姜 曼

（西安交通工程學(xué)院公共課部，陜西西安 710300）

0 引 言

模糊集是處理不確定信息的有力工具［1］，在實(shí)際生活應(yīng)用中，模糊集也發(fā)揮了一定的作用［2-3］，但客觀世界中不相容兩極性問(wèn)題也不能忽視.基于此，Zhang［4］提出了雙極值模糊集理論；Lee［5］定義了雙極值模糊集的一些運(yùn)算和基本性質(zhì)，雙極值模糊集首次將不相容兩極性引入到模糊集理論中，為分析和解決帶有不相容特性的大數(shù)據(jù)問(wèn)題提供了新的思路和方法.近年來(lái)，關(guān)于雙極值模糊集在代數(shù)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用研究從未間斷，進(jìn)一步拓展了雙極值模糊集的應(yīng)用領(lǐng)域.如：索南仁欠和華毛加［6］研究了雙極值模糊集的距離與測(cè)度，給出了定義并研究其性質(zhì)；王金英和王艷平［7］把雙極值模糊集、猶豫模糊集和軟集相結(jié)合，并在決策中研究了一些應(yīng)用；王豐效［8］在半群中定義了雙極值模糊子半群，得到了一些重要的結(jié)論.其余更多關(guān)于雙極值模糊集與代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合的研究可見(jiàn)文獻(xiàn)［9-14］.

布爾代數(shù)在代數(shù)結(jié)構(gòu)中占有重要的位置，現(xiàn)階段，用模糊集的拓展和雙極值模糊集對(duì)布爾代數(shù)的研究從未間斷.陳露［15］研究了布爾代數(shù)的子代數(shù)以及理想等推理規(guī)則；劉衛(wèi)鋒［16］研究了布爾代數(shù)的模糊點(diǎn)子代數(shù)，給出布爾代數(shù)的模糊點(diǎn)子代數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)化判斷定理；傅小波等［17］研究了布爾代數(shù)的猶豫模糊理想；姜曼和彭家寅［18］在布爾代數(shù)中研究了IV 猶豫模糊子代數(shù).用雙極值模糊集研究布爾代數(shù)并不多見(jiàn)，本文擬對(duì)布爾代數(shù)中的一個(gè)推理準(zhǔn)則——理想進(jìn)行研究.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1［19］稱二元運(yùn)算+，?的代數(shù)系統(tǒng)為布爾代數(shù)，如果R至少含有2 個(gè)不同元，且有：

（1）?a，b，c∈R，a+b=b+a，ab=ba，且ab為a?b；

（2）a(b+c)=ab+ac，a+(bc)=(a+b)(a+c)；

（3）(a+b) +c=a+ (b+c)，(ab)c=a(bc)；

（4）?0，1 ∈R，a+ 0 =a，a1=a；

（5）?a∈R，?aˉ∈R，滿足a+aˉ= 1，aaˉ= 0.

定理1.1［19］設(shè)為布爾代數(shù)，?a，b∈R，有：

定義1.4［4］設(shè)?+：X→[0，1]和?_：X→[0，1]是2 個(gè)映射，稱?={(x，??(x)，?+(x))|x∈X}是X上的一個(gè)雙極值模糊集，簡(jiǎn)記為?= (??，?+).記X上的全體雙極值模糊集為BVF(X).

定義1.5［11］設(shè)?∈BVF(X)，ψ∈BVF(X)，稱??ψ為?和ψ的交集，這里

設(shè)?∈BVF(X)，[s，t]∈[ ?1，0]×[0，1]，稱集合N(?，s) ={x∈X|??(x) ≤s}為?= (??，?+)的負(fù)s-截集，集合P(?，t) ={x∈X|?+(x) ≥t} 為?=(??，?+) 的正t- 截集 . 稱集合C(?，[s，t]) =N(?，s) ?P(?，t)為?= (??，?+)的(s，t)-截集.

2 布爾代數(shù)的乘積型雙極值模糊點(diǎn)理想

定義2.1 設(shè)?∈BVF(R)，若?a，b∈R，如果下面條件成立：

（1）?+(a+b)≥?+(a)?+(b)，??(a+b)≤??(a)??(b)；

（2）?+(ab) ≥?+(b)，??(ab) ≤??(b).則稱?是R的乘積型雙極值模糊點(diǎn)理想. 記為?∈BVFI(R).

定理2.1 設(shè)?∈BVFI(R)，?a，b∈R，且a≤b，則?+(a) ≥?+(b)，??(a) ≤??(b).

證明 由于a≤b，可得a=ab，于是?+(a) =?+(ab) ≥?+(b)，??(a) =??(ab) ≤??(b).

推論2.1 設(shè)?∈BVFI(R)，?a∈R，則有?+(0)≥?+(a)，??(0) ≤??(a).

定理2.2 設(shè)?∈BVFI(R)，則U={a∈R|?+(a)=1，??(a)=1}≠?是R的理想.

證明 ?a，b∈U，則有?+(a)=?+(b)=1. 于是?+(a+b)≥?+(a)?+(b)=1，??(a+b)≤??(a)??(b)=1.即?+(a+b) = 1，??(a+b) = 1.故a+b∈U；

?a，b∈U，則?+(a) = 1，??(b) = 1. 于 是?+(ab) ≥?+(a) = 1，??(ab) ≤??(b) = 1.故ab∈U.所以，U={a∈R|?+(a) = 1，??(a) = 1}≠?是R的理想.

定理2.5 設(shè)f：R→R′是同態(tài)滿射，ψ∈BVF(R)，若ψ∈BVFI(R)，則f(ψ) = ((f(ψ))?，(f(ψ))+) ∈BVFI(R′)，其中

定義2.2 設(shè)?∈BVF(X)，ψ∈BVF(Y)，定義映射：

定理2.6 設(shè)?∈BVFI(R1)和ψ∈BVFI(R2)，則直積?×ψ∈BVFI(R1×R2).

類似地，可證

3 結(jié)束語(yǔ)

作為模糊集一個(gè)重要的分支，雙極值模糊集對(duì)研究布爾代數(shù)有非常重要的理論意義.一般情況下主要研究布爾代數(shù)的理想以及濾子，是在模糊集的基礎(chǔ)上研究布爾代數(shù).本文基于數(shù)乘定義的基礎(chǔ)，在布爾代數(shù)中研究了乘積型雙極值模糊點(diǎn)理想，討論其性質(zhì)，日后將嘗試把雙極值模糊集，軟集和布爾代數(shù)相結(jié)合研究軟濾子以及軟理想等問(wèn)題.