康杰 黃煒 劉潔

- 編者按 -

“雙減”不只是減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)問題，其深層意蘊(yùn)是教育本質(zhì)的回歸、教育規(guī)律的彰顯，直接指向校內(nèi)教育尤其是課堂教學(xué)質(zhì)量的進(jìn)一步優(yōu)化改革?！半p減”下如何高質(zhì)量開展課堂教學(xué)，回歸育人本質(zhì)，彰顯育人規(guī)律？這是所有教師都會(huì)面臨的現(xiàn)實(shí)問題。本刊將陸續(xù)呈現(xiàn)各學(xué)科優(yōu)秀教研成果，以期為教師高效開展課堂教學(xué)助力，為落實(shí)“雙減”要求蓄能引航。本期，我們推出的是初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中“基于目標(biāo)分類的數(shù)學(xué)解題教學(xué)”方面的探索。

提高課堂教學(xué)質(zhì)量是落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)、發(fā)展教師專業(yè)能力和提升學(xué)生學(xué)業(yè)水平的需要。為此，《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》指出：強(qiáng)化課堂主陣地作用，切實(shí)提高課堂教學(xué)質(zhì)量。[1]

縱觀中國初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)的歷史，在課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)大綱中的作業(yè)往往指課堂練習(xí)和課外練習(xí)兩種，關(guān)于課外作業(yè)的表述不多，但對(duì)課堂練習(xí)的建議寫得比較詳細(xì)。例如，1929年《初級(jí)中學(xué)算學(xué)暫行課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“作業(yè)要項(xiàng)”提出了“課室練習(xí)”應(yīng)“每次黑板上的練習(xí)以后，應(yīng)有時(shí)間說明算式和解釋的理由”，“課外練習(xí)”應(yīng)“課外單紙上的練習(xí)可與同班討論，但要自己懂得‘學(xué)習(xí)心理’的歷程的重要，不應(yīng)抄襲別人的演草”。又如，1932年《初級(jí)中學(xué)算學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的 “作業(yè)要項(xiàng)”提出了“教師練習(xí)”應(yīng)注意“初中學(xué)生對(duì)于算學(xué)一科，最感困難，宜在教室，多予練習(xí)與復(fù)習(xí)之機(jī)會(huì)，務(wù)使學(xué)生課外作業(yè)時(shí)間，得以減少”。再如，1992年《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》中的“正確組織練習(xí)”指出“為了使練習(xí)能起到應(yīng)有的作用，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）目的要明確，題目要精選。（2）題量要適度，首先要保證有足夠的基本題。析題難度要適中，布置作業(yè)要區(qū)別對(duì)待。對(duì)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，要給予必要的輔導(dǎo)…”[2]上述材料顯示了初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中練習(xí)和解題的重要，也反映出練習(xí)不當(dāng)是學(xué)生學(xué)習(xí)壓力過大的主要因素。

1.學(xué)生數(shù)學(xué)作業(yè)負(fù)擔(dān)過重的原因分析

筆者通過對(duì)部分北京市中學(xué)生的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)作業(yè)負(fù)擔(dān)過重的原因不在于數(shù)學(xué)作業(yè)多，而在于看似不多的題量，卻需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力，甚至有學(xué)生形象地比喻道：做數(shù)學(xué)一道題的時(shí)間等于其他有些學(xué)科一張卷子的時(shí)間。

產(chǎn)生以上問題的原因主要有兩點(diǎn)，一是數(shù)學(xué)自身的學(xué)科特點(diǎn)決定的。數(shù)學(xué)的公理化和形式化要求學(xué)習(xí)者具有較高的邏輯思維和抽象能力。數(shù)學(xué)的原理（公式、定理等）所具有的廣泛應(yīng)用性和數(shù)學(xué)方法具有的靈活性又導(dǎo)致了學(xué)生在解決具體問題時(shí)遇到障礙，常常覺得可用的方法很多，但真正用得上的很少。二是目前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中存在的問題造成的。在當(dāng)下評(píng)價(jià)背景下，解題是基本形式和主要內(nèi)容，出其不意、攻其不備的命題方式也促使師生陷入題海之中。

在解題教學(xué)實(shí)踐中，“該選用什么樣的例題”“為什么很多典型問題反復(fù)講解后學(xué)生依然難以解決”等問題長期困擾著廣大一線數(shù)學(xué)教師。涂榮豹教授認(rèn)為，在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，學(xué)生的主要任務(wù)并不是解題，而是學(xué)習(xí)解題，因此，教師教的重點(diǎn)和學(xué)生學(xué)的重點(diǎn)，不在于“解”而在于“學(xué)解”，以“解”作為出發(fā)點(diǎn)，注重的是解題的結(jié)果，以“學(xué)解”作為出發(fā)點(diǎn)，注重的則是解題的過程[3]。

2.解題教學(xué)的研究簡述

梳理發(fā)現(xiàn)，目前的解題教學(xué)研究的方向主要聚焦在兩個(gè)部分，即研究解題教學(xué)本身與研究解題教學(xué)的解題方法與技巧，前者的研究主體主要是教學(xué)研究人員，而后者主要是廣大一線教師。

關(guān)于解題教學(xué)的研究，最重要的代表人物就是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞，他專門研究了解題的思維過程，并形成了解題理論。在1944年出版的專著《怎樣解題》（How to solve it）中提出的“怎樣解題表”總結(jié)了人類解決數(shù)學(xué)問題的一般規(guī)律和程序，對(duì)數(shù)學(xué)解題研究有著深遠(yuǎn)影響[4]。自波利亞的解題理論傳入我國以來，對(duì)我國數(shù)學(xué)教育亦有著極其重要的指導(dǎo)意義，也給我國中學(xué)數(shù)學(xué)的教材及教法帶來了很大的轉(zhuǎn)變，徐利治所著的《數(shù)學(xué)方法論選講》被認(rèn)為是波利亞“怎樣解題”研究的延伸與發(fā)展[5]。羅增儒與羅新兵在其《波利亞的怎樣解題表（續(xù)）》中詳細(xì)概述了解題系統(tǒng)，分析解題過程，念頭誘發(fā)，問題轉(zhuǎn)換，樸素的元認(rèn)知觀念與波利亞怎樣解題表的關(guān)系，并揭示了波利亞解題思想的目標(biāo)，即發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律[6]。在此基礎(chǔ)上提出有效的解題教學(xué)策略，并形成行之有效的教學(xué)模式正是我們研究的方向。

3.基于目標(biāo)分類的數(shù)學(xué)解題教學(xué)探析

要從根本上提升教師的解題教學(xué)水平和能力，進(jìn)而切實(shí)提高課堂教學(xué)質(zhì)量，就需要將教師自身置于解題思維活動(dòng)中，體驗(yàn)學(xué)生的解題過程，分析我們面對(duì)題目時(shí)的表現(xiàn)。為此，我們借鑒了心理學(xué)建立初期常常采用的一種方法——內(nèi)省法，檢查自己解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的想法，進(jìn)而推斷學(xué)生的想法，如圖1所示：

這是一道分式運(yùn)算的題目，圖1中間一列顯示的是一位學(xué)生的解題過程，右邊一列顯示的是在解答這道題目的時(shí)候，我們的大腦需要提取的相關(guān)概念、法則、公式等多種知識(shí)要素，如果有一個(gè)或幾個(gè)知識(shí)要素不能被正確提取，那么解題過程必然會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。在解答這道題目時(shí)，大腦還需要將這些概念、法則、公式有機(jī)地聯(lián)系在一起，形成思路、程序或方法，如圖中左邊一列用圖示的方法直觀呈現(xiàn)分式加減法的思維過程。

如果我們從教育目標(biāo)分類的角度認(rèn)識(shí)如何解答題目，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在解題過程中涉及的知識(shí)有概念、法則和公式等，這些知識(shí)都屬于事實(shí)類知識(shí)和概念類知識(shí)，而我們的解題思路或者解題方法，則屬于程序類知識(shí)，是指某些具體的操作步驟，某種固定的操作順序，運(yùn)行之后能得到結(jié)果。弄清知識(shí)的類別，對(duì)于我們解釋和分析如何解答一道題、題目能否正確解答及不能正確解答題目的原因，有著重大的意義和作用。從知識(shí)分類的角度，還有一類重要的知識(shí)——元認(rèn)知，其中有一種元認(rèn)知知識(shí)稱為認(rèn)知任務(wù)的知識(shí)，主要包括：“知道不同的認(rèn)知任務(wù)可能難度不同;知道不同的認(rèn)知任務(wù)可能對(duì)認(rèn)知系統(tǒng)提出不同的要求;知道不同的認(rèn)知任務(wù)可能要求不同的認(rèn)知策略”[7]。在解題活動(dòng)中，我們將解題思路、步驟簡稱為“認(rèn)”，把用到的概念、法則、公式等知識(shí)要素簡稱為“知”，將具體題目的解答過程看作一個(gè)“任務(wù)”，那么這三類知識(shí)共同構(gòu)成了認(rèn)知任務(wù)知識(shí)（如圖1）。

學(xué)習(xí)認(rèn)知任務(wù)知識(shí)需要經(jīng)歷哪些思維活動(dòng)呢？這就需要我們?cè)購牧硪粋€(gè)角度分析——認(rèn)知過程的分類。如圖2，在認(rèn)知過程的分類中，我們常常把記憶、理解、應(yīng)用稱作初級(jí)認(rèn)知加工。在做題過程中，需要先提取相關(guān)知識(shí)，而提取的前提是能夠在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶，再將提取的知識(shí)進(jìn)行有步驟的應(yīng)用。如果我們不是應(yīng)用知識(shí)解題，而是對(duì)一道題目或任務(wù)的解答過程進(jìn)行研究，分解其中的具體操作步驟，辨別具體操作步驟的依據(jù)，概述解答過程的流程，我們就進(jìn)行不同于記憶、理解和應(yīng)用的認(rèn)知加工，這種認(rèn)知加工就是分析，也稱為分析能力。

當(dāng)我們以認(rèn)知任務(wù)知識(shí)和分析能力為教學(xué)目標(biāo)時(shí)，我們就得到了一種新的課型——析題課，其中的“析”字主要是指分析的意思。在析題課中，最重要的任務(wù)不是讓學(xué)生做題，而是要給學(xué)生題目和解答，讓學(xué)生先分析題目解答過程中用到了哪些具體的知識(shí)，在這個(gè)基礎(chǔ)上，再對(duì)解答過程進(jìn)行概括和總結(jié)，用圖示的方法直觀表示解題思路。

教師如何上好一堂數(shù)學(xué)解題課，讓學(xué)生腦海里的知識(shí)得到應(yīng)用，使得“正者知其原，誤者曉其因”，從而有效減輕不必要的課外作業(yè)負(fù)擔(dān)，正是本文所研究的課題。

參考文獻(xiàn)：

[1]中共中央 國務(wù)院. 關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見[EB/OL].（2019-06-23）[2022-02-20]http：//www.gov.cn/zhengce/2019-07/08/content_5407361.htm.

[2]課程教材研究所編.20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）.人民教育出版社，2001年.

[3]涂榮豹.數(shù)學(xué)解題的有意義學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（10）.

[4]G·波利亞著.怎樣解題[M].涂滯，馮承天譯.上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

[5]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

[6]羅增儒，羅新兵.波利亞的怎樣解題表（續(xù)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004（05）.

[7]洛林·W.安德森等編著. 布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué)（修訂版）[M]. 北京：外語教學(xué)與研究出版社，2009.