汪成詠，王序巖

（北京交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，北京 100044）

0 引 言

向量值函數(shù)積分，是普通（數(shù)值的）函數(shù)積分在向量值函數(shù)空間上的推廣［1］.在分析數(shù)學(xué)的各個不同分支中［2］，由于核函數(shù)在不同領(lǐng)域的要求不同，所以需要引入向量值函數(shù)或向量值測度的積分［3］.在研究低維向量值函數(shù)空間上的有界線性算子的過程中，需要將廣義泛函中的Riesz 表現(xiàn)定理推廣到向量值函數(shù)空間［4］，這便是本文的研究意義.

本文先考慮C0與希爾伯特空間之間的有界線性算子的表現(xiàn)定理［5］，把閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)空間上的有界線性泛函的Riesz 表現(xiàn)定理推廣到局部緊的Hausdorff 空間上［6］，最終得到定義域是Hausdorff空間、值域是Banach 空間的向量值積分的Riesz 表現(xiàn)定理.

1 主體內(nèi)容

如果σ是有界變差的可數(shù)可加H-值向量測度，則

其中

于是

Fx是C0(Ω)上的有界線性泛函，

由Riesz 表現(xiàn)定理，存在Ω上唯一正則標(biāo)量值的Borel 測度σx使得

且

于是與前一部分的討論一樣，存在Ω上可數(shù)可加的H 值向量測度σ，使得對于Ω的任意Borel 可測子集E，有

于是

依H 范數(shù)收斂.由此可表示為

故式( 3 )成立.

2 結(jié)束語

本文的主要內(nèi)容包含3 個定理，分別用向量測度和空間同構(gòu)的方式得到了從C0(Ω，H)到H、從C0(Ω，H)到C、從C0(Ω)到H的3 類有界線性算子的表現(xiàn)定理具體結(jié)構(gòu)，把閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)空間上的有界線性泛函的Riesz 表現(xiàn)定理推廣到局部緊的Hausdorff 空間上，這個結(jié)論還是比較重要的.

作者在文［19］中通過引入H值緩增分布的方式，借助其Fourier 變換的特征得到了Banach 空間值的L2到L2空間上的有界線性算子的結(jié)構(gòu)和范數(shù)的精確等式，但是在研究Banach 空間值的L1到L1空間上的有界線性算子的結(jié)構(gòu)時，卻發(fā)現(xiàn)之前的方式走不通，于是開始嘗試從向量測度、算子測度以及全變差測度的角度來度量算子結(jié)構(gòu)，在這個問題上將廣義泛函上的Riesz 表現(xiàn)定理推廣到向量值函數(shù)空間上就顯得尤為重要了.