，Tr=1 793 K，Tm=293 K。

4 刀齒切削力建模

成形法銑齒過程中，刀片上所受到瞬時(shí)切削力的大小由齒輪齒坯材料的單位橫截面切削力和瞬時(shí)切削面積決定，瞬時(shí)切削面積的計(jì)算取決于瞬時(shí)未變形切削寬度和厚度。因此，任意時(shí)刻t，刀片j上的瞬時(shí)切向切削力FTqj由主切削刃切向切削力FTqm和頂刃切向切削力FTqv合成；刀片j上的瞬時(shí)徑向切削力FNqj由主切削刃徑向切削力FNqm和頂刃徑向切削力FNqv合成；刀片j上的瞬時(shí)軸向切削力FZqj由主切削刃軸向切削力FZqm和頂刃軸向切削力FZqv合成，其結(jié)果分別為

如圖8 所示，將刀片j主切削刃和頂刃的切向、徑向、軸向切削力分解到刀盤坐標(biāo)系下的x、y、z這3 個(gè)方向，則第j個(gè)刀片沿坐標(biāo)軸在3 個(gè)方向的瞬時(shí)切削力為

圖8 刀片j 受力分布情況圖

5 切削力程序編制及試驗(yàn)驗(yàn)證

5.1 切削力計(jì)算程序編制

為了得到成形法銑齒過程中，任意時(shí)刻t的切削力，使用Matlab 編程，對(duì)刀具上的切削力進(jìn)行求解。其求解思想為，將齒槽沿著齒高方向進(jìn)行分層，刀盤從第一圈開始進(jìn)行循環(huán)，依次判斷刀盤上每個(gè)刀齒是否參與切削。如果參與切削，則計(jì)算參與切削刀片主切削刃和頂刃的切削寬度和厚度，如果未參與切削，則進(jìn)入下一個(gè)刀齒的計(jì)算，當(dāng)?shù)侗P上所有刀齒都判斷完成后，跳出該層循環(huán)，刀盤進(jìn)入下一圈，重新開始上述循環(huán)，直至完成一個(gè)齒槽的加工。

最后根據(jù)斜角切削理論和材料本構(gòu)方程計(jì)算剪切應(yīng)力τ，結(jié)合上述求解的瞬時(shí)切削面積，叢而對(duì)銑齒過程中3 個(gè)方向的瞬時(shí)切削力進(jìn)行求解，其求解流程如圖9 所示。

圖9 切削力計(jì)算流程圖

5.2 切削力試驗(yàn)驗(yàn)證

（1）切削力測(cè)量設(shè)備

本次實(shí)驗(yàn)由于測(cè)力儀裝上后，導(dǎo)致機(jī)床限位，無法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)大輪齒坯進(jìn)行切削，選擇在小齒坯上進(jìn)行一次切削。使用小齒坯進(jìn)行切削，只是對(duì)大輪齒坯幾何參數(shù)、機(jī)床調(diào)整參數(shù)的數(shù)值進(jìn)行了改變，但使用成形法加工所需的參數(shù)及加工原理并未發(fā)生變化，因此仍然可以使用該方法對(duì)成形法加工螺旋錐齒輪大輪的理論切削力模型進(jìn)行驗(yàn)證。根據(jù)成形法加工原理，將刀具調(diào)整到切齒位置，保持齒坯位置和刀具的相對(duì)位置不變，進(jìn)行一次切削。

實(shí)驗(yàn)所采用的機(jī)床為YKH2235 數(shù)控螺旋錐齒輪銑齒機(jī)。設(shè)備安裝時(shí)，測(cè)力儀的一端與主軸連接，刀盤固定在測(cè)力儀的另一端，并在機(jī)床工裝上安裝相應(yīng)的定子部分，如圖10。當(dāng)進(jìn)行切削加工時(shí)，由于切削力的作用，測(cè)力儀內(nèi)部的石英晶體（轉(zhuǎn)子）會(huì)產(chǎn)生電信號(hào)，電信號(hào)通過定子與轉(zhuǎn)子間的電磁感應(yīng)，將信號(hào)傳輸給定子（如表1）。定子與電荷放大器相連，將傳輸來的電荷信號(hào)進(jìn)行放大，再傳輸給數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)與計(jì)算機(jī)進(jìn)行連接，在DynoWare 軟件界面上實(shí)時(shí)顯示被測(cè)切削力。

表1 切削力測(cè)量?jī)x器

圖10 切削力測(cè)量設(shè)備

（2）實(shí)驗(yàn)過程

為了保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，在刀盤安裝在測(cè)力儀上面后，需要采用百分表檢查主軸、測(cè)力儀和刀盤的同軸度，保證跳動(dòng)誤差小于0.01 mm。將測(cè)力儀外定子的信號(hào)傳輸線與電荷放大器連接，同時(shí)將電荷放大器與數(shù)據(jù)采集器相連，再通過USB 連接線與計(jì)算機(jī)進(jìn)行連接。連接完成后，在測(cè)量前需要在DynoWare 采集軟件中對(duì)數(shù)據(jù)采集過程進(jìn)行相關(guān)參數(shù)設(shè)定。完成設(shè)定后，3 個(gè)方向銑削力采集量程為1 500 N；采集頻率為 1 000 Hz；在機(jī)床主軸開始旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)擊開始記錄，切削完成后點(diǎn)擊結(jié)束。

（3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中所選用的齒坯參數(shù)和銑刀盤主要參數(shù)如表2 所示。

表2 成形法加工齒坯幾何參數(shù)和銑刀盤參數(shù)

主軸轉(zhuǎn)速為n=120 r/min，進(jìn)給速度為20 mm/min的加工參數(shù)下，進(jìn)行銑齒切削力的測(cè)量。其測(cè)量結(jié)果可在DynoWare 切削力采集軟件中實(shí)時(shí)顯示，其結(jié)果如圖11 所示。

圖11 銑齒切削力實(shí)測(cè)結(jié)果

從圖11 中，可以發(fā)現(xiàn)在前段切削力平穩(wěn)變化時(shí)，為主軸空轉(zhuǎn)，其切削力數(shù)值依然在上下波動(dòng)，其原因?yàn)闇y(cè)力儀和刀盤自重引起的，此時(shí)刀齒未切入工件。當(dāng)切削力有一個(gè)變大趨勢(shì)段，刀齒開始切入齒坯。在后期進(jìn)行實(shí)驗(yàn)切削力數(shù)據(jù)處理時(shí)，會(huì)將測(cè)力儀和刀盤自重產(chǎn)生的切削力進(jìn)行相應(yīng)的減法運(yùn)算，其中扭矩參數(shù)Mz不在單獨(dú)考慮，因扭矩參數(shù)可轉(zhuǎn)換為切削力數(shù)據(jù)。為了進(jìn)一步對(duì)切削力數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別對(duì)X、Y、Z這3 個(gè)方向切削力數(shù)據(jù)導(dǎo)出，并截取其穩(wěn)定切削時(shí)刻22.16～22.43 s 內(nèi)的切削力數(shù)據(jù)。將其3 個(gè)方向切削力的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算結(jié)果在同一圖中進(jìn)行繪制，如圖12～14 所示。

圖12 X 方向切削力

圖13 Y 向切削力

從圖14 中可以看出切削力理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化趨勢(shì)基本一致，X、Y、Z方向刀齒切削力變化都是先增大后降低，即每個(gè)刀齒切入齒坯時(shí)，切削寬度先增大后減??；Y向切削力是隨著方向交錯(cuò)變化的；Z向切削力中，力的幅值最小。統(tǒng)計(jì)每個(gè)波峰的實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算切削力最大值差值的絕對(duì)平均值，可以得出X方向切削力的相對(duì)誤差為9.24%，Y方向切削力的相對(duì)誤差為13.18%，Z方向切削力的相對(duì)誤差為13.25%，各方向切削力的相對(duì)誤差均在0～14% 的誤差范圍內(nèi)，因此所建立的模型具有一定的精度。

圖14 Z 向切削力

6 結(jié)語

（1）通過推導(dǎo)成形法加工螺旋錐齒輪過程中的瞬時(shí)未變形切削面積，結(jié)合齒坯材料剪切區(qū)應(yīng)力計(jì)算結(jié)果，構(gòu)建了成形法加工螺旋的切削力模型，并使用Matlab 編寫了仿真計(jì)算程序。

（2）設(shè)計(jì)銑齒實(shí)驗(yàn)，對(duì)理論模型進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，在X、Y、Z這3 個(gè)方向上切削力的理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)誤差分別為9.24%、13.18%，13.25%。理論切削力模型計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差在14% 范圍內(nèi)，說明所建立的切削力模型具有較好的精度，為錐齒輪機(jī)床的設(shè)計(jì)，銑齒振動(dòng)、刀具磨損研究等奠定了理論基礎(chǔ)。