向文昌，蔡燕兵?，周代翠

1.貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)金融物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴州貴陽 550025；

2.華中師范大學(xué)粒子物理研究所，湖北 武漢430079

0 引言

在高能強(qiáng)子碰撞初期，由于膠子劈裂效應(yīng)使得強(qiáng)子中的膠子密度會(huì)隨著能量的增加（或者動(dòng)量分?jǐn)?shù)x的減?。┒龃蟆８鶕?jù)量子色動(dòng)力學(xué)預(yù)言，當(dāng)膠子密度達(dá)到一定程度時(shí)膠子融合現(xiàn)象變得重要，因此膠子的密度并不會(huì)無限制地增加。當(dāng)能量達(dá)到臨界值時(shí)，非線性效應(yīng)使得膠子融合與劈裂達(dá)到一種平衡狀態(tài)，形成飽和膠子物質(zhì)，也稱之為色玻璃凝聚態(tài)（color glass condensate,CGC）[1]。在高能碰撞中尋找CGC存在的信號一直是高能核物理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。在實(shí)驗(yàn)方面，從HERA（hadron electron ring accelerator）能區(qū)到RHIC（relativistic heavy ion collider）能區(qū)，再到LHC（large hadron collider）能區(qū)都有大量的實(shí)驗(yàn)致力于尋找CGC存在的證據(jù)，例如在HERA能區(qū)，H1和ZEUS實(shí)驗(yàn)組發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足幾何標(biāo)度效應(yīng)[2]，驗(yàn)證了CGC理論的其中一個(gè)預(yù)言，間接地表明了HERA能區(qū)可能存在CGC物質(zhì)。在理論方面，高能物理學(xué)家們在色玻璃凝聚理論框架下計(jì)算了不同能區(qū)的各種實(shí)驗(yàn)觀測量，如質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)、末態(tài)強(qiáng)子橫動(dòng)量分布、粒子多重?cái)?shù)等，在一定的誤差范圍內(nèi)理論計(jì)算很好地描述了相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，顯示出了CGC理論的有效性[3]。然而除CGC理論外，其他一些理論，如DGLAP(Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi)演化也能對相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)觀測量給出較好的描述[4，5]。因此，目前人們還很難甄別高能強(qiáng)子碰撞中初態(tài)形成的高密部分子系統(tǒng)到底是服從CGC演化機(jī)制、DGLAP演化機(jī)制還是其他演化機(jī)制。

大量的研究顯示單舉質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)對強(qiáng)子/核中的膠子分布比較敏感，可將單舉質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)作為CGC物質(zhì)的一個(gè)探針[6～8]。在單舉質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)上，目前已積累了大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)在小動(dòng)量分?jǐn)?shù)（x）區(qū)域膠子的密度隨x的減小而快速地增長[9]。但單舉過程的散射截面僅正比于膠子密度的一次方，對膠子飽和效應(yīng)的敏感度不高，故人們開始從衍射過程中尋找更多膠子飽和的證據(jù)。衍射過程的散射截面正比于膠子密度的平方，因此對膠子飽和更為敏感[10]，故衍射過程可作為CGC物質(zhì)的一個(gè)重要探針。尤其是衍射遍舉矢量介子產(chǎn)生是探測CGC物質(zhì)的一個(gè)理想方法，因?yàn)樵诖诉^程中通過測量轉(zhuǎn)移動(dòng)量的平方t就可以得到膠子在強(qiáng)子中的橫向分布信息，而在單舉過程中無法實(shí)現(xiàn)這一研究[11]。此外，衍射離解過程中矢量介子的產(chǎn)生也是探測CGC物質(zhì)的一個(gè)理想方法。Cepila等[12]研究了J/ψ介子的衍射離解產(chǎn)生，發(fā)現(xiàn)J/ψ產(chǎn)生截面隨能量變化的過程中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)峰，該峰可作為CGC物質(zhì)產(chǎn)生的一個(gè)特有信號。以上研究中在計(jì)算矢量介子產(chǎn)生時(shí)都采用了領(lǐng)頭階偶極子散射振幅，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果精度不高。為了提高模型的精度，我們在之前的研究中考慮到了跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)和共線修正對偶極子散射振幅的影響，推廣矢量介子產(chǎn)生模型到次領(lǐng)頭階精度水平[13]，并加入了熱點(diǎn)效應(yīng)以及虛度對熱點(diǎn)數(shù)的影響，建立了一個(gè)次領(lǐng)頭階矢量介子產(chǎn)生模型[14]，有效地提高了模型對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的描述水平。

近年來有研究發(fā)現(xiàn)Sudakov效應(yīng)對偶極子演化方程有很強(qiáng)的修正作用，并推導(dǎo)得到了Sudakov壓低的Balitsky-Kovchegov(SSBK)方程[15]。在前期研究中，通過在飽和區(qū)域近似地求解SSBK方程，獲得解析形式的偶極子散射振幅[16]，發(fā)現(xiàn)了Sudakov效應(yīng)對偶極子散射振幅演化速度的壓低作用。本文采用數(shù)值方法求解了SSBK方程，并把數(shù)值形式的偶極子散射振幅應(yīng)用于研究衍射遍舉和離解過程的矢量介子產(chǎn)生，結(jié)果顯示Sudakov修正的散射振幅能夠?qū)?shí)驗(yàn)觀察值給出很好的描述。

1 CGC理論中衍射矢量介子的產(chǎn)生

本節(jié)將以CGC理論為基礎(chǔ)，首先介紹偶極子模型下衍射遍舉和衍射離解過程中矢量介子的產(chǎn)生截面；其次介紹矢量介子和光子波函數(shù)。

1.1 矢量介子的衍射產(chǎn)生

衍射事件是電子與質(zhì)子深度非彈散射中的一個(gè)重要過程，此過程的特征是光子和質(zhì)子之間通過交換膠子對發(fā)生相互作用且存在快度間隙[17]。按照相互作用后質(zhì)子的狀態(tài)，衍射過程可細(xì)分為遍舉過程和離解過程，如圖1所示。其中，p表示質(zhì)子,γ表示光子,V表示矢量介子,X表示其他成分。圖1(a)為矢量介子的衍射遍舉產(chǎn)生過程示意圖，在此過程中光子與質(zhì)子通過交換膠子發(fā)生相互作用，作用后產(chǎn)生矢量介子，但質(zhì)子保持完好狀態(tài)。圖1(b)為矢量介子的衍射離解產(chǎn)生過程示意圖，此過程與衍射遍舉產(chǎn)生過程類似，但相互作用后質(zhì)子被擊碎。

圖1 矢量介子衍射產(chǎn)生示意圖：遍舉過程（a）和離解過程（b）Fig.1 The diagrams for diffractive vector meson production:exclusive process(a)and dissociative process(b)

在CGC理論框架下，人們通常用偶極子模型統(tǒng)一描述衍射遍舉過程和衍射離解過程。在偶極子模型中，電子與質(zhì)子相互作用分為三個(gè)步驟：1）來自電子的虛光子劈裂成正反夸克對（偶極子）；2）偶極子通過交換膠子與質(zhì)子發(fā)生相互作用；3）正反夸克對重新結(jié)合成矢量介子。由因子化理論可知，矢量介子衍射產(chǎn)生的虛光子-質(zhì)子散射振幅虛部可寫為[18]

其中，x稱為Bjorken變量，表示膠子所攜帶質(zhì)子的動(dòng)量分?jǐn)?shù)；Q2表示光子虛度；z和1-z分別表示夸克和反夸克攜帶虛光子的縱向動(dòng)量分?jǐn)?shù)表示動(dòng)量轉(zhuǎn)移，其與轉(zhuǎn)移動(dòng)量的平方的函數(shù)關(guān)系為：Δ2=-t；積分變量表示偶極子在橫向平面的大?。环e分變量表示碰撞參數(shù)，即偶極子中心到質(zhì)子中心的橫向距離為光子和矢量介子的向前重疊波函數(shù),對于非向前部分可通過引入相因子考慮其貢獻(xiàn)；向前重疊波函數(shù)中ψ表示入射光子的光錐波函數(shù)，其含義是虛光子劈裂成正反夸克對的概率；ψV表示矢量介子的光錐波函數(shù)，其含義是正反夸克對結(jié)合成矢量介子的概率。由于末態(tài)矢量介子可分為橫向和縱向極化兩種情況，所以波函數(shù)寫為橫向（T）和縱向（L）部分，重疊波函數(shù)的具體形式我們將在下一小節(jié)進(jìn)行介紹。（1）式中的為偶極子-質(zhì)子散射截面，它包含了偶極子-質(zhì)子相互作用的所有信息。根據(jù)光學(xué)定理，偶極子-質(zhì)子散射截面與偶極子-質(zhì)子散射振幅之間的關(guān)系為[18]

為了簡化計(jì)算，我們沿用Cepila等[12]的方法，將偶極子-質(zhì)子散射振幅因子化成三個(gè)部分

其中，σ0為常數(shù)，在因子化過程中我們用r表示的模。N(x,r)為偶極子散射振幅，它僅是偶極子模的函數(shù)，與偶極子方向無關(guān)，其值可以通過解偶極子演化方程得到。本研究中我們首次將Sudakov抑制演化方程所得的偶極子散射振幅運(yùn)用于矢量介子產(chǎn)生的研究，以揭示Sudakov效應(yīng)對矢量介子產(chǎn)生的影響，下一節(jié)我們將對相應(yīng)的偶極子演化方程進(jìn)行詳細(xì)介紹。

在偶極子-質(zhì)子相互作用過程中，由于高能質(zhì)子本身是一個(gè)量子體，其結(jié)構(gòu)會(huì)因?yàn)榱孔有?yīng)而波動(dòng)，在質(zhì)子中形成一些高密的部分子區(qū)域，也稱為熱點(diǎn)[19]。因此，因子化（3）式中的質(zhì)子輪廓函數(shù)T()可以表示為這些熱點(diǎn)的和

這里Ths為熱點(diǎn)在質(zhì)子中的分布，其具有高斯形式[12]

其中，p0=0.011，p1=-0.58，p2=250。

前面我們介紹了計(jì)算矢量介子衍射產(chǎn)生所需的偶極子-質(zhì)子散射振幅和質(zhì)子輪廓函數(shù)的具體形式，將它們代到（1）式中，并進(jìn)行相應(yīng)的積分和化簡可得

與（3）式約定相同，上式中Δ表示的模。利用（7）式，就可以分別計(jì)算衍射遍舉過程和衍射離解過程中的矢量介子產(chǎn)生微分截面[12]

其中，γ*表示入射虛光子。（8）式和（9）式是計(jì)算矢量介子產(chǎn)生微分截面的核心公式，將這兩個(gè)式子對t進(jìn)行積分可以得到衍射遍舉過程和衍射離解過程中的矢量介子產(chǎn)生總截面。

1.2 矢量介子與光子波函數(shù)

矢量介子與光子的波函數(shù)是計(jì)算矢量介子產(chǎn)生的一個(gè)重要部分。對于光子光錐波函數(shù)，可通過微擾量子電動(dòng)力學(xué)精確計(jì)算；對于矢量介子光錐波函數(shù)，由于其參數(shù)化形式中包含一個(gè)額外的頂點(diǎn)函數(shù)，需要引入相應(yīng)的模型來處理，對頂點(diǎn)函數(shù)的不同處理方法導(dǎo)致了不同的矢量介子光錐波函數(shù)模型，如boosted Gaussian模型[18]，Gauss-LC模型[20]和DGKP模型[21]。這些模型都能對特定的矢量介子產(chǎn)生給出解釋，但不同模型對同一矢量介子的描述能力存在差異，所以并不能確定哪種模型更優(yōu)。從（7）式可以看出，影響計(jì)算矢量介子產(chǎn)生精度的兩個(gè)主要因素是矢量介子與光子重疊波函數(shù)()和偶極子散射振幅N(x,r)。但本文主要研究Sudakov效應(yīng)對矢量介子產(chǎn)生的影響（即散射振幅對矢量介子產(chǎn)生的影響）。為了更好地研究這一影響，我們將采用統(tǒng)一的波函數(shù)模型。

橫向和縱向矢量介子與光子重疊波函數(shù)可分別寫為[18]

其中，Qf=，mf是夸克的質(zhì)量，MV為末態(tài)矢量介子質(zhì)量為夸克電荷，αem為電磁精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，Nc為色數(shù)目，K0和K1為零階和一階貝塞爾函數(shù)。重疊波函數(shù)中?T(r,z)和?L(r,z)為橫向和縱向標(biāo)量函數(shù)，由于boosted Gaussian模型對輕矢量介子?和重矢量介子J/ψ都能給出較好的描述，所以本研究中將采用boosted Gaussian模型的標(biāo)量函數(shù)

其中，NT,L和R為模型參數(shù)。對于矢量介子與光子重疊波函數(shù)，在我們的計(jì)算中參數(shù)δ取1，其余參數(shù)的取值如表1所示[18]。

表1 boosted Gaussian模型下矢量介子波函數(shù)參數(shù)[18]Table 1 The parameters of the vector meson wave function in boosted Gaussian model[18]

2 偶極子演化方程

在CGC理論中，偶極子模型的核心思想是光子漲落成正反夸克對，然后正反夸克對形成的偶極子與質(zhì)子發(fā)生相互作用，因此偶極子-質(zhì)子散射振幅的精度在很大程度上決定了模型對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的描述能力。在以往的研究中，人們通常采用唯象模型或領(lǐng)頭階的演化方程來獲得偶極子散射振幅，由于模型精度不高，未能對矢量介子的產(chǎn)生作出較好的描述。本研究中我們將偶極子散射振幅由領(lǐng)頭階提升至Sudakov抑制的次領(lǐng)頭階精度水平，并將其數(shù)值解用于研究衍射過程中矢量介子的產(chǎn)生。

領(lǐng)頭階的偶極子演化方程通常指的是領(lǐng)頭階Balitsky-Kovchegov（LOBK）方程，LOBK方程描述了偶極子散射振幅隨快度Y的演化情況，在大色自由度極限下可寫為[22，23]

其中，r、r1和r2分別表示母偶極子和演化一步后產(chǎn)生的兩個(gè)子偶極子的橫向大??；演化方程最后一項(xiàng)N(r1,Y)N(r2,Y)是非線性項(xiàng)，表示產(chǎn)生的兩個(gè)新偶極子同時(shí)與靶的相互作用，非線性項(xiàng)的出現(xiàn)使得偶極子散射振幅滿足幺正性，即膠子飽和時(shí)N(r,Y)趨近于1的特性；上式中KLO為LOBK方程的演化核，其表達(dá)式為

LOBK方程中只考慮了領(lǐng)頭對數(shù)αln(x)重求和修正且α為一固定常數(shù)，故其精度不高。將LOBK方程的數(shù)值解用于研究質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)理論值大于實(shí)驗(yàn)觀測值，究其原因是LOBK方程給出的偶極子散射振幅隨快度的演化速度過快[7]。因此，人們開始考慮高階修正以壓低散射振幅的演化速度，這類高階修正中最先考慮的是跑動(dòng)耦合常數(shù)修正[24，25]。從費(fèi)曼圖的角度看，跑動(dòng)耦合常數(shù)修正相當(dāng)于考慮了夸克圈的貢獻(xiàn)，但夸克圈修正并不是唯一的高階修正，而且僅考慮夸克圈修正的演化方程過度地壓低了方程的演化速度[26]，致使方程并不能有效地描述質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)。一個(gè)更完整的高階修正還應(yīng)該包括膠子圈和非線性的平方、立方膠子樹圖，考慮所有這些高階修正后，可以得到一個(gè)完整的次領(lǐng)頭階演化方程(NLOBK)[27]。與LOBK方程相比，NLOBK方程結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜，以至于在得出方程多年后人們才得到其數(shù)值解。然而NLOBK方程的數(shù)值解并不穩(wěn)定，人們發(fā)現(xiàn)隨著快度的增加，當(dāng)偶極子足夠小時(shí)，偶極子散射振幅會(huì)出現(xiàn)負(fù)值情形[28]。這一現(xiàn)象違背了散射振幅非負(fù)性的物理屬性。導(dǎo)致演化方程不穩(wěn)定的根本原因是NLOBK方程的演化核中的雙對數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生了過大的輻射修正。

為了解決雙對數(shù)項(xiàng)導(dǎo)致的不穩(wěn)定性問題，人們進(jìn)行了大量的研究，發(fā)展了不同的處理方法。早期，人們所使用的方法是在射彈快度Y表示下對雙對數(shù)項(xiàng)進(jìn)行重求和，根據(jù)重求和的方案可將重求和分為兩類：一類是對演化方程的演化核進(jìn)行動(dòng)力學(xué)限制，從而得到射彈快度表示下的非局域演化方程[29]；另一類是對所有階的雙對數(shù)修正進(jìn)行重求和，從而得到射彈快度表示下共線改進(jìn)的演化方程[8，30]。這兩種重求和方法都能使NLOBK方程穩(wěn)定，并且在領(lǐng)頭雙對數(shù)精度下兩種方案等效。隨后的研究發(fā)現(xiàn)，盡管這兩種方法解決了雙對數(shù)項(xiàng)導(dǎo)致的不穩(wěn)定性問題，但射彈快度并不是偶極子演化方程合適的演化變量，這是因?yàn)樗袃蓚€(gè)固有缺陷[31]：一方面，射彈快度表示下的演化中存在違反時(shí)間順序的膠子輻射，但在靶快度η表示下，膠子輻射的時(shí)間順序自動(dòng)得到滿足；另一方面，Bjorken變量x通過η=ln(1/x)與靶快度自然聯(lián)系，而并非射彈快度。進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，在靶快度表示下的演化方程中雙對數(shù)項(xiàng)自動(dòng)抵消，由雙對數(shù)項(xiàng)引起的不穩(wěn)定性問題也隨之解決[31]。因此，靶快度表示的演化方程將更具有優(yōu)越性。最新研究發(fā)現(xiàn)，Sudakov效應(yīng)對演化方程有著十分重要的修正作用[15]。Sudakov效應(yīng)產(chǎn)生的根源是：在高階情況下，t通道的實(shí)修正和虛修正并沒有完全抵消，從而產(chǎn)生次領(lǐng)頭的雙對數(shù)項(xiàng)，這些雙對數(shù)項(xiàng)具有典型的Sudakov特征。將雙對數(shù)項(xiàng)重求和可得到SSBK方程[15]

從SSBK方程的演化核可以看出重求和后雙對數(shù)變成了指數(shù)型。值得注意的是SSBK方程是靶快度表示下的次領(lǐng)頭階演化方程，我們前期的研究表明，SSBK方程所得到的偶極子散射振幅能很好地描述HERA能區(qū)的單舉散射過程的約化截面[16]。本研究首次將SSBK演化方程用于研究衍射過程中的矢量介子產(chǎn)生，發(fā)現(xiàn)由于Sudakov效應(yīng)壓低了偶極子散射振幅的演化速度，從而使得SSBK演化方程能更好地描述衍射遍舉和離解過程的矢量介子產(chǎn)生。

3 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)將利用SSBK方程所得到的偶極子散射振幅計(jì)算衍射過程中的矢量介子產(chǎn)生。為了便于比較，也給出了LOBK方程所計(jì)算的結(jié)果。本節(jié)首先對求解微分積分形式的LOBK和SSBK演化方程數(shù)值方法和初始條件進(jìn)行介紹，給出數(shù)值形式的偶極子散射振幅。其次，將它們用于計(jì)算衍射過程中的遍舉和離解矢量介子產(chǎn)生。

3.1 偶極子散射振幅的數(shù)值解

從（13）和（15）式可以看出，LOBK和SSBK演化方程都屬于復(fù)雜的微分積分方程，目前還無法得到完整的解析解，因此我們采用計(jì)算機(jī)程序計(jì)算它們的數(shù)值解。在數(shù)值計(jì)算中，將r離散化為256個(gè)點(diǎn)，對應(yīng)于rmin=2.06×10-9GeV，rmax=5.46×10 GeV，快度步長設(shè)為Δη=0.1。對于演化方程中的微分，采用龍格庫塔方法求解；對于演化方程中的積分，采用自適應(yīng)辛普森方法求解。另外，采用三次樣條插值得到任意r和η時(shí)的散射振幅。為得到微分積分方程的數(shù)值解，本文采用McLerran-Venugopalan（MV）模型作為初始條件，其參數(shù)化形式為[32]

為了更好地看出LOBK和SSBK演化方程隨快度演化速度的差異，我們給出了4種快度下LOBK和SSBK演化方程所得N(r,η)隨r的變化，如圖2。圖2（a）中縱軸為普通坐標(biāo)，突出顯示飽和區(qū)域的演化情況，圖2（b）縱軸為對數(shù)坐標(biāo)，突出顯示非飽和區(qū)域的演化情況。圖2中實(shí)線表示SSBK演化方程的數(shù)值解，虛線表示LOBK演化方程的數(shù)值解，黑實(shí)線（I.C.）表示快度為0的初始條件，紫色、藍(lán)色和棕色分別代表快度η為4、8和12的數(shù)值解。從圖2中可以看出雖然初始條件相同，但隨著方程的演化，SSBK演化方程的數(shù)值解和LOBK演化方程的數(shù)值解在非飽和區(qū)域差距越來越大，并且LOBK方程的解大于SSBK方程的解。這表明偶極子散射振幅的演化速度被Sudakov效應(yīng)壓低了，極大彌補(bǔ)LOBK方程演化速度過快的不足，將能更好地描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖2 4種快度下LOBK和SSBK演化方程的偶極子散射振幅：突出顯示飽和區(qū)域（a）和突出顯示非飽和區(qū)域（b）Fig.2 The dipole-proton amplitude for LOBK and SSBK equations at four different rapidities:highlighting the saturation region(a)and highlighting the non-saturation region(b)

3.2 衍射矢量介子產(chǎn)生

為了顯示Sudakov效應(yīng)修正的偶極子散射振幅具有更好地描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力，本小節(jié)我們利用前面所得到的偶極子散射振幅計(jì)算HERA能區(qū)衍射矢量介子產(chǎn)生，并與H1實(shí)驗(yàn)組所測數(shù)據(jù)[33，34]作比較。

圖3給出了不同光子虛度Q2下衍射遍舉過程的J/ψ和?介子產(chǎn)生的微分截面隨|t|的變化。由于本研究是基于CGC理論框架，所以我們只考慮Q2≥1GeV2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。圖3中實(shí)線表示的結(jié)果源自SSBK演化方程所得的微分截面，虛線表示的結(jié)果源自SSBK演化方程所得的微分截面（下同）。從圖3(a)和3(c)我們可以看出，SSBK的偶極子散射振幅與LOBK的偶極子散射振幅給出了相似的結(jié)果，并不能明顯區(qū)分出那種偶極子散射振幅更能描述J/ψ介子實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。此外，在|t|大于0.5 GeV2時(shí)，SSBK的偶極子散射振幅與LOBK的偶極子散射振幅均與實(shí)驗(yàn)存在偏差。這一方面是由于實(shí)驗(yàn)本身存在一定的誤差，另一方面是由于計(jì)算中所使用的偶極子散射振幅是向前的（|t|=0），對于非向前部分的貢獻(xiàn)只能通過相因子引入，這也影響了理論計(jì)算的精度。從圖3(b)和3(d)可以明顯看出，SSBK的偶極子散射振幅比LOBK的偶極子散射振幅更能描述?介子實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從圖3中還可以看出，LOBK給出的偶極子散射振幅所得結(jié)果大于SSBK的偶極子散射振幅所得結(jié)果，并且在大多數(shù)區(qū)域LOBK的偶極子散射振幅所得結(jié)果都高于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從總體趨勢來看，由于Sudakov效應(yīng)抑制了偶極子散射振幅的演化速度，因此所得結(jié)果比LOBK小，從而能對不同Q2的矢量介子都作出較好的描述。

圖3 不同Q2下衍射遍舉過程中J/ψ和?介子產(chǎn)生的微分截面隨|t|的變化Fig.3 The differential cross section of diffractive exclusive J/ψ and?mesons production as a function of|t|at different Q2

圖4給出了不同Q2下衍射離解過程的矢量介子（J/ψ和?）產(chǎn)生的微分截面隨|t|的變化。在HERA能區(qū)衍射離解過程數(shù)據(jù)還很少，為了計(jì)算的完整性，對于無實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的衍射離解過程，給出了與衍射遍舉過程對應(yīng)Q2的預(yù)測結(jié)果（下同）。對于J/ψ介子，由于缺乏相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，因此僅給出了Q2=3.2 GeV2和Q2=7 GeV2的預(yù)測結(jié)果。對于?介子，給出了Q2=3.3 GeV2的預(yù)測結(jié)果，同時(shí)也給出了Q2=5 GeV2時(shí)的計(jì)算結(jié)果并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較。從圖4可以看出SSBK給出的偶極子散射振幅比LOBK給出的偶極子射振幅能更好地描述?介子產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖4 不同Q2下衍射離解過程中J/ψ和?介子產(chǎn)生的微分截面隨|t|的變化Fig.4 The differential cross section of diffractive dissociative J/ψand?mesons production as a function of|t|at different Q2

為了進(jìn)一步顯示出Sudakov效應(yīng)修正的偶極子散射振幅在描述輕、重矢量介子產(chǎn)生中的優(yōu)越性，圖5給出了不同Q2下衍射遍舉過程的J/ψ和?介子產(chǎn)生的總截面隨光子-質(zhì)子質(zhì)心系能量的變化。從圖5可以看出SSBK給出的偶極子散射振幅能對輕、重矢量介子都作出較好的描述。從圖5中還可知，隨著的增加，Sudakov效應(yīng)修正的偶極子散射振幅所給結(jié)果與領(lǐng)頭階偶極子散射振幅所給出的結(jié)果差距逐漸增大。其原因是對于同一Q2，隨著的增加快度也隨之增加，偶極子散射振幅之間的差異也隨之變大，這一結(jié)果與圖2相一致。因此，圖5也間接表明了Sudakov效應(yīng)抑制散射振幅的演化速度。

圖5 不同Q2下衍射遍舉過程中J/ψ和?介子產(chǎn)生的總截面隨的變化Fig.5 The total cross section of diffractive exclusive J/ψand ?mesons production as a function ofat different Q2

圖6給出了不同Q2下衍射離解過程中J/ψ和?介子產(chǎn)生的總截面隨的變化。從圖6中可以看出，領(lǐng)頭階總截面普遍都大于Sudakov效應(yīng)修正的次領(lǐng)頭階總截面，由此也反映出Sudakov效應(yīng)對偶極子散射振幅演化速度的抑制性。此外，從圖6中Q2=5 GeV2時(shí)理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測量值的比較可知，Sudakov效應(yīng)修正的次領(lǐng)頭階總截面與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得更好，由此表明了Sudakov效應(yīng)在描述矢量介子產(chǎn)生時(shí)抑制作用的重要性。

圖6 不同Q2下衍射離解過程中J/ψ和?介子產(chǎn)生的總截面隨的變化Fig.6 The total cross section of diffractive dissociative J/ψ and?mesons production as a function ofat different Q2

為了更直觀地顯示出Sudakov效應(yīng)對矢量介子產(chǎn)生的影響，我們計(jì)算了圖3～6中所涉及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的χ2與總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)Np的比值χ2/Np。從Sudakov效應(yīng)修正的散射振幅和領(lǐng)頭階散射振幅計(jì)算所得的χ2/Np結(jié)果分別是1.26和1.87。由此可知，考慮了Sudakov修正所得的χ2/Np更接近于1且遠(yuǎn)小于領(lǐng)頭階的情形，從而再次表明Sudakov修正的偶極子散射振幅能對衍射遍舉和衍射離解過程中的輕、重矢量介子的產(chǎn)生給出較好的描述。

4 結(jié)語

本文首先通過數(shù)值方法求解了LOBK和SSBK演化方程，得到領(lǐng)頭階和Sudakov修正的偶極子散射振幅的數(shù)值形式。然后，基于偶極子模型，采用數(shù)值形式的偶極子散射振幅計(jì)算了衍射遍舉和離解過程中重矢量介子（J/ψ）和輕矢量介子（?）的產(chǎn)生。研究發(fā)現(xiàn)Sudakov效應(yīng)抑制了偶極子散射振幅的演化速度，從而使得次領(lǐng)頭階的散射振幅能夠更好地描述HERA的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，也即考慮到Sudakov抑制后得到χ2/Np更接近于1且遠(yuǎn)小于領(lǐng)頭階的情形，由此表明Sudakov效應(yīng)在矢量介子產(chǎn)生中起著重要的作用。然而，由于HERA能區(qū)的動(dòng)量分?jǐn)?shù)x還未到深度飽和區(qū)域，因此所對應(yīng)的測量結(jié)果還不能確切地甄別矢量介子的產(chǎn)生機(jī)制。在下一步的研究中，我們將Sudakov效應(yīng)推廣到更高能量的EIC能區(qū)，研究其對光子-重核碰撞中的矢量介子產(chǎn)生的影響，相關(guān)結(jié)果能為矢量介子產(chǎn)生的CGC機(jī)制提供進(jìn)一步的理論支持。