韓 超，龍 文

（首都師范大學(xué)物理系，北京 100048）

0 引 言

2004 年，英國曼徹斯特大學(xué)物理和天文學(xué)系教授Novoselov 等［1］用機(jī)械剝離方法成功制備出了石墨烯，并于2010 年獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).石墨烯晶格由2 個(gè)不等價(jià)子格構(gòu)成，導(dǎo)帶和價(jià)帶在2 個(gè)不等價(jià)的Dirac 點(diǎn)以圓錐形相切［2-3］，這2 個(gè)Dirac 點(diǎn)手性相反，組成一個(gè)時(shí)間反演對，這使得二維石墨烯具有獨(dú)特的電子特性［4-8］，如具有半整數(shù)量子霍爾效應(yīng)［9］，沒有背散射［10］等.石墨烯獨(dú)特的電子結(jié)構(gòu)使得其可以通過柵壓［11］、磁場調(diào)控［12-14］、化學(xué)摻雜［15］和邊緣缺陷［16］修飾其性能.

雙層石墨烯［17-21］是由2 層石墨烯經(jīng)范德華力耦合在一起，每層含2 個(gè)子格，分別稱為A 子格和B 子格，通常有2 種堆疊形式，AA 和AB 堆疊（即伯納爾形式堆疊）.雙層石墨烯在許多方面表現(xiàn)出與單層石墨烯截然不同的性質(zhì)，如量子霍爾效應(yīng)［14，17］、邊態(tài)［22］、弱局域態(tài)［23］、無序［24］和最小電導(dǎo)率［25-26］以及其他有趣現(xiàn)象［27-29］.通過外加電場［30-31］等方式可以連續(xù)調(diào)整零能量點(diǎn)附近的帶隙，改變電荷密度分布［17］，誘導(dǎo)低密度鐵磁性［32］.

當(dāng)頂層石墨烯相對于底層石墨烯層旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)會(huì)形成轉(zhuǎn)角石墨烯，可顯著改變雙層石墨烯的電子能帶.轉(zhuǎn)角石墨烯所具有的扭轉(zhuǎn)自由度進(jìn)一步豐富了雙層石墨烯的物理性質(zhì)，使轉(zhuǎn)角石墨烯成為探索電子奇特性質(zhì)［33-37］、光學(xué)［38-41］以及范德華異質(zhì)結(jié)構(gòu)熱行為［42-43］的重要元件.轉(zhuǎn)角石墨烯的一個(gè)顯著例子是魔角，即其以一個(gè)小扭角（如1.08°）錯(cuò)位，在費(fèi)米能級附近具有平帶［33，35，37］.最近的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí)，這些扭角誘導(dǎo)的平帶，產(chǎn)生了非常規(guī)的超導(dǎo)性［33］以及相關(guān)（莫特）絕緣狀態(tài)［34］.這些發(fā)現(xiàn)激發(fā)了大量的理論和實(shí)驗(yàn)工作，試圖闡明魔角石墨烯潛在的物理性質(zhì)和應(yīng)用［35，38-39，44-50］.轉(zhuǎn)角石墨烯可以作為高階拓?fù)浣^緣體的有力候選材料［48］.

石墨烯納米帶是一種新型量子線，既可看作是條帶狀小尺寸的石墨烯，也可看作是縱向切割碳納米管的產(chǎn)物，是一種新型的準(zhǔn)一維碳納米材料［51-53］.因其特殊的邊緣限域效應(yīng)，使石墨烯納米帶比石墨烯更靈活可控［54］，較高長寬比的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)使得電子在石墨烯納米帶中的橫向移動(dòng)受限，從而只能縱向移動(dòng)導(dǎo)致其具有半導(dǎo)體的性能［55-56］.研究表明，石墨烯納米帶的邊緣構(gòu)型、寬度和層數(shù)對其電學(xué)性能、磁學(xué)性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)等產(chǎn)生決定性影響［57-58］.因此，石墨烯納米帶是一種極具應(yīng)用潛力的新型納米材料.

雙層石墨烯納米帶是由單層石墨烯納米帶通過一定的堆疊方式形成的準(zhǔn)三維結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，包括AA 和AB 堆疊.類似地，用納米帶的邊界形狀來定義雙層石墨烯納米帶，即分為鋸齒型和扶手型.不考慮電子自旋時(shí)，扶手型納米帶的電子特性和納米帶的寬度有關(guān)，寬度為3n+2 時(shí)，體系呈金屬性，其余呈半導(dǎo)體性；而鋸齒型納米帶的能帶在費(fèi)米面附近簡并，體系只呈金屬性［3，59-60］，這在一定程度上限制了雙層鋸齒型石墨烯納米帶在量子器件中的應(yīng)用.

邊緣態(tài)因其獨(dú)特的物理性質(zhì)，在介觀輸運(yùn)中十分重要，這使得邊緣態(tài)在固態(tài)電子學(xué)二維系統(tǒng)中成為研究的一個(gè)熱點(diǎn).改變納米帶邊態(tài)能量［61-63］以及邊緣無序［64］均會(huì)對石墨烯納米帶能帶結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響.對于鋸齒型石墨烯納米帶而言，局域態(tài)一直存在于Dirac 點(diǎn)附近.因此，鋸齒型石墨烯納米帶體現(xiàn)出類金屬行為，這些特性與傳統(tǒng)的半導(dǎo)體量子線的性質(zhì)十分不同，這就為裁制輸運(yùn)和光學(xué)性質(zhì)的石墨烯納米帶提供了可能［65］.因此，本文主要利用無相互作用的緊束縛模型，研究邊界線缺陷對雙層鋸齒型石墨烯納米帶能譜及邊態(tài)的影響.

1 模型和公式

雙層鋸齒型石墨烯納米帶堆疊類型和含線缺陷的單胞如圖1 所示.t0是層內(nèi)最近鄰原子間相互作用，t1是上層A 原子與垂直下層B 原子間的層間相互作用，t2是上層六角中心B 原子與下層最近鄰A原子間的層間相互作用，t3和t4分別是A 原子間和B原子間的最近鄰層間相互作用.本文統(tǒng)一使用藍(lán)色表示上層，黑色表示下層.帶寬沿X方向分為N層，每層含一個(gè)鋸齒鏈，有2 類格點(diǎn)原子，一類位于A 格點(diǎn)，另一類位于B 格點(diǎn).每個(gè)單胞含4N個(gè)格點(diǎn)，納米帶沿Y方向具有周期平移不變性.

考慮如圖1（c）和（d）所示的單胞，并讓其兩端向兩側(cè)沿Y方向無限延伸［66-67］.含邊界線缺陷的無限長鋸齒型雙層石墨烯納米帶滿足的等效差分方程為

圖1 雙層鋸齒型石墨烯層間相互作用及單胞

式中

是雙層鋸齒型石墨烯納米帶的單胞格點(diǎn)波函數(shù)，T表示轉(zhuǎn)置，E表示電子能量，H00和H01分別表示占位能矩陣和交疊積分矩陣，I為單位矩陣，這3 個(gè)矩陣都是4N× 4N的.利用雙層鋸齒型石墨烯納米帶沿Y方向具有平移不變性，考慮到波函數(shù)具有Bloch 波形式，可將式（1）改寫為

式中a= 0.246 nm 是石墨烯的晶格常數(shù).求解上述等效差分方程可得到雙層鋸齒型石墨烯納米帶的能帶結(jié)構(gòu)和能量本征波函數(shù).

考慮一個(gè)含雙層鋸齒型石墨烯納米帶的量子輸運(yùn)系統(tǒng)，如耦合到左、右導(dǎo)線的含缺陷AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯帶（圖2）.在最近鄰緊束縛模型近似下，體系的總哈密頓量為

圖2 耦合到左、右導(dǎo)線的含缺陷AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯帶

式中：第1 項(xiàng)H中心區(qū)表示中心區(qū)AB 堆疊含缺陷雙層鋸齒型石墨烯納米帶哈密頓量，在緊束縛近似下可表示為

在格林函數(shù)范式下，雙層鋸齒型石墨烯納米帶的透射概率為

式中：η→0+，I為單位矩陣，ΣrL和ΣrR分別表示中心區(qū)與左、右導(dǎo)線耦合的延遲自能.

體系的局域態(tài)密度（ρDOS）為

2 計(jì)算與討論

本文研究2 種堆疊類型的雙層鋸齒型石墨烯納米帶的能帶結(jié)構(gòu)、導(dǎo)帶底單胞格點(diǎn)波函數(shù)、透射概率和局域態(tài)密度.

2.1 AA 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶

AA 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶的能帶結(jié)構(gòu)如圖3 所示.首先分析邊界線缺陷對能帶結(jié)構(gòu)的影響.由于層間原子A（B）-A（B）之間的躍遷勢，打破了單層石墨烯的空間對稱性，使得其能帶二重簡并被解除，能帶分裂成4條，能帶分裂的程度是上下2 層間A（B）-A（B）之間的躍遷能.tA(tB)表示上（下）邊界線缺陷層間躍遷系數(shù)，ul，A(ul，B)表示各層上（下）邊界線缺陷格點(diǎn)占位能系數(shù).當(dāng)只改變體系上邊界A 子格的層間躍遷系數(shù)，且設(shè)定tA=?15，則次價(jià)帶頂和次導(dǎo)帶底平帶部分的色散關(guān)系會(huì)改變，在費(fèi)米面附近打開一個(gè)能隙；當(dāng)改變層間躍遷系數(shù)的同時(shí)改變邊界線缺陷的占位能系數(shù)，即設(shè)定u1，A=u1，B=?0.3，u2，A=u2，B= 0.3，可知4 條平帶的色散關(guān)系均可以被改變；當(dāng)繼續(xù)增大占位能系數(shù)絕對值，即設(shè)定u1，A=u1，B=?0.8，u2，A=u2，B= 0.8，導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂平帶部分更加遠(yuǎn)離費(fèi)米面，彎曲程度增大.由此可知，通過改變邊界線缺陷的層間躍遷值，能夠打開AA 堆疊雙層鋸齒形石墨烯納米帶的一個(gè)能隙，并且如果同時(shí)改變合適的占位能，會(huì)增大能隙的寬度，能隙的寬度受占位能嚴(yán)格調(diào)控.

圖3 AA 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶的能帶結(jié)構(gòu)

AA 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶導(dǎo)帶底單胞格點(diǎn)波函數(shù)模隨縱向波矢的演化如圖4所示.本文給出了導(dǎo)帶底的單胞格點(diǎn)波函數(shù)的模與波矢kY的具體關(guān)系，每一種條件展示3 個(gè)波矢，每幅圖中各小圖從上到下依次表示波矢kY= 0.67π、0.80π和0.90π，X軸為單胞格點(diǎn)位置.無缺陷時(shí)，當(dāng)kY從0.67π（Dirac點(diǎn)附近）到π 時(shí)，電子逐漸占據(jù)邊態(tài)，當(dāng)kY=π 時(shí)，電子完全占據(jù)邊態(tài).而如果改變邊界層間躍遷值時(shí)，會(huì)使電子呈現(xiàn)單邊占據(jù)；當(dāng)占位能絕對值較大時(shí)，電子邊態(tài)占據(jù)不明顯，基本呈現(xiàn)均勻分布.并且，本文研究了導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂波函數(shù)分布情況，顯示在無缺陷和只改變邊界層間躍遷時(shí)，導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂?shù)牟ê瘮?shù)分布情況是一致的，而如果改變占位能后，即設(shè)定占位能符號相反時(shí)，導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂?shù)牟ê瘮?shù)分布情況會(huì)呈現(xiàn)上層和下層相反的特點(diǎn).由此可知，邊界層間躍遷和占位能數(shù)值會(huì)影響電子邊態(tài)占據(jù)，但當(dāng)占位能較大時(shí)對邊態(tài)影響不大，同時(shí)，占位能還會(huì)影響電子在上層或下層的分布情況，這取決于上層或下層占位能的符號.

圖4 AA 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶導(dǎo)帶底單胞格點(diǎn)波函數(shù)模隨縱向波矢的演化

AA 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶透射概率和局域態(tài)密度如圖5 所示.對于無缺陷情況而言，AA堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶在E=0 附近的局域態(tài)密度產(chǎn)生了尖峰，這主要是因?yàn)橘M(fèi)米面附近平帶的作用，因?yàn)轶w系橫向子帶的受限，可以在透射概率分布圖上觀察到平臺.當(dāng)改變層間躍遷系數(shù)或者同時(shí)改變層間躍遷系數(shù)和占位能系數(shù)，透射概率和局域態(tài)密度在E=0 附近的范圍內(nèi)為0，說明此時(shí)對應(yīng)的重合能帶被打開.

圖5 AA 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶透射概率和局域態(tài)密度

2.2 AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶

AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶的能帶結(jié)構(gòu)如圖6 所示.首先分析邊界線缺陷對能帶結(jié)構(gòu)的影響，無缺陷AB 堆疊雙層鋸齒形石墨烯能帶結(jié)構(gòu)與單層鋸齒型石墨烯納米帶的能帶結(jié)構(gòu)相似，只是AB 堆疊的雙層鋸齒形石墨烯納米帶能帶在費(fèi)米面附近存在4 條無能隙模連接導(dǎo)帶和價(jià)帶，即在費(fèi)米面附近存在4 條平帶；通過改變體系邊界占位能，設(shè)上層上邊界A 子格和下邊界B 子格占位能系數(shù)為u1，A=u1，B=?0.5，下層上邊界A 子格和下邊界B 子格占位能系數(shù)為u2，A=u2，B= 0.5，在費(fèi)米面附近打開1 個(gè)能隙，但此時(shí)能隙的值較小；當(dāng)上層和下層上邊界A 子格線缺陷占位能系數(shù)為u1，A=u2，A=?0.3，上層和下層的下邊界線缺陷B 子格占位能系數(shù)為u1，B=u2，B= 0.3，打開的能隙寬度較之前增大；繼續(xù)增大占位能系數(shù)，當(dāng)u1，A=u2，A=?0.8，u1，B=u2，B=0.8 時(shí)，平帶的彎曲程度較之前增大，說明邊界線缺陷占位能影響費(fèi)米面附近平帶部分的彎曲程度，且費(fèi)米面附近打開的能隙寬度也增大.由此可知，邊界線缺陷的占位能會(huì)改變費(fèi)米面附近能帶的彎曲程度，并且通過改變合適的占位能符號和數(shù)值，可以在費(fèi)米面附近打開能隙，能隙的寬度受占位能絕對值影響.

圖6 AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶的能帶結(jié)構(gòu)

AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶導(dǎo)帶底單胞格點(diǎn)波函數(shù)模隨縱向波矢的演化如圖7 所示.本文給出導(dǎo)帶底的單胞格點(diǎn)波函數(shù)模與波矢kY的具體關(guān)系，每一種條件展示3 個(gè)波矢，每幅圖中各小圖從上到下依次表示波矢kY= 0.67π、0.80π和0.90π，X軸為單胞格點(diǎn)位置.當(dāng)kY從0.67π（Dirac 點(diǎn)附近）到π時(shí)，對于無缺陷情況，電子占據(jù)分布較為均勻；隨著波矢的增加，當(dāng)kY= 0.80π 時(shí)，改變邊界缺陷的占位能，會(huì)使電子占據(jù)邊態(tài)的優(yōu)勢增強(qiáng)，通過研究價(jià)帶頂?shù)碾娮诱紦?jù)表明，可以通過改變占位能符號來改變電子在上下層的分布情況；繼續(xù)增大邊界占位能絕對值會(huì)使邊態(tài)占據(jù)概率降低，當(dāng)kY= π 時(shí)，邊態(tài)占據(jù)優(yōu)勢最明顯.由此可知，改變邊界線缺陷占位能，可以調(diào)控電子分布占據(jù)邊態(tài)優(yōu)勢，從而打開單邊量子通道，為雙層石墨烯半導(dǎo)體元件的應(yīng)用提供了基礎(chǔ).

圖7 AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶導(dǎo)帶底單胞格點(diǎn)波函數(shù)模隨縱向波矢的演化

AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶透射概率和局域態(tài)密度如圖8 所示.對于無缺陷情況而言，AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶在E=0 附近的局域態(tài)密度也會(huì)有尖峰的產(chǎn)生，這依然歸因于重合平帶的貢獻(xiàn)，同樣地，可以在透射概率關(guān)系圖上觀察到平臺.而改變層間躍遷系數(shù)或者同時(shí)改變層間躍遷系數(shù)和占位能系數(shù)時(shí)，透射概率和局域態(tài)密度在E=0 附近的范圍內(nèi)為0，說明此時(shí)能夠打開一個(gè)能隙.

圖8 AB 堆疊雙層鋸齒型石墨烯納米帶透射概率和局域態(tài)密度

3 結(jié) 論

根據(jù)單電子緊束縛近似模型，利用有限差分法，本文不僅計(jì)算了不同堆疊類型無限長雙層鋸齒型石墨烯納米帶的能譜及格點(diǎn)波函數(shù)，而且計(jì)算了兩端口雙層鋸齒型石墨烯納米帶的局域態(tài)密度和透射概率，研究了體系上下2 條邊界子格線缺陷的占位能和層間躍遷積分對納米帶能譜和邊態(tài)的影響.研究表明：對于AA 堆疊，雙層上邊界A 子格和下邊界B 子格缺陷占位能可調(diào)控導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂平帶色散關(guān)系，層間躍遷積分可調(diào)控次導(dǎo)帶底和次價(jià)帶頂?shù)钠綆㈥P(guān)系，打開體能隙，合適的參數(shù)能增大能隙；對于AB 堆疊，邊缺陷占位能可對費(fèi)米面周圍近乎重合的4 條平帶產(chǎn)生影響，從而打開一個(gè)能隙，而層間相互作用對平帶部分影響不大，無法增大能隙寬度.引入邊界線缺陷，對于2 種堆疊情況均會(huì)增強(qiáng)邊態(tài)占據(jù)優(yōu)勢，打開邊界量子通道，且改變占位能的符號可以調(diào)控電子分布在上下層的優(yōu)勢，增大占位能的數(shù)值會(huì)降低邊態(tài)占據(jù)概率.缺陷格點(diǎn)的占位能可通過柵壓調(diào)控，缺陷格點(diǎn)的層間躍遷可通過應(yīng)力或襯底調(diào)控，這些都為制作新型雙層石墨烯納米器件提供了有力支撐.