張巧衛(wèi)

（榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 榆林 719000）

0 引 言

對(duì)角矩陣作為一種特殊的矩陣，有重要的理論意義及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。不過，存在一類非對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣相似，稱之為可對(duì)角化的矩陣，因此，關(guān)于矩陣的可對(duì)角化問題是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)基本問題［1］。近年來，可對(duì)角化在量子信息的量子相干理論中有著廣泛的應(yīng)用［2-5］。矩陣?yán)碚撝惺熘囊粋€(gè)結(jié)果是：n階方陣是可對(duì)角化的當(dāng)且僅當(dāng)它有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。文獻(xiàn)［6］中利用矩陣可以對(duì)角化的判定以及如何求矩陣的線性無關(guān)的特征向量完全可以歸納為矩陣乘法的原理，使得可以同步求解矩陣的特征值與特征向量，從而得出矩陣可對(duì)角化更為直接的簡(jiǎn)單判定；文獻(xiàn)［7］證明了域上的有限維向量空間上的線性算子可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)它的極小多項(xiàng)式是域上的互異一次因式之積，并利用線性算子的特征值的初等對(duì)稱多項(xiàng)式給出了上述結(jié)論的另一個(gè)證明。2 個(gè)可對(duì)角化的矩陣的同時(shí)對(duì)角化問題是在研究穩(wěn)定平衡的“最小振動(dòng)”力學(xué)問題時(shí)發(fā)現(xiàn)的，后來有學(xué)者考慮了相似的矩陣是否可以同時(shí)對(duì)角化的問題。一個(gè)著名的結(jié)論是：2個(gè)可對(duì)角化的矩陣可經(jīng)一個(gè)相似變換同時(shí)對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)它們可交換。

Hilbert空間上有界線性算子的對(duì)角化問題是算子理論關(guān)注的重要課題。已知的主要結(jié)論有：正規(guī)緊算子可以對(duì)角化[8]，即它在一個(gè)正規(guī)正交基下可以表示為一個(gè)對(duì)角矩陣。但是，目前尚未發(fā)現(xiàn)關(guān)于多個(gè)線性算子的可同時(shí)對(duì)角化的相關(guān)結(jié)論。本文研究復(fù)數(shù)域上有限維Hilbert空間上的多個(gè)線性算子在同一正規(guī)正交基下的同時(shí)對(duì)角化問題，并給出所獲結(jié)論在量子相干理論中的一個(gè)應(yīng)用。

1 多個(gè)算子的同時(shí)對(duì)角化

定理1設(shè)T1,T2,…,Tm∈B(H)都是正規(guī)算子，則算子組{T1,T2,…,Tm}是可同時(shí)對(duì)角化的，當(dāng)且僅當(dāng)它是交換組，即其中的算子兩兩交換。

證明不妨設(shè)T1,T2,…,Tm都不是數(shù)乘算子，必要性由式（3）可知。

用歸納法證明充分性。

當(dāng)m=2 時(shí)，設(shè){T1,T2}是正規(guī)算子構(gòu)成的交換組，則由引理1知{T1,T2}是可同時(shí)對(duì)角化的。

再由命題4 知：算子組{T1,T2,…,Tm}?B(H)是可同時(shí)對(duì)角化的。于是證明了充分性對(duì)任意m個(gè)正規(guī)算子也成立。證畢。

2 多個(gè)量子態(tài)的同時(shí)非相干性

量子相干性資源理論由自由態(tài)、資源和自由操作所構(gòu)成。自由態(tài)由不相干量子態(tài)表示，資源態(tài)由相干量子態(tài)表示，自由操作由不相干量子運(yùn)算表示。作為量子力學(xué)的獨(dú)有特性之一，量子相干是量子理論的重要資源，量化量子態(tài)的相干性［9-10］通常被視為度量量子態(tài)的疊加程度。量子相干性已被廣泛應(yīng)用于納米熱力學(xué)［11-12］、量子算法［13-16］，以及相干性蒸餾［17］等多個(gè)領(lǐng)域，并在量化波粒二象性的方面發(fā)揮了作用［18-20］。因此，討論是否存在正規(guī)正交基使得一組量子態(tài)可以同時(shí)對(duì)角化的問題，對(duì)量子相干態(tài)的刻畫和度量研究是十分有意義的。