李童欣，揭泉林，王 偉

武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北武漢430072

0 引言

學(xué)者們對二維方格子阻挫自旋1/2海森堡模型的研究興趣源于高溫銅基超導(dǎo)體的提出［1］。阻挫的反鐵磁耦合對可以形成自旋液態(tài)（spin liquid，SL）［2～5］，比如共振價鍵態(tài)（resonating valence bonds，RVB）［4，6～8］可以通過摻雜的方式轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢?dǎo)態(tài)。海森堡模型作為一個二維系統(tǒng)原型，無論是在理論研究還是數(shù)值計算領(lǐng)域都具有很重要的意義。特別是順磁相中精細(xì)的量子相變，它的本質(zhì)仍在廣泛討論中，引起了許多研究者的參與興趣［7，9～17］。

該模型中間相的形成有多種猜想，比如可能是由于自旋單態(tài)、共振價鍵體或是自旋液態(tài)引起的格點(diǎn)體系自發(fā)對稱破缺導(dǎo)致的，進(jìn)而推測中間相可能存在柵格態(tài)（columnar dimer）、塊價鍵體、有能隙或者無能隙的自旋液態(tài)［4～6，17］。該模型目前最新的研究表明，中間相可以分成兩個結(jié)構(gòu)不同部分，并且中間可能存在無能隙的自旋液態(tài)相將這兩個部分分開，而不僅僅是一個相變點(diǎn)［4，6，17］。

受限于尺度效應(yīng)，目前中間相很多問題都處在爭議和討論之中。一些數(shù)值方法本身引入的一些先入為主的設(shè)定，也是進(jìn)一步深入理解中間相本質(zhì)的很大障礙。雖然目前沒有一個天才的方法可以一次解決該模型所有方面的問題，但對于特定的方面，可以找到相適應(yīng)的方法進(jìn)行有效的研究。一個相當(dāng)不錯的方法就是，通過數(shù)值方法計算能級或能譜來確定中間相內(nèi)精細(xì)相變的位置。由于能級交叉點(diǎn)對尺度的依賴是平滑的，可以較可靠地外推到熱力學(xué)極限［10，12，14，15，17］。

為了確定體系結(jié)構(gòu)，聚合化算符［6～10，12，13］也是一個實(shí)用且有效的工具。二聚化算符是最簡單的結(jié)構(gòu)化算符，涉及的格點(diǎn)數(shù)最少，而且它是一個標(biāo)量，可以很方便地用來確定中間相的二聚化結(jié)構(gòu)成分。

本文主要研究周期性邊界條件下阻挫自旋1/2海森堡反鐵磁J1-J2方格子的基態(tài)和低激發(fā)態(tài)。根據(jù)能級交叉和二聚化算符，確定中間相的相變點(diǎn)和能態(tài)結(jié)構(gòu)，并尋找自旋液態(tài)。本文組織如下：第1部分報道能態(tài)計算、能級交叉，還有忠實(shí)度、磁結(jié)構(gòu)因子、磁化強(qiáng)度和自旋關(guān)聯(lián)等，給出相應(yīng)的相變點(diǎn)位置；第2部分通過結(jié)構(gòu)化算符表征自旋液態(tài)結(jié)構(gòu)。

1 基本能態(tài)結(jié)構(gòu)

二維海森堡模型是一個典型的多體問題，其哈密頓量可以寫為

式中所有記號全部按照約定習(xí)慣：Si是格點(diǎn)i處自旋1/2算符；對＜i，j＞和?i，k?的求和分別對最近鄰（nearest-neighbor，NN）和次近鄰（next-nearestneighbor，NNN）進(jìn)行，格點(diǎn)間每個鍵計算一次。為簡便計，取J1為單位1，反鐵磁模型下J2＞0為耦合參數(shù)，或者取無量綱數(shù)g=J2/J1作為耦合參數(shù)。

對于格點(diǎn)數(shù)N=16的方格子體系，通過正交化波算符［17］配合迭代法，得到體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)，發(fā)現(xiàn)在激發(fā)態(tài)出現(xiàn)能態(tài)簡并。為了處理簡并能態(tài)，進(jìn)一步通過三分法和共軛梯度法進(jìn)行逆迭代，在低激發(fā)態(tài)能級間作地毯式能量掃描，確定體系的能級結(jié)構(gòu)。然后在本征能量下用逆迭代計算過完備的基矢組，利用正交化方法取總自旋量子數(shù)S子空間正交完備基，將總自旋z分量在S子空間中精確對角化，得到哈密頓量H、總自旋量子數(shù)S、總自旋z分量量子數(shù)的共同本征態(tài)。

依據(jù)參數(shù)g劃分能態(tài)，計算結(jié)果通過表1給出。基態(tài)GS全部為單態(tài)；第一激發(fā)態(tài)LEV 1在0.41處分開成兩個部分，0.00～0.40的區(qū)域?qū)儆谧孕貞B(tài)，0.41～0.99的區(qū)域?qū)儆谧孕龁螒B(tài)；第二激發(fā)態(tài)LEV 2將LEV 1的兩個區(qū)域進(jìn)一步分成5個更精細(xì)的區(qū)域，0.00～0.21屬于自旋五重態(tài)，0.22～0.40屬于自旋單態(tài)，0.41～0.49屬于自旋三重態(tài)，0.50～0.71屬于自旋單態(tài)，0.72～0.99屬于自旋三重態(tài)。特別地，根據(jù)Z2幾何自旋液態(tài)的拓?fù)涠睾啿⑻卣鳎?，5，17］，發(fā)現(xiàn)在LEV 2中區(qū)域0.50～0.52存在兩套簡并的自旋單態(tài)相互正交，以它為基矢可以形成一個二維流形，流形上的每一個態(tài)都是自旋單態(tài)，它很可能就是將中間相分成柵格態(tài)和塊價鍵體［18］的Z2自旋液態(tài)；區(qū)域0.72～0.99存在兩套簡并的自旋三重態(tài)，它則是由于條紋相在激發(fā)態(tài)C4自發(fā)對稱破缺的消失造成的，條紋不再自發(fā)選擇x或z方向中的一個，而是都有可能且可以任意疊加。

表1 基態(tài)和低激發(fā)態(tài)能級L的總自旋量子數(shù)與簡并度D對參數(shù)g空間的劃分Table1 Quantum spin numbersand degeneracies D of ground states and low-lying excitations:a partition in parameter g space

表1 基態(tài)和低激發(fā)態(tài)能級L的總自旋量子數(shù)與簡并度D對參數(shù)g空間的劃分Table1 Quantum spin numbersand degeneracies D of ground states and low-lying excitations:a partition in parameter g space

格點(diǎn)數(shù)N=16體系的兩個自旋單態(tài)和一個最低的自旋三重態(tài)相對于基態(tài)的能隙隨著無量綱參數(shù)g的變化過程在圖1中進(jìn)行了展示。自旋單態(tài)E1(S=0)和三重態(tài)E1(S=1)在臨界點(diǎn)gc1=0.41的位置發(fā)生交叉，如圖1(a)所示，而自旋單態(tài)E2(S=0)和三重態(tài)E1(S=1)在臨界點(diǎn)gc2=0.71的位置發(fā)生交叉，如圖1(d)所示，由gc1和gc2之間的區(qū)域給出中間相的位置。在中間相區(qū)域，自旋單態(tài)E1(S=0)相對基態(tài)的能隙隨著g的增加衰減很快，如圖1(a)中對應(yīng)的曲線E1(S=0)所示。自旋單態(tài)E2(S=0)與三重態(tài)E1(S=1)在臨界點(diǎn)gcin1=0.49發(fā)生交叉，如圖1(b)所示，并在gcin2=0.53的位置發(fā)生交疊，圖1(c)所示，這兩個臨界點(diǎn)將中間相分成三個精細(xì)區(qū)域。在圖1(b)中兩曲線交叉點(diǎn)的右側(cè)，區(qū)域g=0.50～0.52有兩組簡并的自旋單態(tài)，可能是具有二度拓?fù)浜啿⒌淖孕簯B(tài)相，而在g=0.53～0.71的區(qū)域只有無簡并的自旋單態(tài)。

圖1 低激發(fā)態(tài)能級交叉，相對于基態(tài)的能量E以J1為單位(a)最低激發(fā)自旋單態(tài)E1(S=0)與最低激發(fā)自旋三重態(tài)E1(S=1)的能級交叉，(b)次低激發(fā)自旋單態(tài)E2(S=0)與最低激發(fā)自旋三重態(tài)E1(S=1)在中間區(qū)域的能級交叉，(c)次低激發(fā)自旋單態(tài)E2(S=0)與最低激發(fā)自旋三重態(tài)E1(S=1)中間區(qū)域的能級交疊，(d)次低激發(fā)自旋單態(tài)E2(S=0)與最低激發(fā)自旋三重態(tài)E1(S=1)的能級交叉Fig.1 Low-lying level crossing,where the energies E relative to ground states are of unit J1(a)Level crossing between the lowest excited spin singlet E1(S=0)and the lowest excited spin triplet E1(S=1),(b)Level crossing between the second lowest excited spin singlet E2(S=0)and the lowest excited spin triplet E1(S=1)in the intermediate region,(c)Level overlap between the second lowest excited spin singlet E2(S=0)and the lowest excited spin triplet E1(S=1)in the intermediate region,(d)Level crossing between the second lowest excited spin singlet E2(S=0)and the lowest excited spin triplet E1(S=1)

在中間相區(qū)域，自旋液態(tài)相的左邊和右邊分別是柵格態(tài)和價鍵體。需要說明的是，低激發(fā)態(tài)可以反映基態(tài)的性質(zhì)［14，17］，并且基態(tài)相變可以通過給定總自旋量子數(shù)子空間內(nèi)部或者不同總自旋量子數(shù)子空間正交化能級間的交叉來表達(dá)。根據(jù)這種交叉模式，在熱力學(xué)極限下，分別可能出現(xiàn)三種情況，如圖2所示：(a)無能隙的自旋液態(tài)［4］，上下能級有一個重疊的平臺；(b)無能隙的一個臨界點(diǎn)［18］，上下能級的頂點(diǎn)重疊；(c)有能隙的自旋液態(tài)［5］，上下能級的谷峰位置有一段重疊區(qū)域。

圖2 熱力學(xué)極限下中間相內(nèi)部可能出現(xiàn)的能級交叉模式(a)無能隙的自旋液態(tài)，(b)無能隙的一個臨界點(diǎn)，(c)有能隙的自旋液態(tài)Fig.2 Probable level crossing modes in the intermediate region in the thermodynamic limit(a)A regime of gapless spin liquid,(b)A critical point of gapless spin liquid,(c)A regime of gapped spin liquid

圖1中能級交叉是從能量角度給出的，還可直接從量子態(tài)角度考慮，利用基態(tài)及低激發(fā)態(tài)的忠實(shí)度［19］

圖3 基態(tài)和低激發(fā)態(tài)的忠實(shí)度(a)第一激發(fā)態(tài)LEV 1，(b)基態(tài)GS,(c)第二激發(fā)態(tài)LEV 2Fig.3 The fidelity of ground state and low-lying excitations(a)1st excitation LEV 1,(b)Ground state GS,(c)2nd excitation LEV 2

對于中間相與Neel相和條紋相之間的相變點(diǎn)，其他研究者用不同的處理方法進(jìn)行了計算。簇耦合方法（coupled cluster method，CCM）給出gc1=0.454，gc2=0.588［16］，有限尺度精確對角化方法給出gc1=0.40，gc2=0.65［10］，Lanczos精確對角化方法給 出gc1=0.35，gc2=0.66［14］，密度矩陣重整化群（density matrix renormalization group，DMRG）給出gc1=0.41，gc2=0.62［5］，蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）給 出gc1=0.4，gc2=0.6［4］。本文的結(jié)果gc1=0.41與其他方法的結(jié)果相近，說明通過第一與第二激發(fā)態(tài)的能級交叉可以較好地反映二級相變點(diǎn)的位置，而gc2=0.71與其他方法的結(jié)果出入比較大，說明當(dāng)有限尺度下基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)能級交叉沒有表現(xiàn)出來時，用第二和第三激發(fā)態(tài)的能級交叉來指示一級相變點(diǎn)，存在較大的尺度依賴性。

對于中間相內(nèi)的精細(xì)相變點(diǎn)，簇耦合方法給出gcin1=0.49，gcin2=0.58［16］，蒙特卡洛方法只識別出一個相變點(diǎn)gcin1=0.50［4］，密度矩陣重整化群方法識 別 出gcin1=0.46，gcin2=0.52［5］。本文的結(jié)果gcin1=0.49，gcin2=0.53所能確定自旋液態(tài)區(qū)域相比其他方法要小，而且在N=16體系下表現(xiàn)為能隙很小的Z2自旋液態(tài)。中間相內(nèi)的相變是目前爭議最大的問題，不僅對相變點(diǎn)的位置有所保留，甚至中間相有沒有自旋液態(tài)，自旋液態(tài)有沒有能隙都在激烈的討論中。產(chǎn)生這些分歧的主要原因是計算體系的尺度不同，以及伴隨處理這些體系近似方法的差異。本文計算的是有限尺度N=16下體系表現(xiàn)出來的特征，并進(jìn)一步計算了N=18和20尺度下能級交叉表現(xiàn)出來的趨勢。

采用Marshall-Peierls態(tài)比重方法［11，14］，計算了基態(tài)在三個樣本態(tài)g'=0.00，0.50，0.99上的投影大小SW，并在圖4中作出了三條對應(yīng)的態(tài)比重SW隨參數(shù)g變化的曲線。發(fā)現(xiàn)反鐵磁Neel態(tài)g'=0.00在g＜0.50的區(qū)域維持著很高的比重(＞80%)，在g=0.50～0.60的區(qū)域Neel態(tài)的比重隨著g的增大迅速衰減，當(dāng)g到達(dá)0.71的時候Neel態(tài)的比重已經(jīng)很低(＜20%)。相反，條紋態(tài)g'=0.99在g＞0.71的區(qū)域維持著高比重(＞90%)，在g=0.50～0.71的區(qū)域條紋態(tài)的比重隨著g的減小迅速衰減，當(dāng)g＜0.50的時候條紋態(tài)的比重已經(jīng)非常低(＜10%)。特別地，自旋液態(tài)g'=0.50的比重在g=0.5附近達(dá)到峰值，往左隨著g的減小自旋液態(tài)的比重逐漸衰減到80%以下，而往右隨著g的增大自旋液態(tài)的比重迅速衰減到20%以下。

圖4 Marshall-Peierls態(tài)比重方法成分分析樣本態(tài)g'=0.00,0.50,0.99在基態(tài)中的比重SW隨參數(shù)g的變化Fig.4 Component analysis by Marshall-Peierls state weight method State weights(SW)of the states sampled at g'=0.00,0.50,0.99 in ground state versus parameter g

在給定量子態(tài)下，對于總自旋量子數(shù)S，對應(yīng)總自旋算符的平方可以表示為

以及總自旋算符z方向分量為

兩個自旋格點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)函數(shù)可以表示為Cij=根據(jù)哈密頓量的表達(dá)式，能量可以通過自旋關(guān)聯(lián)表達(dá)出來

因為該模型中能量的本質(zhì)就是自旋在兩種耦合模式下的關(guān)聯(lián)相互作用，所以能級交叉也可以通過自旋關(guān)聯(lián)的交叉來反映，如圖5所示。對于基態(tài)，自旋關(guān)聯(lián)的值隨距離平方的增加震蕩衰減，如圖5(b)所示，進(jìn)一步作出自旋關(guān)聯(lián)的絕對值隨著距離的變化曲線，如圖5(c)所示，基本上呈指數(shù)衰減。在參數(shù)g空間中，自旋關(guān)聯(lián)的交叉給出臨界點(diǎn)，如圖5(a)所示：最近鄰r2=1與次近鄰r2=2的自旋關(guān)聯(lián)交叉于=0.63的位置，給出一階相變點(diǎn)的位置，這與其他方法［4，5，10，14，16］給出的一階相變點(diǎn)比較吻合；阻挫相互作用下，在相變點(diǎn)的左邊Neel序占優(yōu)，而在相變點(diǎn)右邊條紋序占優(yōu)；該體系中最遠(yuǎn)關(guān)聯(lián)r2=8與次遠(yuǎn)關(guān)聯(lián)r2=5有兩個交叉點(diǎn)gcin1=0.49和在臨界點(diǎn)gcin1處兩種關(guān)聯(lián)均接近于零；在r2=8與r2=5谷峰交疊區(qū)域的左側(cè)g＜gcin1，二者基本上等大反號，而在右側(cè)g＞隨著g的增大，次遠(yuǎn)關(guān)聯(lián)r2=5的數(shù)值很平滑地趨于零，最遠(yuǎn)關(guān)聯(lián)r2=8反而較快地增長到超過g=0.00時的水平；次近鄰r2=2與次遠(yuǎn)r2=5的自旋關(guān)聯(lián)在臨界點(diǎn)gcin2=0.54處發(fā)生交叉，在交叉點(diǎn)gcin2的左側(cè)，隨著g的增大，中程r2=4與次近鄰r2=2的自旋關(guān)聯(lián)一致地下降，而在交叉點(diǎn)的右側(cè)中程r2=4自旋關(guān)聯(lián)不降反升，與最遠(yuǎn)關(guān)聯(lián)r2=8保持一致。

圖5 自旋關(guān)聯(lián)(a)自旋關(guān)聯(lián)Cij隨參數(shù)g的變化，分別給出6條不同關(guān)聯(lián)長度平方r2下的關(guān)聯(lián)函數(shù)曲線，(b)自旋關(guān)聯(lián)Cij隨關(guān)聯(lián)距離平方r2的變化，(c)自旋關(guān)聯(lián)的絕對值|Cij|隨關(guān)聯(lián)距離平方r2的變化，分別給出5個特征g值下的曲線Fig.5 Spin correlation(a)The curves of spin-correlation function Cij versus g for 6 different correlation length's square r2,respectively，(b)Spin-correlation Cij versus r2，(c)Absolute value of spin-correlation|Cij|versus r2 for 5 typical values of g

圖6 特征參數(shù)g=0.30,0.51,0.57,0.63,0.71,0.99值處結(jié)構(gòu)因子等高線的峰谷和鞍點(diǎn)位置(a)g=0.30,(b)g=0.51,(c)g=0.57,(d)g=0.63,(e)g=0.71,(f)g=0.99Fig.6 Peak-valleys and saddle points of structure factor contour maps at typical parameter value g=0.30,0.51,0.57,0.63,0.71,0.99(a)g=0.30,(b)g=0.51,(c)g=0.57,(d)g=0.63,(e)g=0.71,(f)g=0.99

圖7 Neel序和條紋序的磁化強(qiáng)度Fig.7 Magnetization of Neel and stripe phases

通過計算基態(tài)能量及其對參數(shù)g的一、二階導(dǎo)數(shù)，如圖8(a)所示，基態(tài)能量在中間相達(dá)到極大值，能量的一階導(dǎo)數(shù)在=0.63處有一個陡峭的下降，能量的二階導(dǎo)數(shù)在處有一個極小值，對應(yīng)一階相變點(diǎn)。在熱力學(xué)極限下基態(tài)能量在處不連續(xù)，所以是一個在有限體系下沒有顯現(xiàn)出來的基態(tài)能級交叉點(diǎn)。圖8(b)給出N=16體系的基本能級結(jié)構(gòu)和能隙，可以看到各能級間的交叉以及能隙的零點(diǎn)位置。第一激發(fā)態(tài)相對于基態(tài)的能隙在gc2附近達(dá)到極小值接近于零，而且基態(tài)能量相對于參數(shù)g的二階導(dǎo)數(shù)在處給出一個極小峰，這兩個點(diǎn)給出了有限尺度下一階相變點(diǎn)可能存在的大致范圍根據(jù)分級平均場［20］和簇密度矩陣內(nèi)嵌［21］得到熱力學(xué)極限下臨界點(diǎn)附近基態(tài)能量不解析，蒙特卡洛方法［4］得到臨界點(diǎn)附近存在塊價鍵態(tài)和條紋態(tài)的能級交叉，表明此處發(fā)生的是一階相變。圖9通過計算N=18，20這樣更大體系的能級發(fā)現(xiàn)，當(dāng)體系到達(dá)20個格點(diǎn)的時候，就可以比較準(zhǔn)確地看到一階相變的能級交叉。

圖8 N=16體系的能量(a)基態(tài)能量（主圖）及其一、二階導(dǎo)數(shù)（子圖），(b)基態(tài)低激發(fā)態(tài)能級（主圖）和對應(yīng)的能隙（子圖）Fig.8 Energy of the system N=16(a)Ground-state energy(main plot)and corresponding derivatives to 2nd order(2 subplots)，(b)Ground state and low-lying energy levels(main plot)and corresponding gaps(subplot)

圖9 尺度為N=18,20體系的基態(tài)和低激發(fā)態(tài)能級Fig.9 Ground state and low-lying energy levels of systems with size N=18,20

本文使用的計算工具是第一作者自主編寫的C程序：迭代算法的核心是抽象算符作用和矢量化，避開存儲超大型矩陣（232個雙精度矩陣元，對于N=16體系），哈密頓量的作用過程通過獨(dú)立的翻轉(zhuǎn)邏輯函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，翻轉(zhuǎn)操作對象為數(shù)組化的態(tài)矢量；逆迭代算法的核心是共軛梯度法，對于海森堡模型中算符兩兩作用的二次收斂問題，其精度和計算效率十分可靠。基于共享的原則，作者將整個程序包放在ResearchGate科研意識形態(tài)網(wǎng)站（https：//w w w.researchgate.net）上開放閱讀交流。

對于計算效率，一般精度模式下每個能態(tài)的計算耗時3分鐘，高精度模式下每個能態(tài)的計算耗時1小時。一般精度模式主要用于三分法中對能級作地毯式掃描，精確計算能態(tài)則要用到高精度模式。

2 中間相結(jié)構(gòu)的表征

由于相互作用的傳遞，不僅不同距離的格點(diǎn)某種程度地關(guān)聯(lián)起來，而且一些格點(diǎn)簇也會呈現(xiàn)出關(guān)聯(lián)，進(jìn)而產(chǎn)生不同的局域化結(jié)構(gòu)。二聚化算符［4，5］可以定義為一種沿著ζ=x或z方向的鍵作用算符是一種最簡單的結(jié)構(gòu)化算符，并且是一個標(biāo)量，使用十分方便。類似于用自旋算符描述自旋關(guān)聯(lián)一樣，同樣可以利用二聚化算符描述格點(diǎn)簇的二聚化關(guān)聯(lián)

類比自旋格點(diǎn)的結(jié)構(gòu)因子，還可以構(gòu)造二聚化結(jié)構(gòu)因子［4，17］

取x方向二聚化得到格點(diǎn)簇的聚合強(qiáng)度

圖10 特征參數(shù)g=0.51,0.57,0.63,0.71值處的二聚化結(jié)構(gòu)因子等高線的峰谷和鞍點(diǎn)位置Fig.10 Peak-valleys and saddle points of dimer-structure factor contour maps at typical parameter values g=0.51,0.57,0.63,0.71

圖11 二聚化格點(diǎn)簇聚合強(qiáng)度Fig.11 Aggregation intensity of dimers

3 結(jié)語

考慮到格點(diǎn)系的哈密頓量H(g)是無量綱參數(shù)g的函數(shù)，我們追蹤H(g)的基態(tài)能量隨著g的演化函數(shù)。對于有限體系，基態(tài)能量對參數(shù)g是光滑的、解析的。出現(xiàn)違反這一規(guī)則的情況，主要是由于g耦合了兩個相互對易的部分。在給定g的鄰域內(nèi)，當(dāng)近鄰項H0和次近鄰項H1變化不大時，能量曲線在該g值附近可以近似用一個切線來擬合，其中分別是與H0和H1相關(guān)的常數(shù)參量。通過體系總自旋量子數(shù)可以看出，雖然本征能量隨著g改變，但是本征函數(shù)卻和g無關(guān)，這樣便會出現(xiàn)能級交叉。一個激發(fā)態(tài)在這個臨界點(diǎn)同時也是基態(tài)，這種交叉破壞了基態(tài)能量對g的解析性，形成奇異點(diǎn)。由于哈密頓量是對一個體系相互作用的一般描述，所以不僅僅是基態(tài)能量，低激發(fā)態(tài)能量對g的解析性也會由于能級交叉的出現(xiàn)而產(chǎn)生奇異點(diǎn)。

一個在有限體系下沒能表現(xiàn)出來的能級交叉，隨著格點(diǎn)體系的增大，能級交叉將會越來越顯著，最后在無限大體系下形成一個尖銳的臨界點(diǎn)。熱力學(xué)極限下，我們可以找出任何基態(tài)能量不解析的奇異點(diǎn)。這些點(diǎn)就是體系的量子相變點(diǎn)，它們可以是有限體系下已經(jīng)出現(xiàn)的能級交叉點(diǎn)，也可能是有限體系下沒有表現(xiàn)出來的能級交叉點(diǎn)。

本文計算了自旋1/2海森堡反鐵磁J1-J2方格子的基態(tài)和低激發(fā)態(tài)及相應(yīng)的本征能量，并在總自旋量子數(shù)S子空間內(nèi)精確對角化，進(jìn)一步得到哈密頓量H、總自旋量子數(shù)S、總自旋z分量量子數(shù)Sz的共同本征態(tài)。根據(jù)能級交叉和二聚化算符，近似給出中間相內(nèi)的相變點(diǎn)gcin1=0.49和gcin2=0.53。計算結(jié)果表明，在中間相g=0.41～0.71的左右兩側(cè)分別為Neel相(g=0.00～0.40)和條紋相(g=0.72～0.99)；中間相被低激發(fā)的自旋單態(tài)S=0和自旋三重態(tài)S=1的能級交叉分隔成了g=0.41～0.49和g=0.50～0.71兩個區(qū)域，并且在g=0.50～0.52的區(qū)域發(fā)現(xiàn)低激發(fā)態(tài)拓?fù)涠睾啿⒌腪2幾何自旋液態(tài)。