盧鵬旭 渠文倩 岳正

（華北理工大學數(shù)學建模創(chuàng)新實驗室，河北唐山 063210）

0.引言

由于過度開墾，塞罕壩的森林植被遭到嚴重破壞，為了改變地貌和保護土壤，369名年輕人來到了荒野。此后，他們戰(zhàn)勝了一個又一個自然災害，克服了許多技術困難。經(jīng)過塞罕壩人的不斷努力，過去的廣闊荒野變成了今天的茫茫綠洲。

1.問題考慮

考慮到背景信息和限制條件，我們需要解決2個問題：（1）找出有關賽罕壩恢復前后的相關指標和數(shù)據(jù)，并建立一個模型來分析塞罕壩恢復后對周圍環(huán)境的影響，以便比較賽罕壩恢復前后的環(huán)境狀況。（2）建立一個數(shù)學模型來分析賽罕壩在抗沙塵暴能力方面的影響，并說明賽罕壩在抵御沙塵暴中的所起的作用。

2.思維構(gòu)建

2.1 比較環(huán)境恢復前后的狀況

我們確定了10個指標，分別為森林覆蓋率、自生維管植物種數(shù)[1]、氧氣釋放量、二氧化碳吸收量等，繪出了評價體系圖。為了體現(xiàn)出塞罕壩恢復前和恢復后各種指標上的鮮明對比，我們獲取了恢復前1962年和恢復后2002—2021年的各個指標數(shù)據(jù)，并構(gòu)造矩陣。首先用熵權法確定各指標的權重，接著用TOPSIS算出每年的打分，最后繪出得分趨勢圖來觀察生態(tài)恢復前后的得分。

2.2 分析林場在抗沙塵暴方面的影響

首先繪出關聯(lián)圖分析沙塵暴和各種指標之間的關系，從而評估了沙塵暴的數(shù)量對各種指標的影響，接著確定影響沙塵暴的生態(tài)環(huán)境指標包括森林覆蓋面積、森林體積和水源涵養(yǎng)等。通過灰色關聯(lián)分析，分析沙塵暴的影響和確定的4個生態(tài)環(huán)境指標。然后觀察沙塵暴與各指標的關聯(lián)度，便可以定量分析出指標與沙塵暴之間的關系。思維導圖見圖1和圖2。

圖1 比較環(huán)境恢復前后的思維導圖

圖2 分析林場抵御沙塵暴的思維導圖

3.假設

首先假設該模型采用的動態(tài)指標的動態(tài)范圍在允許誤差范圍內(nèi)。以調(diào)查日期為標準，波動不影響最終結(jié)果。接著假設該模型中的數(shù)據(jù)精度在可執(zhí)行范圍內(nèi)，通過熵權法獲得的權重可用于模型評分。

4.符號（見表1）

表1 本文使用的關鍵數(shù)學符號

5.模型一：環(huán)境評估模型

5.1 數(shù)據(jù)搜集

我們收集了塞罕壩林場保護前1962年和保護后2002—2021年的指標數(shù)據(jù)。各指標分別為森林覆蓋率、自生維管植的物種數(shù)目、落葉松占地面積、氧氣再生率、城市空氣質(zhì)量達標天數(shù)、二氧化碳吸收量、樹木蓄積量、地表水合格率、游客人數(shù)和旅游收入。

5.2 模型建立

首先利用熵權法確定指標的權重：n個評價對象和m個正向化后的指標構(gòu)成的正向化矩陣：

對于標準化的矩陣Z中的每個元素：

經(jīng)過上一步處理得到的非負矩陣：

5.3 問題解決

我們按照每年的得分畫出了一個趨勢圖，如圖3所示。通過趨勢圖可以看到，得分總體上隨著年份增加而增加，表明賽罕壩林場修復后的環(huán)境狀況較修復前明顯改善。

圖3 塞罕壩各年份得分趨勢圖

6.模型二：分析抵御沙塵暴的作用模型

6.1 數(shù)據(jù)搜集與分析

我們搜集了1980—2021年北京市的沙塵暴次數(shù)、森林覆蓋率、森林覆蓋面積（萬畝）、林木蓄積（萬立方米）、涵養(yǎng)水量（億立方米）數(shù)據(jù)。為方便觀察，我們做出了5個指標的關聯(lián)趨勢圖[2]。對趨勢圖初步分析可以得出：（1）沙塵暴次數(shù)和節(jié)水趨勢趨于平緩；（2）森林覆蓋面積、森林覆蓋率和森林體積呈上升趨勢；（3）森林體積增加明顯；（4）在未來幾年內(nèi)，植被覆蓋面積、森林覆蓋率和森林體積之間的差距將更大。

6.2 模型建立

讓x0為母序列（沙塵暴），xi為子序列（森林覆蓋率、覆蓋面積、林木蓄積和涵養(yǎng)水量），兩極最小差為a，兩極最大差是b。y[x0(k)，x1(k)]為灰色關聯(lián)矩陣。ρ為分辨系數(shù)，我們?nèi)?.5[3]。

x0與xi的灰色關聯(lián)度:

6.3 問題解決

預處理可以消除量綱對之后分析的影響，而且縮小變量范圍簡化計算。所以對變量森林覆蓋率x1、覆蓋面積x2、林木蓄積x3、涵養(yǎng)水量x4的數(shù)據(jù)進行預處理（結(jié)果保留4位小數(shù)）：先求出每個指標的均值，再用該指標中的每個元素都除以其均值。

接著分別求出|x0-x1|，|x0-x2|，|x0-x3|，|x0-x4|在各年份的值。求出兩極最小差a為0.1840，兩極最大差b為7.7035。得出森林覆蓋率的灰色關聯(lián)度：9.4185；覆蓋面積的灰色關聯(lián)度：9.4185；林木蓄積的灰色關聯(lián)度：9.5658；涵養(yǎng)水量的灰色關聯(lián)度：9.5310。

觀察出林木蓄積的灰色關聯(lián)度最高，它在對抵御沙塵暴中的影響最大，北京在1980—2021年抵御沙塵暴的能力受到林木蓄積的影響最大。

7.靈敏度分析

對于比較環(huán)境恢復前后的模型，我們使森林覆蓋率、自生維管植物種數(shù)、落葉松的占地、氧氣釋放量、市區(qū)空氣質(zhì)量達標天數(shù)、二氧化碳吸收量、林木蓄積、地表水水質(zhì)達標率、旅游人次這9個指標的數(shù)值保持不變，改變其中一個參數(shù)。

使旅游收入在1962年和2002年之后的數(shù)據(jù)上下調(diào)動5%和10%，使用熵權法確定權重，用TOPSIS得出歸一化得分。用Excel繪制出旅游收入上下變化后的結(jié)果的折線圖。

如圖4所示，得分隨選定指標的變化較穩(wěn)定。所以模型在實際應用中效果較穩(wěn)定。

圖4 靈敏度分析圖

8.模型評價

8.1 優(yōu)點

本文選用的熵權法是客觀確定權重的方法，相較于層次分析法等主觀法而言具有一定的精確性，該方法確定出的權重可以進行修正，從而決定了其適應性較高的特點。

本文采取的TOPSIS模型可充分利用原始數(shù)據(jù)信息，結(jié)果能精確地反映各評價方案之間的差距，數(shù)據(jù)分布和樣本含量無嚴格限制，計算簡單易行。

8.2 缺點

第一問的模型建立當中，二氧化碳的吸收量和氧氣的變化量等動態(tài)指標可能會對模型的最終結(jié)果造成影響。

擬合只能得到2個指標之間的聯(lián)系，不能作為最終的決定標準，而我們直接套用了擬合函數(shù)會對最終結(jié)果造成誤差。