李 超， 何英姿， 胡 勇1,

1. 北京控制工程研究所,北京 100094 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100094

0 引 言

截至2021年，大約有4500顆衛(wèi)星在軌運(yùn)行，在廣播通信、天氣預(yù)報(bào)、資源測(cè)繪、水資源監(jiān)測(cè)等軍事和民用領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用[1].有很多衛(wèi)星在運(yùn)行期間出現(xiàn)故障[2].對(duì)于高價(jià)值的失效衛(wèi)星，空間機(jī)器人在軌維修是延長(zhǎng)衛(wèi)星壽命的一種有效方法[3-4].

消旋是指施加外部力矩衰減空間目標(biāo)角速度的過(guò)程.根據(jù)目標(biāo)與消旋機(jī)構(gòu)的接觸狀態(tài)，消旋方式分為接觸式和非接觸式.兩類(lèi)方式各有特點(diǎn).接觸式執(zhí)行機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)，消旋力矩更大；非接觸式安全性更高，碰撞風(fēng)險(xiǎn)更小.

在接觸式消旋中，有一種由空間機(jī)械臂操縱柔性消旋刷觸碰目標(biāo)的方案，吸引了大量國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.段文杰等[5]設(shè)計(jì)基于消旋刷線彈性接觸力模型的前饋控制器，有效抑制接觸力對(duì)空間機(jī)械臂基座姿態(tài)的擾動(dòng).吳昊等[6]設(shè)計(jì)基于計(jì)算力矩法的滑?？刂疲行Э朔擞上⒁氲臋C(jī)械臂末端參數(shù)不確定性.LIU等[7]采用Jourdain速度變分原理建立消旋系統(tǒng)模型，模擬了消旋刷和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng).WANG等[8]設(shè)計(jì)章動(dòng)目標(biāo)接觸消旋最優(yōu)控制律.CHENG等[9]設(shè)計(jì)一種根據(jù)目標(biāo)角速度幅值調(diào)整接觸點(diǎn)的消旋策略.

目前已有的接觸消旋研究成果通常不考慮航天器撓性附件的影響.然而，對(duì)于含有大型太陽(yáng)帆板的失效衛(wèi)星，撓性附件的影響不可忽略.比如消旋刷施加的接觸力矩作為持續(xù)激勵(lì)的干擾源，會(huì)激發(fā)目標(biāo)的撓性振動(dòng)[10]，增加對(duì)象模型不確定性，加大控制器設(shè)計(jì)難度.因此，有必要研究考慮撓性振動(dòng)抑制的接觸消旋控制方法.

針對(duì)航天器撓性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制控制，現(xiàn)今主要有主動(dòng)控制和被動(dòng)控制兩種方法[11].主動(dòng)控制方法的思路是首先在帆板上安裝智能材料作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，然后設(shè)計(jì)抑制帆板振動(dòng)的控制算法.常見(jiàn)算法有速度反饋控制[12]、獨(dú)立模態(tài)控制[13]、正位移反饋控制[14]等.被動(dòng)控制的主要思想是盡量減小中心本體控制系統(tǒng)對(duì)撓性振動(dòng)的激發(fā)，主要有設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)濾波器、添加阻尼裝置等方法.

還有一類(lèi)基于航天器本體執(zhí)行器的集中式姿態(tài)控制方法.這類(lèi)方法的思路是將撓性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)視為干擾或模型不確定性，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制[15]、自適應(yīng)控制[16]、模糊控制[17]、最優(yōu)控制[18]等方法，通過(guò)本體的執(zhí)行器抑制撓性振動(dòng).

本文將特性模型理論[19-20]應(yīng)用到失效衛(wèi)星接觸消旋控制問(wèn)題中，提出一種基于特征模型的撓性振動(dòng)抑制方法，并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證所提方法的有效性.

1 接觸消旋系統(tǒng)模型

1.1 模型描述

圖1描述了典型的接觸消旋場(chǎng)景.上方為翻滾的失效衛(wèi)星，它由衛(wèi)星本體和一對(duì)撓性太陽(yáng)帆板組成.Oxyz是目標(biāo)本體坐標(biāo)系，O為目標(biāo)質(zhì)心，ωx、ωy、ωz為目標(biāo)繞本體坐標(biāo)系的角速度，x軸是目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)軸，H是目標(biāo)角動(dòng)量，φ為目標(biāo)章動(dòng)角.服務(wù)衛(wèi)星處于目標(biāo)旋轉(zhuǎn)軸的正下方，它包含空間機(jī)械臂和一只柔性消旋刷.

圖1 接觸消旋場(chǎng)景Fig.1 Contact detumbling scene

圖2是接觸消旋過(guò)程的典型情況示意圖.左側(cè)為服務(wù)衛(wèi)星，右側(cè)為失效衛(wèi)星，目標(biāo)繞質(zhì)心O旋轉(zhuǎn).圖2(a)為接觸前示意圖，服務(wù)衛(wèi)星借助攜帶的敏感器估計(jì)目標(biāo)位姿信息，通過(guò)消旋控制算法計(jì)算得到消旋刷位置；圖2(b)為接觸時(shí)示意圖，服務(wù)衛(wèi)星通過(guò)機(jī)械臂操控消旋刷到預(yù)定位置，觸碰目標(biāo)本體上平行于x軸的棱邊S1S2，消旋刷發(fā)生彈性形變，吸收目標(biāo)動(dòng)能，轉(zhuǎn)化為自身彈性勢(shì)能，衰減目標(biāo)角速度；圖2(c)為接觸后示意圖，消旋刷與目標(biāo)帆板脫離，服務(wù)衛(wèi)星調(diào)整姿態(tài)，回到圖2(a)的狀態(tài)，等待與目標(biāo)的下一次接觸.將圖2(a)與圖2(c)稱(chēng)為非接觸段、圖2(b)稱(chēng)為接觸段.

1.2 失效衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)模型

自由旋轉(zhuǎn)失效衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：I為目標(biāo)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；ω=[ωx,ωy,ωz]T為目標(biāo)的角速度；η=[ηl,ηr]T為帆板的撓性振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)，ηl、ηr分別對(duì)應(yīng)左右帆板撓性模態(tài)；Br=[Brl,Brr]為轉(zhuǎn)動(dòng)耦合系數(shù)矩陣，Brl、Brr分別對(duì)應(yīng)左右帆板耦合系數(shù)矩陣.

撓性振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

式中：ξ為帆板的模態(tài)阻尼系數(shù)；ωf=diag{ωl,ωr}為帆板的模態(tài)頻率矩陣；ωl、ωr分別對(duì)應(yīng)左右帆板模態(tài)頻率.

圖2 接觸消旋過(guò)程示意圖Fig.2 Schematic diagram of contact process

1.3 控制力矩模型

接觸消旋的執(zhí)行機(jī)構(gòu)是一個(gè)消旋刷，結(jié)構(gòu)如圖3所示.消旋刷由剛性連桿、固定底座和多根柔性毛刷構(gòu)成.剛性連桿被固定在空間機(jī)械臂的末端，用以保證機(jī)械臂與目標(biāo)間的安全距離.

圖3 消旋刷結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure diagram of detumbling brush

圖4是發(fā)生接觸碰撞時(shí)的示意圖.S1S2是目標(biāo)本體上平行于x軸的一側(cè)棱邊，E是目標(biāo)質(zhì)心，P是S1S2的中點(diǎn).將多根柔性毛刷的影響等效為單根消旋刷，用GF表示.

圖4 接觸碰撞示意圖Fig.4 Contact collision diagram

消旋時(shí)GF觸碰S1S2，隨著目標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)，消旋刷發(fā)生形變，接觸初始時(shí)刻消旋刷所在直線為GF′.

E1E是S1S2與GF′的公垂線.設(shè)rG、rF′、rS1、rS2、rE1、rE為G、F′、S1、S2、E1、E的位置坐標(biāo)，則rE1、rE可以通過(guò)求解方程得到[8].

(3)

在初始接觸時(shí)刻，E1與E重合，GF′與S1S2相交于E.由于GF與S1S2接觸的時(shí)間非常短，接觸點(diǎn)在S1S2上的位置變化很小，因此將E近似作為接觸點(diǎn)，并近似認(rèn)為GF、GF′共面.

應(yīng)用線彈性接觸力模型，可得接觸時(shí)目標(biāo)受到的正壓力fN和摩擦力fS的大小分別為

(4)

fS=μS·fN

(5)

其中uE為E相對(duì)GF′的距離，EI為材料的抗彎剛度，lGE為GE的長(zhǎng)度.

圖4中，fN⊥fS，fN與EE1的夾角為

(6)

fN的三維空間表達(dá)式為

(7)

其中n1為描述fN方向的向量，表達(dá)式為

(8)

同理，fS的三維空間表達(dá)式由式(9)、(10)計(jì)算得出.

(9)

(10)

設(shè)O到E的位置向量為rOE，則接觸力矩為

T=rOE×(fN+fS)

(11)

接觸消旋系統(tǒng)含有兩個(gè)控制量：接觸初始時(shí)刻消旋刷深入量u1和接觸點(diǎn)的偏移量u2.在圖4中，u1=|E1F′|，u2=sign(u2)·|PE|，

采用文獻(xiàn)[21]的分離式接觸消旋策略，用u1衰減x軸角速度ωx，用u2衰減y軸角速度ωy，而z軸的角速度ωz依靠三軸角速度之間的耦合關(guān)系衰減.

綜上，當(dāng)消旋刷與目標(biāo)發(fā)生接觸時(shí)，消旋對(duì)象的表達(dá)式為

(12)

2 基于特征模型的消旋控制

在撓性航天器接觸消旋時(shí)，目標(biāo)最大慣量軸存在明顯撓性振動(dòng).本節(jié)首先建立描述最大慣量軸撓性振動(dòng)角速度的特征模型，然后基于特征模型設(shè)計(jì)撓性振動(dòng)抑制控制律，最后給出撓性航天器消旋的控制律u1和u2.

2.1 撓性振動(dòng)系統(tǒng)的特征建模

設(shè)目標(biāo)的最大慣量軸為x軸，建立x軸的撓性振動(dòng)特征模型.僅考慮單一通道，忽略其他通道的耦合，接觸時(shí)角速度的動(dòng)力學(xué)方程可以寫(xiě)為

(13)

其中：Brx、Tx分別為x通道的轉(zhuǎn)動(dòng)耦合系數(shù)和消旋力矩；Ix為x通道的慣性矩.

設(shè)存在與目標(biāo)慣量、尺寸、初值完全相同的剛性失效衛(wèi)星，將其在相同接觸力矩下的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為參考運(yùn)動(dòng).將參考運(yùn)動(dòng)的x軸角速度記為ω0，在接觸時(shí)ω0滿足

(14)

設(shè)存在時(shí)變比例系數(shù)λ(t)，使得

(15)

則式(13)可以寫(xiě)為

(16)

設(shè)消旋系統(tǒng)采樣周期為Δt，對(duì)目標(biāo)在采樣時(shí)刻的角速度ωx[(k+1)Δt]泰勒展開(kāi)，得

式中，0

(17)

(18)

其中λ(k)=λ(kΔt).同理，對(duì)參考運(yùn)動(dòng)在采樣時(shí)刻的角速度ω0[(k+1)Δt]做相同處理，得

(19)

其中0

(20)

其中ωe=ωx-ω0為角速度偏差量，它由撓性附件的振動(dòng)耦合引起.稱(chēng)ωe為撓性振動(dòng)角速度.

設(shè)θ為接觸段目標(biāo)繞x軸的轉(zhuǎn)角，使用微分中值定理，寫(xiě)出Tx在點(diǎn)(u0,θ0)=(0,0)處的一階泰勒展開(kāi)式為

Tx=bu1+F

(21)

(22)

其中

(23)

定義壓縮函數(shù)，將Δ壓縮到特征參數(shù)中，令

(24)

其中N>0，是一個(gè)小的常數(shù).將式(24)代入式(22)得

(25)

最終的特征模型表達(dá)式為

ωe(k+1)=f1(k)ωe(k)+g0(k)u1(k)

(26)

特征參數(shù)f1(k)、g0(k)分別為

(27)

(28)

建模誤差為

由圖2可知，接觸消旋存在“間歇性”控制特點(diǎn).接觸段的接觸力矩T≠0，非接觸段的接觸力矩T=0.因此特征模型式(26)也符合該特性，非接觸段u1(k)=0.

2.2 控制器設(shè)計(jì)

(29)

圖5 接觸時(shí)刻時(shí)間軸示意圖Fig.5 Timeline diagram of contact detumbling

首先，將ωx拆分為ωx=ω0+ωe.ω0和ωe的定義與2.1節(jié)相同.對(duì)u1的控制要求是盡快衰減ω0，同時(shí)保證ωe盡量小.

針對(duì)ω0，采用PD控制律

u10(k)=Kp1ω0(k)+Kd1[ω0(k)-ω0(k-1)]

(30)

其中Kp1、Kd1是u10的比例和微分系數(shù).

針對(duì)ωe，基于特征模型式設(shè)計(jì)撓性振動(dòng)抑制反饋控制律

(31)

(32)

u10與u1f有不同的控制需求.一方面，u10要保證ω0盡快衰減到零，需要接觸力矩越大越好；另一方面，u1f要保證ωe盡量小，需要接觸力矩衰減ωe時(shí)避免激發(fā)撓性振動(dòng).為同時(shí)滿足這兩種需求，整合u10與u1f，令

u′1=(1-γ)u10+γu1f

(33)

其中γ為常數(shù)，滿足0<γ<1.通過(guò)調(diào)節(jié)γ平衡控制需求：增大γ，衰減ωe的比重更大；減小γ，抑制ω0的比重更大.

(34)

其中0≤i≤n-1，ωepre(k)=ωe(k)，n為預(yù)測(cè)的第m次接觸持續(xù)的時(shí)間步長(zhǎng)，由前(m-1)次接觸時(shí)間估計(jì)得出.設(shè)ωeb為根據(jù)消旋任務(wù)指標(biāo)預(yù)設(shè)的誤差帶(ωeb>0)，當(dāng)|ωepre(k+n)|>ωeb時(shí)，施加預(yù)測(cè)控制律

(35)

式中,l2為小的正常數(shù).

最后，根據(jù)上述PD控制、撓性振動(dòng)抑制反饋控制、預(yù)測(cè)控制設(shè)計(jì)u1的控制律為

u1=(1-γ)u10+γu1f+u1fpre

(36)

針對(duì)y軸角速度ωy，設(shè)計(jì)控制律u2為

u2(k)=sgn(ωy(k))·{Kp2|ωy(k)|+
Kd2[|ωy(k)|-|ωy(k-1)|]}

(37)

其中Kp2、Kd2是u2的比例和微分系數(shù).

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本文提出控制方法的有效性，對(duì)非合作失效衛(wèi)星接觸消旋進(jìn)行仿真.選取目標(biāo)前3階撓性模態(tài)，各階模態(tài)頻率及目標(biāo)尺寸如表1所示.

表1 目標(biāo)參數(shù)Tab.1 Target parameters

目標(biāo)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)為

(38)

太陽(yáng)帆板的轉(zhuǎn)動(dòng)耦合系數(shù)矩陣為

(39)

(40)

采用的消旋刷參數(shù)如表2所示.初始時(shí)刻目標(biāo)的角速度為[15,2,3]T(°)/s.

表2 消旋刷參數(shù)Tab.2 Brush parameters

仿真中目標(biāo)三軸角速度曲線如圖6所示.當(dāng)t<1 000 s時(shí)，目標(biāo)轉(zhuǎn)速較高，為了保證消旋過(guò)程的快速性，不采用撓性振動(dòng)抑制，u1采用的控制律為u1(k)=u10(k)，u10由式(30)給出，u2采用的控制律為式(37).當(dāng)t>1 000 s時(shí)，目標(biāo)轉(zhuǎn)速較低，為了保證消旋過(guò)程的平穩(wěn)性，提高控制精度，采用撓性振動(dòng)抑制控制律，u1的控制律變?yōu)槭?36)，u2不變.該圖表明，消旋刷的接觸力矩在衰減目標(biāo)角速度的同時(shí)，成為擾動(dòng)源，激發(fā)了目標(biāo)的撓性振動(dòng)，且目標(biāo)最大慣量軸角速度ωx的撓性振動(dòng)問(wèn)題最突出.

圖6 三軸角速度曲線Fig.6 Angular velocity component curve

圖7為x軸及相關(guān)角速度曲線圖7(a).為實(shí)際角速度ωx；圖7(b)為ωx經(jīng)實(shí)時(shí)濾波后的角速度，對(duì)應(yīng)2.1節(jié)的ω0；圖7(c)為角速度偏差量ωe，ωe=ωx-ω0.ωe反映了撓性振動(dòng)幅度的大小.當(dāng)t<1 000 s時(shí)，ωe幅值較大；當(dāng)t>1 000 s時(shí)，|ωe|<1(°)/s，表明ωe被有效抑制.

圖8-9分別是左右帆板的撓性模態(tài)曲線.該圖表明，當(dāng)t>1 000 s時(shí)，目標(biāo)的撓性振動(dòng)被有效抑制，說(shuō)明了本文方法的有效性.

圖10是控制量曲線.(a)(b)分別是控制量u1和u2的曲線，其中圖10(a)為u1的各分量變化曲線，“-u1fpre”表示u1fpre反號(hào)后的曲線.控制器在消旋刷與目標(biāo)即將發(fā)生接觸前根據(jù)當(dāng)前目標(biāo)角速度更新控制量，當(dāng)消旋刷與目標(biāo)接觸時(shí)以及與目標(biāo)分離后，控制量不發(fā)生改變.

圖11為接觸力矩曲線.當(dāng)消旋刷與目標(biāo)接觸時(shí)，接觸力矩作用于目標(biāo)上實(shí)現(xiàn)消旋；隨著目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)，消旋刷與目標(biāo)分離，接觸力矩為零，體現(xiàn)“間歇性”控制特點(diǎn).

圖7 x軸及相關(guān)角速度曲線Fig.7 ωx and associated angular velocity curve

圖8 左側(cè)帆板撓性模態(tài)Fig.8 Flexible mode displacement of left solar array

圖9 右側(cè)帆板撓性模態(tài)Fig.9 Flexible mode displacement of right solar array

圖10 控制量曲線Fig.10 Control variable curve

圖11 接觸力矩曲線Fig.11 Contact torque curve

4 結(jié) 論

針對(duì)含有撓性振動(dòng)的非合作失效衛(wèi)星接觸消旋控制問(wèn)題，提出一種基于特征模型的自適應(yīng)控制方法.通過(guò)描述目標(biāo)撓性振動(dòng)角速度的特征模型，并基于該模型設(shè)計(jì)了自適應(yīng)撓性振動(dòng)抑制控制器，有效衰減了接觸力矩激發(fā)的撓性振動(dòng).仿真結(jié)果表明通過(guò)采用本文的控制方法，目標(biāo)的角速度被有效衰減且激發(fā)的撓性振動(dòng)小.