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可數(shù)仿緊空間和可數(shù)中緊空間的函數(shù)刻畫

2018-02-20 05:48:14
關(guān)鍵詞:空集可數(shù)有界

(安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院,安徽馬鞍山243032)

Mack在文獻[1]中證明了X為可數(shù)仿緊空間[2]當且僅當對X上的每一局部有界函數(shù)f,存在局部有界上半連續(xù)函數(shù)g使得|f|≤g;在文獻[3]中,Mack證明了X為可數(shù)仿緊空間當且僅當對每一下半連續(xù)函數(shù)f>0,存在下半連續(xù)函數(shù)g及上半連續(xù)函數(shù)h使得0<g≤h≤f。Ohta等[4]證明了X為cb-空間當且僅當對任意遞減函數(shù)列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0,存在函數(shù)列{gn∈C(X):n∈N}使得對每一n∈N,fn≤gn且gn→0。作為對這一結(jié)論的推廣,Yang在文獻[5]中證明了關(guān)于可數(shù)仿緊空間,可數(shù)中緊空間[6]和可數(shù)亞緊空間的一些類似結(jié)果。例如,X為可數(shù)仿緊空間當且僅當對任一遞減函數(shù)列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0,存在函數(shù)列{gn∈L(X):n∈N},使得對每一n∈N,fn≤gn且{gn:n∈N}弱局部一致收斂于0。

文中引入k-上有界函數(shù)的概念,并利用k-上有界函數(shù)給出對可數(shù)中緊空間的一個類似的等價刻畫。

1 預備知識

空間X的子集族G稱為局部有限族,若X中的任一點有一個開鄰域僅與G中有限多個元相交;稱G為緊有限族,若X的任一緊集至多與G的有限多個元相交。

定義1X稱為可數(shù)仿緊空間(可數(shù)中緊空間),若X的每一個可數(shù)開覆蓋有局部有限(緊有限)開加細。

設(shè)X為拓撲空間,用0表示X上取值為0的常值函數(shù)。設(shè){fn:n∈N}為空間X上的實值函數(shù)列,用fn→f表示{fn:n∈N}點態(tài)收斂于f。

空間X上的實值函數(shù)f稱為下(上)半連續(xù)的,若對任意r∈R,集合{x∈X:f(x)>r}({x∈X:f(x)<r})為X的開集。若對X的任一緊集K,f在K上有最小值,則稱f為k-下半連續(xù)函數(shù)。用L(X)(U(X),KL(X))表示從X到單位閉區(qū)間[0,1]的所有下(上,k-下)半連續(xù)函數(shù)的集合,UKL(X)=U(X)∩KL(X),C(X)為從X到單位閉區(qū)間[0,1]的所有連續(xù)函數(shù)的集合,L+(X)={h∈L(X):h>0}。

稱空間X上的實值函數(shù)f在X上上有界,若存在n∈N使得對任意x∈X,f(x)≤n。若f在X的任一緊子集K上上有界,則稱f為k-上有界函數(shù)。若對任意x∈X,存在x的開鄰域U及n∈N,使得對任意x'∈U,有f(x')≤n,則稱f為局部上有界函數(shù)。顯然上半連續(xù)函數(shù)為局部上有界函數(shù)。

設(shè)X為拓撲空間,A?X,用IA表示A的特征函數(shù),即對任意x∈X,

由特征函數(shù)的定義易得:若A為X的閉集,則IA上半連續(xù);若A為X的開集,則IA下半連續(xù)。

2 可數(shù)仿緊空間

引理1[7]X為可數(shù)仿緊空間當且僅當對X中任一遞減的且交為空集的閉集列{Fn:n∈N},存在X的遞減的開集列{Un:n∈N},使得對每一。

Yang在文獻[5]中證明了X為可數(shù)仿緊空間當且僅當對任一遞減函數(shù)列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0,存在函數(shù)列{gn∈L(X):n∈N},使得對每一n∈N,fn≤gn且{gn:n∈N}弱局部一致收斂于0。定理1表明函數(shù)列{gn:n∈N}可以用兩個半連續(xù)函數(shù)列代替。

定理1X為可數(shù)仿緊空間當且僅當對任一遞減的函數(shù)列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0,存在函數(shù)列{gn∈L(X):n∈N}和{hn∈U(X):n∈N},使得對每一n∈N,fn≤gn≤hn且hn→0。

證明設(shè)X為可數(shù)仿緊空間,{fn∈U(X):n∈N}且fn→0。對每一n,k∈N,令,則對任意k∈N,{Fnk:n∈N}為遞減閉集列且。由引理1知,對每一k∈N,存在X的遞減的開集列{Unk:n∈N}使得Fnk?Unk且。對每一n∈N,令

則gn∈L(X),hn∈U(X)且gn≤hn。

對每一n∈N及x∈X,若fn(x)=0,則fn(x)≤gn(x);若fn(x)>0,則存在k∈N 使得,故,則

設(shè)x∈X,ε>0,取k∈N 使得。由于對每一i≤k,,故存在m∈N 使得對任意n≥m,ii令m=max{mi:i≤k},則對每一故對每一n≥m,

故hn→0。

反之,設(shè){Fn:n∈N}為X中遞減且交為空集的閉集列。對每一n∈N,令,則{fn∈U(X):n∈N}為遞減函數(shù)列且fn→0。由條件知,存在函數(shù)列{gn∈L(X):n∈N}和{hn∈U(X):n∈N}使得對每一n∈N,fn≤gn≤hn且hn→0。對每一n∈N,令則Un為開集,Hn為閉集,且Fn?Un?Hn,因此Un?Hn。

設(shè)x∈X,由于hn(x)→0,故存在m∈N使得,由Hm的定義知,故。由引理1得X為可數(shù)仿緊空間。

利用定理1,可給出定理2的另一種證法。

定理2[8]X為可數(shù)仿緊空間當且僅當對每一h∈L+(X),存在φ(h)∈L(X)及φ(h)∈U(X),使0<φ(h)≤φ(h)<h。

證明設(shè)X為可數(shù)仿緊空間,h∈L+(X)。對每一n∈N,令則 {F(n,h):n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列。對每一n∈N,令f(n,h)=IF(n,h),則{f(n,h)∈U(X):n∈N} 遞減且f(n,h)→0。由定理1,存在函數(shù)列{g(n,h)∈L(X):n∈N}及{l(n,h)∈U(X):n∈N}使得對每一n∈N,f(n,h)≤g(n,h)≤l(n,h)且l(n,h)→0,令

則φ(h)∈L(X),φ(h)∈U(X)且φ(h)≤φ(h)。

設(shè)x∈X,由于l(n,h)(x)→0,故存在m∈N使得l(m,h)(x)<1,故

反之,設(shè){Fn:n∈N}為X的遞減且交為空集的閉集列。令

則h∈L+(X)。對每一n∈N,令

則Un為開集,Gn為閉集且Un?Gn,故Un?Gn。由于φ(h)>0,故,從而。設(shè)x∈Fn,令k=max{n∈N:x∈Fn},則n≤k,故

故x∈Un,從而Fn?Un。由引理1知,X為可數(shù)仿緊空間。

3 可數(shù)中緊空間

引理2[9]X為可數(shù)中緊空間當且僅當對X的任意遞減且交為空集的閉集列{Fn:n∈N},存在X的遞減開集列{Un:n∈N} 使得對每一n∈N,F(xiàn)n?Un且對X的任一緊集K,存在m∈N使得K?Um=?。

定理3對空間X,下列等價:

(a)X為可數(shù)中緊空間。

(b)對X上的每一局部上有界函數(shù)f,存在下半連續(xù)且k-上有界函數(shù)φ(f),使得f≤φ(f)。

(c)對X上的每一上半連續(xù)函數(shù)f,存在下半連續(xù)且k-上有界函數(shù)φ(f),使得f≤φ(f)。

(d)對X上的每一上半連續(xù)函數(shù)f,存在下半連續(xù)函數(shù)φ(f)及k-上有界函數(shù)φ(f),使得f≤φ(f)≤φ(f)。

證明(a)?(b)設(shè)X為可數(shù)中緊空間,對每一局部上有界函數(shù)f及n∈N,令則{Fn:n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列。由引理2,存在遞減開集列{Un:n∈N} 使得對每一n∈N,F(xiàn)n?Un且對任一緊集K,存在m∈N使得K?Um=?。設(shè)U0=X。對每一x∈X,令nx=min{n∈N:x?Un},φ(f)(x)=nx。設(shè)x∈X,由nx的定義知x?Unx?Fnx,故f(x)≤nx=φ(f)(x)。

設(shè)x∈X,r∈R 且φ(f)(x)>r。令Ox=Unx-1,則Ox為x的開鄰域。若x'∈Ox,則nx'>nx-1,故φ(f)(x')=nx'≥nx=φ(f)(x)>r,表明Ox?{x∈X:φ(f)(x)>r},從而φ(f)下半連續(xù)。

設(shè)K為X的緊集,則存在m∈N使得K?Um=?,則對每一x∈K,x?Um。由nx的定義得φ(f)(x)=nx≤m,因此φ(f)在K上上有界。

(b)?(c)顯然,因為上半連續(xù)函數(shù)為局部上有界函數(shù)。

(c)? (d)對每一上半連續(xù)函數(shù)f,令φ(f)=φ(f)。

(d)? (a)設(shè){Fn:n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列。對每一x∈X,令nx=min{n∈N:x?Fn},f(x)=nx。下說明f上半連續(xù)。

設(shè)x∈X,r∈R 且f(x)<r。令Ox=XFnx,則Ox為x的開鄰域。對任意x'∈Ox,由nx'的定義知nx'≤nx。因此f(x')=nx'≤nx=f(x)<r,這表明Ox?{x∈X:f(x)>r},因此f上半連續(xù)。

設(shè)φ(f),φ(f)為滿足條件(d)的函數(shù)。對每一n∈N,令Un={x∈X:φ(f)(x)>n} ,則{Un:n∈N} 是X的遞減的開集列。設(shè)n∈N,若x∈Fn,則n+1≤nx=f(x)≤φ(f)(x),故x∈Un,從而Fn?Un。設(shè)K為X的緊集,由于φ(f)在K上上有界,故存在m∈N使得對任意x∈K,φ(f)(x)≤m,故φ(f)(x)≤φ(f)(x)≤m,于是K?Um=?。由引理2知X為可數(shù)中緊空間。

定理4表明,定理3(b)(c)(d)中的k-上有界函數(shù)可換為k-上半連續(xù)函數(shù)。

定理4對空間X,下列等價:

(a)X為可數(shù)中緊空間。

(b)對每一局部上有界函數(shù)f,存在下半連續(xù)且k-上半連續(xù)函數(shù)φ(f),得f≤φ(f)。

(c)對每一上半連續(xù)函數(shù)f,存在下半連續(xù)且k-上半連續(xù)函數(shù)φ(f),得f≤φ(f)。

(d)對每一上半連續(xù)函數(shù)f,存在下半連續(xù)函數(shù)φ(f)且k-上半連續(xù)函數(shù)φ(f),使得f≤φ(f)≤φ(f)。

證明(a)?(b)設(shè)X為可數(shù)中緊空間,對每一局部上有界函數(shù)f,設(shè)φ(f)為定理3的(a)?(b)證明過程中定義的函數(shù),則只需說明φ(f)k-上半連續(xù)。設(shè)K為X的緊集,則存在n∈N使得K?Un=?。令m=min{n∈N:K?Un=? },則。取,則且對任意x∈K,nx≤m。因此,所以φ(f)k-上半連續(xù)。

(b)?(c)及(c)?(d)顯然。

(d)?(a)設(shè)(d)成立,由于k-上半連續(xù)函數(shù)為k-上有界函數(shù),由定理3(d)?(a)知X為可數(shù)中緊空間。

定理5對空間X,下列等價

(a)X為可數(shù)中緊空間。

(b)對任意h∈L+(X),存在φ(h)∈UKL(X)使得 0<φ(h)<h[9]。

(c)對任意h∈L+(X),存在φ(h)∈U(X)及φ(h)∈KL(X)使得 0<φ(h)≤φ(h)<h。

證明(a)?(b)在文獻[9]中已證,此處給出另一種證明方法。

設(shè)X為可數(shù)中緊空間,對每一h∈L+(X)及n∈N,令,則{F(n,h):n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列。由引理2,存在X的遞減開集列{U(n,h):n∈N} 使得對每一n∈N,F(xiàn)(n,h)?U(n,h)且對X的任一緊集K,存在m∈N使得K?U(m,h)=?。令

則φ(h)∈U(X)。對每一x∈X,存在m∈N 使得x?U(m,h)。令k=min{n∈N:x?U(n,h)},則對任意n≥k,x?U(n,h)且對每一n<k,x∈U(n,h)。由于x?U(k,h)?F(k,h),故,因此

設(shè)K為X的緊集,則存在m∈N使得K?U(m,h)=?。令k=min{n∈N:K?U(n,h)=? },則K?U(k-1,h)≠? 且對每一n≥k,K?U(n,h)=?。取x0∈K?U(k-1,h),則對每一n≥k,x0?U(n,h)且對每一n<k,x0∈U(n,h),從而。對每一x∈K,

從而φ(h)∈KL(X)。

(b)?(c)顯然。

(c)?(a)設(shè){Fn:n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列,令

則h∈L+(X)。對每一n∈N,令,則Un為開集。設(shè)x∈Fn,令k=max{n∈N:x∈Fn},則n≤k,從而

表明x∈Un故Fn?Un。設(shè)K為X的緊集,由于φ(h)∈KL(X),故存在x0∈K使得對任意x∈K,φ(h)(x)≥φ(h)(x0)。由于φ(h)(x0)>0,故存在m∈N,使得,故對任意x∈K,有,表明K?U(m,h)=?。由引理2知X為可數(shù)中緊空間。

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