王文歡，譚英華，張振宇，周 詳

武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北武漢430072

0 引言

ηc（JPC=0-+）是粲偶素家族中最輕的粒子和最低階的S波自旋單態(tài)。ηc自旋為零，故而它不能通過(guò)正負(fù)電子對(duì)湮滅直接產(chǎn)生。ηc可通過(guò)ψ(3686)和hc的輻射衰變、B介子的衰變及兩光子碰撞過(guò)程等方式獲得［1～5］。ηc質(zhì)量和寬度的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與ηc的產(chǎn)生機(jī)制、衰變產(chǎn)物等都有關(guān)系。截至目前，觀測(cè)到的ηc衰變分支比的總和約為63.5%［6］，尚有大量的ηc衰變過(guò)程未被實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，ηc及其衰變研究充滿挑戰(zhàn)。

ηc位于量子色動(dòng)力學(xué)（quantum chromodynamics，QCD）中能區(qū)，其輻射衰變過(guò)程以電磁過(guò)程為主導(dǎo)，也包含強(qiáng)相互作用的修正效應(yīng)。因此ηc的輻射衰變過(guò)程為人們理解QCD非微擾的本質(zhì)提供了一個(gè)理想的手段。ηc→γγ是目前唯一已觀測(cè)到的ηc輻射衰變過(guò)程。ηc到雙光子過(guò)程的理論研究手段包括微擾QCD框架下的理論計(jì)算與有效場(chǎng)論、非相對(duì)論QCD（nonrelativistic QCD，NRQCD）框架下的各種模型理論、格點(diǎn)QCD等［7～10］。但是ηc→γγ衰變寬度或分支比的理論預(yù)言與當(dāng)前實(shí)驗(yàn)測(cè)量值之間還存在差異，最新的格點(diǎn)QCD結(jié)果在2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)與當(dāng)前實(shí)驗(yàn)測(cè)量的世界平均值保持一致［6，11］。

單達(dá)利茲衰變?chǔ)莄→γl+l-能為研究強(qiáng)子電磁結(jié)構(gòu)提供重要信息［12］。輻射衰變?chǔ)莄→γl+l-可 由ηc→γγ*，γ*→l+l-得到。達(dá)利茲衰變中電磁形狀因子為虛光子四動(dòng)量平方的函數(shù)，而雙光子衰變中電磁形狀因子退化為一個(gè)常數(shù)（即形狀因子在零點(diǎn)處的值）。作為中能區(qū)的輻射輕子對(duì)躍遷，ηc→γl+l-過(guò)程擁有很大的相空間，因而可作為探測(cè)ηc介子的電磁結(jié)構(gòu)、微擾及非微擾QCD效應(yīng)的敏感探針。此外，ηc介子的達(dá)利茲衰變末態(tài)中的光子若為軟光子，該過(guò)程將成為ηc介子雙輕子衰變的本底［13］。ηc→γl+l-的研究有利于ηc介子的雙輕子衰變及其中包含的新物理的探尋。

非相對(duì)論QCD（NRQCD）模型、微擾QCDI（QCD-inspired）、矢量介子主導(dǎo)（vector meson dominance，VMD）模型可以給出ηcγ*γ的電磁形狀因子，進(jìn)而給出ηc→γl+l-過(guò)程的衰變分支比均在10-6數(shù)量級(jí)，其中VMD模型給出的分支比理論預(yù)言較大［12～16］。考慮到中能區(qū)初末態(tài)介子空間波函數(shù)的尺寸效應(yīng)，在粲偶素衰變過(guò)程中一般會(huì)考慮QCD壓低因子（以下簡(jiǎn)稱(chēng)QCD因子）的貢獻(xiàn)［17～20］。贗標(biāo)量粒子的雙光子衰變，例如π0→γγ，σ→γγ，考慮了規(guī)范不變性，并用含四動(dòng)量平方的高斯函數(shù)表征介子波函數(shù)的尺寸效應(yīng)［21］。

本文在有效場(chǎng)理論框架下，在VMD模型基礎(chǔ)上，考慮介子波函數(shù)尺寸效應(yīng)，將規(guī)范不變的QCD因子引入衰變振幅，計(jì)算了ηc→γl+l-單達(dá)利茲衰變對(duì)于ηc→γγ的相對(duì)分支比，并給出末態(tài)中輕子對(duì)l+l-的不變質(zhì)量分布。文章的第1節(jié)介紹了ηc→γl+l-衰變振幅和相對(duì)衰變寬度的計(jì)算。第2節(jié)介紹了VMD模型的形狀因子及QCD因子。第3節(jié)給出了ηc→γl+l-衰變分支比的計(jì)算結(jié)果，并給出了相對(duì)微分衰變寬度隨雙輕子不變質(zhì)量變化的曲線。第4節(jié)為總結(jié)。

1 ηc→γl+l-衰變振幅和寬度

1.1 衰變振幅

稀有輻射衰變?chǔ)莄→γl+l-又稱(chēng)為ηc的單達(dá)利茲衰變，其末態(tài)包括一個(gè)光子和一對(duì)正負(fù)輕子，費(fèi)曼圖及初末態(tài)粒子的四動(dòng)量定義見(jiàn)圖1。根據(jù)洛倫茲不變性、宇稱(chēng)守恒及規(guī)范不變性的要求，ηc→γl+l-的衰變振幅［30］可以表示為

圖1 ηc→γl+l-的費(fèi)曼圖Fig.1 The Feynman diagram ofηc→γl+l-

其中，p+和p-分別是兩個(gè)輕子的四動(dòng)量，p=p++p-是虛光子的四動(dòng)量，k是光子的四動(dòng)量，εμνρσ是全反對(duì)稱(chēng)張量，?是末態(tài)光子的極化矢量，s+和s-分別是兩個(gè)輕子的自旋矢量，F(xiàn)(p2，k2=0)為形狀因子。jμ描述輕子的帶電流。

ηc的單達(dá)利茲衰變過(guò)程與其雙光子過(guò)程的形狀因子形式類(lèi)似，僅動(dòng)量依賴(lài)不同。ηc→γγ的費(fèi)曼圖及初末態(tài)粒子的四動(dòng)量定義見(jiàn)圖2，其衰變振幅［30］可以表示為

圖2 ηc→γγ的費(fèi)曼圖Fig.2 The Feynman diagram ofηc→γγ

其中?1和?2分別是兩個(gè)光子的極化矢量，p0和k0分別是兩個(gè)光子的四動(dòng)量。

其中，e為是荷，θp是l+l-靜止參照系下l+三維動(dòng)量的極角（0≤θp≤π，ηc靜止時(shí)虛光子的飛行方向?yàn)閦軸方向），mηc是ηc的質(zhì)量，ml是輕子的質(zhì)量，s=p2是虛光子四動(dòng)量的平方，βp=

同理，對(duì)末態(tài)光子極化求和得到雙光子衰變振幅的平方為

1.2 衰變寬度

二體和三體衰變的微分寬度公式分別為［6］：

其中A是振幅，p1是末態(tài)粒子1的三維動(dòng)量，dΩ是末態(tài)粒子1的立體角，m是母粒子的質(zhì)量分別是末態(tài)粒子1在末態(tài)粒子1和2靜止坐標(biāo)系下的三維動(dòng)量及立體角，p3是末態(tài)粒子3的三維動(dòng)量，m12是末態(tài)粒子1和2的不變質(zhì)量，dΩ3是末態(tài)粒子3的立體角。

單達(dá)利茲衰變與雙光子衰變的相對(duì)微分衰變寬度可以通過(guò)對(duì)ηc→γl+l-與ηc→γγ的微分寬度的立體角積分并計(jì)算它們的比值得到

2 形狀因子

電磁形狀因子揭示了強(qiáng)子內(nèi)部荷與流的分布信息，對(duì)于研究強(qiáng)子結(jié)構(gòu)及其相互作用非常重要。不同的形狀因子模型將影響躍遷過(guò)程的分支比、末態(tài)粒子的不變質(zhì)量譜及角分布等。強(qiáng)子領(lǐng)域的高精度測(cè)量對(duì)形狀因子的理論研究也提出需求，并有可能甄別不同的理論模型的有效性。

中性輕贗標(biāo)量介子的雙光子形狀因子在理論上已有廣泛的研究，在實(shí)驗(yàn)上也進(jìn)行了大量的測(cè)量［31～35］，而近期美國(guó)費(fèi)米國(guó)家實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行的繆子反常磁矩實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步增強(qiáng)了人們對(duì)該問(wèn)題的研究熱情［36］。唯象理論的VMD模型將局域規(guī)范不變性擴(kuò)展到強(qiáng)子世界，利用矢量介子與光子混合作為媒介子傳遞強(qiáng)子間的電磁相互作用，實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)子類(lèi)點(diǎn)行為偏離的參數(shù)化，在描述贗標(biāo)量介子形狀因子并預(yù)言手征微擾理論的低能常數(shù)上取得了巨大的成功。輕的中性贗標(biāo)量介子的雙光子形狀因子可以被不同VMD模型，如隱規(guī)模型（hidden gauge model，HGM）以及修正VMD模型（modified VMD，MVMD）等來(lái)描述。雙光子衰變和達(dá)利茲衰變的VMD形狀因子滿足其中是VMD因子［30］。矢量介子主導(dǎo)的Pγγ*單極點(diǎn)VMD因子可以表述為［31］

式中，c3=1時(shí)為隱規(guī)模型，c3=0.93時(shí)為修正VMD模型［28］。ΓV(s)是矢量介子V的能量依賴(lài)寬度［31］

其中，gmV是質(zhì)量為mV的矢量介子的衰變寬度，Θ(s-）是階躍函數(shù)，mπ是π介子的質(zhì)量，在輕贗標(biāo)量介子衰變中多采用ρ介子主導(dǎo)的形式。

VMD模型也被推廣到基態(tài)贗標(biāo)量粲偶素ηc的雙光子形狀因子，如文獻(xiàn)［12］采用了介子和ρ介子主導(dǎo)的零寬度雙極點(diǎn)電磁躍遷形狀因子

介子波函數(shù)的尺寸效應(yīng)一般用與四動(dòng)量平方相關(guān)聯(lián)的指數(shù)函數(shù)表示，其表達(dá)式如下［21］

其中ΛQ是尺寸參數(shù)，取值范圍是0.7～1.5 GeV［21］。

不同VMD模型下ηc單達(dá)利茲衰變過(guò)程相對(duì)于雙光子衰變過(guò)程的相對(duì)分支比可通過(guò)將相應(yīng)的形狀因子表達(dá)式代入上式并對(duì)虛光子四動(dòng)量的平方進(jìn)行積分得到。

3 結(jié)果分析

本節(jié)給出有寬度的單極與雙極、隱規(guī)與修正VMD以及考慮QCD因子的不同情況下，ηc→γl+l-過(guò)程相對(duì)于ηc→γγ過(guò)程的衰變分支比，比較不同VMD模型的結(jié)果，并與其他理論結(jié)果作對(duì)比，如表1所示。在數(shù)值計(jì)算中，所有的粒子的質(zhì)量和寬度都來(lái)自于粒子數(shù)據(jù)組（particle data group，PDG）［6］。在其他條件相同的情況下，隱規(guī)模型給出的理論計(jì)算結(jié)果略大于修正VMD模型的計(jì)算結(jié)果，對(duì)于單極點(diǎn)的情況，差別小于2%（表1第6行和第8行），而對(duì)于雙極點(diǎn)的情況差別小于12%（表1第7行和第9行）。單極點(diǎn)計(jì)算結(jié)果（表1中第6行和第8行）與NRQCD及QCDI理論的計(jì)算結(jié)果（表1第1行、第3到5行）比較接近，而有寬度的雙極點(diǎn)結(jié)果（表1第7行，第9行）與文獻(xiàn)［12］中的零寬度雙極點(diǎn)VMD模型結(jié)果（表1第2行）接近。整體上末態(tài)含電子對(duì)的達(dá)利茲過(guò)程，雙極點(diǎn)VMD模型計(jì)算的分支比結(jié)果為單極點(diǎn)VMD模型計(jì)算結(jié)果的2倍左右，而末態(tài)含繆子對(duì)的過(guò)程，雙極點(diǎn)VMD結(jié)果大概為單極點(diǎn)結(jié)果的3～5倍，這是形狀因子中ρ介子極點(diǎn)的貢獻(xiàn)帶來(lái)的顯著區(qū)別。另外，考慮QCD因子會(huì)降低相對(duì)分支比的結(jié)果，對(duì)于含電子對(duì)過(guò)程，QCD因子會(huì)將分支比結(jié)果降低10%到20%，而對(duì)于含繆子對(duì)的過(guò)程會(huì)降低30%到45%。這是因?yàn)镼CD因子對(duì)高動(dòng)量有壓低效應(yīng)。

表1 ηc的達(dá)利茲衰變過(guò)程相對(duì)于雙光子過(guò)程的相對(duì)分支比Table 1 Relative branch ratio of the Dalitz decay process ofηc to the two-photon pr ocess

根據(jù)表1的結(jié)果，本文預(yù)測(cè)了5倍標(biāo)準(zhǔn)偏差（5σ）內(nèi)區(qū)分不同的模型需要的ηc的事例數(shù)，以及需要的、ψ(3686)、hc和B介子事例數(shù)。ηc→γl+l-的遍舉信號(hào)事例數(shù)近似滿足高斯分布，故

本文以ηc→γe+e-為例給出了區(qū)分單極點(diǎn)和雙極點(diǎn)模型以及考慮和不考慮QCD因子所需要的ηc的事例數(shù)以及和B介子母粒子事例數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表2和表3，其中QCD因子中的尺寸參數(shù)ΛQ取1.5 GeV。

表2 單極點(diǎn)和雙極點(diǎn)需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子母粒子事例數(shù)Table 2 The number of cases ofηc,,ψ(3686),hc and B meson needed of single pole and double pole

表2 單極點(diǎn)和雙極點(diǎn)需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子母粒子事例數(shù)Table 2 The number of cases ofηc,,ψ(3686),hc and B meson needed of single pole and double pole

表3 不考慮QCD因子和考慮QCD因子需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子母粒子事例數(shù)Table 3 The number of cases ofηc,,ψ(3686),hc and B meson needed with QCD and no QCD

表3 不考慮QCD因子和考慮QCD因子需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子母粒子事例數(shù)Table 3 The number of cases ofηc,,ψ(3686),hc and B meson needed with QCD and no QCD

ηc→γl+l-相對(duì)雙光子衰變的微分衰變寬度隨末態(tài)粒子中的正負(fù)輕子對(duì)不變質(zhì)量變化譜見(jiàn)圖3～6。單極點(diǎn)VMD條件下，隱規(guī)模型和VMD修正模型對(duì)ηc→γe+e-過(guò)程的微分衰變寬度關(guān)于正負(fù)電子對(duì)不變質(zhì)量譜的預(yù)言幾乎相同，且相對(duì)衰變寬度主要集中在正負(fù)電子對(duì)質(zhì)量譜的低質(zhì)量區(qū)，如圖3所示。雙極點(diǎn)VMD條件下，隱規(guī)模型和VMD修正模型在低能區(qū)性能相同，在ρ介子質(zhì)量附近修正VMD的結(jié)果略小于隱規(guī)模型的結(jié)果，如圖4所示。圖4和圖6顯示在雙極點(diǎn)VMD條件下，在770 MeV附近出現(xiàn)了明顯的峰值，這代表了VMD模型中矢量介子ρ的貢獻(xiàn)。如圖5和圖6所示，ηc→γμ+μ-過(guò)程繆子對(duì)不變質(zhì)量譜在單極點(diǎn)條件下隱規(guī)模型和修正模型也幾乎相同，雙極點(diǎn)條件下隱規(guī)模型的結(jié)果大于修正VMD模型的結(jié)果。雙極點(diǎn)VMD模型下繆子對(duì)不變質(zhì)量分布與單極點(diǎn)情況有非常明顯的區(qū)別，單極點(diǎn)情況下雙輕子不變質(zhì)量分布主要集中在低質(zhì)量區(qū)而雙極點(diǎn)結(jié)果則集中于ρ介子質(zhì)量附近。對(duì)于ηc→γe+e-過(guò)程，由于單極點(diǎn)VMD模型下的雙輕子不變質(zhì)量譜集中在20 MeV以內(nèi)，QCD因子對(duì)不變質(zhì)量譜分布幾乎沒(méi)有影響。但是對(duì)于ηc→γe+e-過(guò)程的雙極點(diǎn)VMD模型和ηc→γμ+μ-過(guò)程，考慮QCD因子后的雙輕子不變質(zhì)量譜被明顯壓低，并且ΛQ的值越小壓低效應(yīng)越明顯。

圖3 單極點(diǎn)VMD模型下ηc→γe+e-過(guò)程的相對(duì)微分寬度隨雙輕子不變質(zhì)量分布圖實(shí)線代表采用隱規(guī)模型的結(jié)果，虛線代表采用修正VMD模型的結(jié)果Fig.3 The distributions of relative differential widths vs dileptonic invariant mass forηc→γe+e-with single pole VMD model The solid lines indicate the results using the hidden gauge model and the dotted lines indicate the results using the modified VMD model;

圖4 雙極點(diǎn)VMD模型下ηc→γe+e-過(guò)程的相對(duì)微分寬度隨雙輕子不變質(zhì)量分布圖（a）及其對(duì)數(shù)形式（b）實(shí)線代表采用隱規(guī)模型的結(jié)果，虛線代表采用修正VMD模型的結(jié)果；RB1=Fig.4 The distributions of relative differential widths vs dileptonic invariant mass(a)and its logarithm form(b)forηc→γe+ewith double pole VMD model The solid lines indicate the results using the hidden gauge model and the dotted lines indicate the results using the modified VMD model;

圖5 單極點(diǎn)VMD模型下ηc→γμ+μ-過(guò)程的相對(duì)微分寬度隨雙輕子不變質(zhì)量分布圖實(shí)線代表采用隱規(guī)模型的結(jié)果，虛線代表采用修正VMD模型的結(jié)果；Fig.5 T he distributions of relative differential widths vs dileptonic invariant mass forηc→γμ+μ-with single pole VMD model The solid lines indicate the results using the hidden gauge model and the dotted lines indicate the results using the modified VMD model;

圖6 雙極點(diǎn)VMD模型下ηc→γμ+μ-過(guò)程的相對(duì)微分寬度隨雙輕子不變質(zhì)量分布圖實(shí)線代表采用隱規(guī)模型的結(jié)果，虛線代表采用修正VMD模型的結(jié)果；Fig.6 The distributions of relative differential widths vs dileptonic invariant mass forηc→γμ+μ-with double pole VMD model The solid lines indicate the results using the hidden gauge model and the dotted lines indicate the results using the modified VMD model;

4 結(jié)語(yǔ)

本文在有效場(chǎng)下，以VMD模型為基礎(chǔ)，考慮了介子波函數(shù)尺寸效應(yīng)并引入QCD因子，研究了ηc的單達(dá)利茲衰變?chǔ)莄→γl+l-過(guò)程；計(jì)算出了不同形狀因子情況下ηc→γl+l-過(guò)程相對(duì)于ηc→γγ過(guò)程的衰變分支比，并給出了雙輕子不變質(zhì)量譜的分布；還以ηc→γe+e-為例，估算了區(qū)分單極點(diǎn)和雙極點(diǎn)以及區(qū)分不考慮QCD因子和考慮QCD因子在實(shí)驗(yàn)上需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子等的事例數(shù)。由于矢量介子極點(diǎn)ρ的貢獻(xiàn)，整體上雙極點(diǎn)VMD模型的預(yù)言明顯大于單極點(diǎn)VMD模型的預(yù)言，單極點(diǎn)與雙極點(diǎn)模型下不變質(zhì)量分布也有著顯著的差別。在其他條件相同的情況下，隱規(guī)模型的結(jié)果略大于修正VMD模型的結(jié)果。由于QCD因子的高動(dòng)量壓低效應(yīng)，考慮QCD因子的結(jié)果明顯小于不考慮QCD因子的結(jié)果，并且ΛQ的值越小壓低效應(yīng)越明顯。BESⅢ、BelleⅡ、LHCb等合作組采集了大量的、ψ(3686)、e+e-碰撞、B介子及雙光子碰撞數(shù)據(jù)有望從實(shí)驗(yàn)上測(cè)量ηc的單達(dá)利茲衰變，我們希望本次研究可以為實(shí)驗(yàn)測(cè)量ηc的單達(dá)利茲衰變提供指導(dǎo)。