聶亞芝 崔立梅

摘 要：在新時(shí)代的背景下，隨著素質(zhì)教育的不斷發(fā)展，以及科技的不斷進(jìn)步，對(duì)教師的教學(xué)模式和教學(xué)方法都提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，如何提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，如何培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)成為了廣泛關(guān)注的問題。而這一問題，在數(shù)學(xué)教學(xué)中的表現(xiàn)就是要讓學(xué)生的知識(shí)自然生成，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，為此本文以等差數(shù)列的教學(xué)為例，并結(jié)合具體的教學(xué)設(shè)計(jì)案例來進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：自然生成;數(shù)學(xué)本質(zhì);等差數(shù)列

高中階段是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵時(shí)期，為此對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)有著重要的意義。教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、邏輯推理能力、數(shù)據(jù)分析能力等一系列素養(yǎng)，如此不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，還能促進(jìn)學(xué)生的全面健康發(fā)展。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)借助現(xiàn)代化技術(shù)手段，改進(jìn)教學(xué)方式，對(duì)課堂的教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行充實(shí)，以此來確保學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

一、關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)要以促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展為根本出發(fā)點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持立德樹人、提升學(xué)生核心素養(yǎng)的基本理念，不斷對(duì)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)進(jìn)行培養(yǎng)，以此來達(dá)到素質(zhì)教育的目標(biāo)，使不同的學(xué)生都能夠得到很好的發(fā)展，為社會(huì)建設(shè)培養(yǎng)出優(yōu)秀的人才[1]。數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)問題就是讓學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握好數(shù)學(xué)的基本規(guī)律，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，鍛煉學(xué)生的邏輯思維水平。教師在具體的教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)通過情境的創(chuàng)設(shè)、目標(biāo)的分析、問題的導(dǎo)入，以及課后的練習(xí)等方式來引導(dǎo)學(xué)生融入教學(xué)的整個(gè)過程，讓同學(xué)們知道數(shù)學(xué)知識(shí)具體是怎樣形成的，以此來讓學(xué)生深刻地感受到數(shù)學(xué)所獨(dú)有的魅力和它所體現(xiàn)的理性與科學(xué)精神，讓同學(xué)們?cè)谡莆盏綌?shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中通過具體的課程設(shè)計(jì)、問題引導(dǎo)等讓學(xué)生的知識(shí)在自然生成的過程中把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

二、內(nèi)容與目標(biāo)分析

筆者對(duì)“等差數(shù)列（新人教A版（2019））”進(jìn)行了具體的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓同學(xué)們?cè)诰唧w的課堂學(xué)習(xí)中自然而然地掌握到關(guān)于等差數(shù)列的知識(shí)，了解等差數(shù)列的本質(zhì)，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思維和方法，掌握其中的規(guī)律，以此來培養(yǎng)學(xué)生的核心能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。首先對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行了分析：

筆者首先讓學(xué)生們了解本節(jié)課的基本內(nèi)容和目標(biāo)。本節(jié)課要讓學(xué)生們掌握好等差數(shù)列的定義;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差中項(xiàng)的概念。因?yàn)閿?shù)列是定義在正整數(shù)集（或正整數(shù)集的有限子集）上的一類離散的函數(shù)，無論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用中，都有非常重要的應(yīng)用.在函數(shù)的研究中，在理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究?jī)?nèi)容（如單調(diào)性，奇偶性等）后，通過研究基本初等函數(shù)，不僅加深了對(duì)函數(shù)的理解，并且掌握了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型，在了解數(shù)列的一般概念后，研究具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列，建立它的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)列的理解，等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，在現(xiàn)實(shí)世界中，等差數(shù)列的模型有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)，對(duì)等差數(shù)列的研究思路與方法，對(duì)研究等比數(shù)列有很大的幫助，因此，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與方法，具有承上啟下的作用[2]。

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)一共有四點(diǎn)內(nèi)容，第一點(diǎn)，讓學(xué)生們理解和掌握等差數(shù)列的定義;第二點(diǎn)，能夠利用等差數(shù)列的定義歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;第三點(diǎn)，讓學(xué)生能利用等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的定義和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決等差數(shù)列的問題;第四點(diǎn)，讓學(xué)生能將生活實(shí)際抽象成數(shù)學(xué)的問題，能進(jìn)行自然語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。而要達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志主要有以下幾點(diǎn)內(nèi)容：能夠準(zhǔn)確表述等差數(shù)列的定義，注意“從第二項(xiàng)起”“同一個(gè)”“常數(shù)”等關(guān)鍵詞的重要作用，知道用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言表述等差數(shù)列的定義時(shí)，對(duì)的要求;會(huì)利用等差數(shù)列的定義，歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;能夠根據(jù)定義，列舉等差數(shù)列的例子;能用定義求等差數(shù)列的公差及判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列;會(huì)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將數(shù)列中的其他項(xiàng)轉(zhuǎn)化為基本量a1，d，體會(huì)方程的思想;能通過觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，從函數(shù)的角度，觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列與一次函數(shù)之間的關(guān)系;會(huì)利用等差中項(xiàng)的定義，將題目中的已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化;經(jīng)歷從生活實(shí)例中抽象出數(shù)列問題的過程，能用數(shù)學(xué)的自然語言和符號(hào)語言表述等差數(shù)列的定義，應(yīng)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象，積累數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗(yàn)。

然后筆者對(duì)具體的教學(xué)問題進(jìn)行了診斷和分析：數(shù)列是一類離散函數(shù)，在函數(shù)的研究中，我們理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)的變化規(guī)律的研究?jī)?nèi)容后，通過研究基本初等函數(shù)，從而加深了對(duì)函數(shù)的理解，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列——等差數(shù)列，可以加深對(duì)數(shù)列和函數(shù)的理解。認(rèn)識(shí)等差數(shù)列并不困難，難點(diǎn)在于對(duì)等差數(shù)列定義的理解不夠準(zhǔn)確;如何利用等差數(shù)列的定義、等差中項(xiàng)的定義和通項(xiàng)公式解決數(shù)列問題;如何辨析數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

通過多媒體展示生活實(shí)例

生活實(shí)例1：教學(xué)樓的樓道地面，學(xué)生餐廳的地面，都貼有警戒帶，直觀感受到每相鄰兩條警戒帶之間都是一米，通過對(duì)生活中比較常見的排隊(duì)這件事，抽象出數(shù)列0，1，2，3，4[3]。

通過一米線，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行疫情防控的安全教育，讓學(xué)生學(xué)會(huì)保護(hù)自己和他人。

生活實(shí)例2：通過2022年在北京和張家口舉辦第24屆冬奧會(huì)，讓學(xué)生推算出第23、22、21、20屆冬奧會(huì)舉辦的時(shí)間，抽象出數(shù)列2022，2018，2014，2010，2006。

通過奧運(yùn)會(huì)的主題，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生愛國教育，增強(qiáng)學(xué)生作為中國人的自豪感。

生活實(shí)例3：擺放有序的臺(tái)球，通過每?jī)膳排_(tái)球個(gè)數(shù)都相差1，抽象出數(shù)列5，4，3，2，1。

通過結(jié)合生活實(shí)際，觀察幾個(gè)數(shù)列的共同特點(diǎn)，并列舉類似的生活實(shí)例，讓學(xué)生感受生活中的數(shù)學(xué)。

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，師生互動(dòng)，教師點(diǎn)評(píng)。

設(shè)計(jì)意圖：通過生活實(shí)例的情境導(dǎo)入新課，樸實(shí)、親切，符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，容易引起學(xué)生的共鳴，通過生活實(shí)例的引入，增加對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷及愛國教育，讓數(shù)學(xué)課堂成為有溫度的課堂。

（二）概念的生成

問題1：結(jié)合生活實(shí)際，歸納幾個(gè)特殊數(shù)列的共同特征，類比遞增（減）數(shù)列的定義，讓學(xué)生嘗試著歸納等差數(shù)列的定義。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察和發(fā)現(xiàn)，生活中具有特殊變化規(guī)律的事物或過程，將它們抽象成數(shù)列的問題;用數(shù)學(xué)的思維去思考，這些數(shù)列在取值上的變化規(guī)律，從而初步形成等差數(shù)列是“每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)的數(shù)列”，在學(xué)生提出質(zhì)疑并不斷完善的過程中，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列定義的理解。

（三）概念的理解

問題：請(qǐng)同學(xué)們列舉幾個(gè)等差數(shù)列的例子。

師生活動(dòng)：學(xué)生代表發(fā)言。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生列舉不同類型的等差數(shù)列的例子，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到，給定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，就能確定這個(gè)數(shù)列，為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)做鋪墊，增強(qiáng)了學(xué)生推導(dǎo)通項(xiàng)公式的勇氣和信心。

（四）等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)

探究：設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，并請(qǐng)學(xué)生講述推導(dǎo)過程，教師板演。

設(shè)計(jì)意圖：給出首項(xiàng)和公差，使得問題的探究指向性更加明確，將等差數(shù)列的前幾項(xiàng)用首項(xiàng)和公差表示，通過觀察、猜想、歸納通項(xiàng)公式的過程，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

（五）概念的鞏固應(yīng)用

例：已知等差數(shù)列a，1，b，-3，...，求a，b的值。

師生活動(dòng)：讓同學(xué)們動(dòng)筆作答，學(xué)生代表到黑板板演，教師規(guī)范解題過程、對(duì)解題方法進(jìn)行總結(jié)，小組之間相互交流解法，手機(jī)投屏學(xué)生的兩種不同的思路。

設(shè)計(jì)意圖：教師展示問題，小組之間合作探究，教師深入學(xué)生中與他們交流，了解學(xué)生思考問題的進(jìn)展過程，投影學(xué)生的解題過程，糾正出現(xiàn)的錯(cuò)誤，規(guī)范書寫格式，進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥，幫助他們突破思維障礙;引導(dǎo)學(xué)生，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題時(shí)，要注重利用概念的原理分析問題，形成數(shù)學(xué)基本思想和方法的“滲透—明確—應(yīng)用”的有序過程，使得學(xué)生在掌握“四基”發(fā)展“四能”的過程中有效地發(fā)展核心素養(yǎng);利用-3-b=b-1這個(gè)等式，得到推出數(shù)列1，b，-3是等差數(shù)列，引出等差中項(xiàng)的概念，利用新概念，設(shè)置新的問題，同時(shí)使同學(xué)們?cè)跀?shù)列中提煉出等差數(shù)列的首項(xiàng)，利用等差數(shù)列的定義求等差數(shù)列的公差，能通過通項(xiàng)公式解決等差數(shù)列中項(xiàng)的問題。

（六）等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的關(guān)系

思考題：你認(rèn)為等差數(shù)列與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？

師生活動(dòng)：師生共同完成，教師課件上，直接展示分析的過程，并通過GeoGebra作圖軟件，展示一次函數(shù)的圖像與數(shù)列{an}的圖像的一般與特殊的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：通過思考題的設(shè)置，讓學(xué)生加深對(duì)數(shù)列的理解，利用課件演示數(shù)列與一次函數(shù)的圖像，加深學(xué)生對(duì)數(shù)列與函數(shù)之間關(guān)系的理解，從而培養(yǎng)學(xué)生在研究等差數(shù)列時(shí)，可以從代數(shù)及函數(shù)這兩個(gè)角度出發(fā)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的網(wǎng)絡(luò)性與多維性，也為學(xué)生對(duì)其他數(shù)列的問題研究提供一種思路。

（七）作業(yè)

1.（必做題）課本15頁1-4題;（選做題）課本15頁5。

2.拓展作業(yè)：以小組為單位制作課件或者視頻。供參考的方向包括中外建筑中的等差數(shù)列;工藝產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的等差數(shù)列;日常生活中的等差數(shù)列。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置不同類型的題目，符合因材施教的教學(xué)原則，讓不同層次的學(xué)生都得到發(fā)展。設(shè)計(jì)拓展作業(yè)，能較有效地激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，最大限度地拓展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的空間，建立數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)系，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。

四、數(shù)學(xué)本質(zhì)與教學(xué)反思

通過上述內(nèi)容的設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生們?cè)谡莆盏街R(shí)的同時(shí)，還能夠?qū)?shù)學(xué)問題的核心內(nèi)容進(jìn)行把握，要知道數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系當(dāng)中。同時(shí)在授課的過程當(dāng)中，教師應(yīng)結(jié)合先進(jìn)的學(xué)習(xí)理論和教學(xué)規(guī)律來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，例如，在對(duì)等差數(shù)列的和的教學(xué)過程中，教師需要對(duì)相關(guān)的理論進(jìn)行研究與分析，并要在心中進(jìn)行提前設(shè)計(jì)規(guī)劃，有一個(gè)明確的指導(dǎo)方向[4]。此外，教師還應(yīng)根據(jù)課標(biāo)的具體要求來進(jìn)行教學(xué)計(jì)劃，把課標(biāo)所規(guī)定的教學(xué)理念作為指導(dǎo)，教會(huì)學(xué)生們不僅是在課堂之上，在具體的生活中也要用數(shù)學(xué)思維來分析問題解決問題。

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候還要結(jié)合學(xué)生的具體情況，要根據(jù)新課標(biāo)的要求，充分考慮學(xué)生的自身特點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的不同興趣和學(xué)習(xí)水平，并結(jié)合恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，來指導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，以此來充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生們積極主動(dòng)地去思考問題，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有著更為全面的認(rèn)識(shí)。在具體的教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重學(xué)生的體驗(yàn)，例如在對(duì)等差數(shù)列的教學(xué)時(shí)，要通過問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生們積極地去思考和討論，并通過觀察、感知、演繹、概括等過程，留給學(xué)生足夠的獨(dú)立思考和小組討論的時(shí)間，讓學(xué)生們充分參與到課堂的內(nèi)容當(dāng)中，從而讓學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣。同時(shí)教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)注重變化教學(xué)形式，通過改變問題的非本質(zhì)特征，或者是根據(jù)問題的前提條件、結(jié)論等內(nèi)容來引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中探索出“不變”的本質(zhì)特征，從“不變”的本質(zhì)中總結(jié)出“變”的基本規(guī)律。在具體的教學(xué)過程中可以先通過對(duì)問題的不同形式的變換來引導(dǎo)學(xué)生快速地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，教師可根據(jù)學(xué)生的反饋，來進(jìn)行針對(duì)性的講解，同時(shí)還可以根據(jù)學(xué)生的答案來進(jìn)行新的問題的設(shè)定，使學(xué)生能夠?qū)@個(gè)問題進(jìn)行全面的理解，還要在具體教學(xué)的過程中引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度來思考問題，讓學(xué)生面對(duì)一道題時(shí)可以有多種不同的解答思路，采用這種方式教學(xué)的優(yōu)勢(shì)在于能夠充分對(duì)學(xué)生的思路進(jìn)行拓展和發(fā)散，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，既培養(yǎng)了學(xué)生認(rèn)真審題的良好習(xí)慣，又促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。

結(jié)束語

通過此次教學(xué)實(shí)踐和總結(jié)，既可以讓教師改進(jìn)自己的教學(xué)模式，也可以讓同學(xué)們了解到數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，并且在具體的教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)發(fā)揮學(xué)生的主體地位，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生不再是被動(dòng)的知識(shí)接收者，而是讓學(xué)生主動(dòng)思考，主動(dòng)參與到課堂當(dāng)中，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力的目的。

參考文獻(xiàn)

[1]施友芝.基于培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)列教學(xué)研究[D].湖南理工學(xué)院，2021.

[2]張馨文.數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究[D].伊犁師范大學(xué)，2021.DOI：10.

[3]祝玲.關(guān)于“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”教學(xué)素材、設(shè)計(jì)案例的思考與研究[J].數(shù)理化解題研究，2021（04）：20-23.

[4]張雪.HPM視角下等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].長(zhǎng)春師范大學(xué)，2020.DOI：10.

作者簡(jiǎn)介：聶亞芝（1979— ），女，漢族，天津武清人，天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)，高級(jí)教師，本科。研究方向：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深度學(xué)習(xí)的生成及進(jìn)階探究。

崔立梅（1981— ），女，漢族，黑龍江綏化人，天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)，高級(jí)教師，本科。研究方向：數(shù)學(xué)教育。