一、選擇題

（A）1999.（B）-1999.

（A）負(fù)數(shù).（B）非負(fù)數(shù).

（C）正數(shù).（D）非正數(shù).

3.下面四個(gè)命題中正確的是（）

（A）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角.

（B）和等于180°的兩個(gè)角是互為鄰補(bǔ)角.

（C）連接兩點(diǎn)的最短線是過這兩點(diǎn)的直線.

（D）兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等，則這兩條直線互相垂直.

4.a，b，c三個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖1所示，則（）

5.7-a的倒數(shù)的相反數(shù)是-2，那么a=（）

（A）9.（B）7.5.（C）5.（D）6.5.

（A）68°.（B）78°.（C）88°.（D）98°.

（A）1個(gè).（B）2個(gè).（C）3個(gè).（D）4個(gè).

8.不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘積減去不超過60且個(gè)位數(shù)字為7的所有質(zhì)數(shù)的乘積所得之差的個(gè)位數(shù)字是（）

（A）3.（B）1.（C）7.（D）9.

（A）1.（B）5.（C）8.（D）3.

10.若n是奇自然數(shù)，a₁，a₂，…，a_n是n個(gè)互不相同的負(fù)整數(shù)，則（）

（A）（a₁+1）（a₂+2）…（a_n+n）是正整數(shù).

（B）（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）是正整數(shù).

二、填空題

11.如圖2，線段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么圖中所有線段的長度之和等于________厘米.

13.P是長方形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，M為線段PC的中點(diǎn).如果三角形APB的面積是2平方厘米，則三角形BCM的面積等于________平方厘米.

15.如圖3，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON=50°，∠BOC=10°，則∠AOD=________.

16.三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)a，b，c滿足ab^bc+a=2000，則a+b+c=________.

17.從0，1，2，3，4，56，7，8，9這十個(gè)數(shù)中選出五個(gè)組成五位數(shù)，使得這個(gè)五位數(shù)能被3，5，7，13整除.這樣的五位數(shù)中最大的是________.

18.A、B兩個(gè)港口相距300公里.若甲船順?biāo)訟駛向B，乙船同時(shí)自B逆水駛向A，兩船在C處相遇.若乙船順?biāo)訟駛向B，甲船同時(shí)自B逆水駛向A，則兩船于D處相遇，C、D相距30公里.已知甲船速度為27公里/小時(shí)，則乙船速度是________公里/小時(shí).

20.甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加推鉛球比賽，通過抽簽決定出賽順序.在未公布順序前每人都對(duì)出賽順序進(jìn)行了猜測(cè).甲猜：乙第三，丙第五;乙猜：戊第四，丁第五;丙猜：甲第一，戊第四;丁猜：丙第一，乙第二;戊猜：甲第三，丁第四.老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中，則出賽順序中，第一是________，第三是________，第五是________.

三、解答題

21.一個(gè)長方形如圖4所示恰分成六個(gè)正方形，其中最小的正方形面積是1平方厘米.求這個(gè)長方形的面積.

22.已知一組兩兩不等的四位圖數(shù)，它們的最大公約數(shù)是42，最小公倍數(shù)是90090.問這組四位數(shù)最多能有多少個(gè)？它們的和是多少？

參考答案

一、選擇題

提示

1.根據(jù)相反數(shù)的定義，

選（C）.

2.由絕對(duì)值定義

選（A）.

3.如圖5，∠AOC=∠BOC=90°，但∠AOC與∠BOC不是對(duì)頂角，排除（A）.

如圖6，a∥b，同旁內(nèi)角∠1+∠2=180°，但∠1與∠2并非互為鄰補(bǔ)角，排除（B）.

兩點(diǎn)之間最短距離是連接這兩點(diǎn)的線段，不能表述為過這兩點(diǎn)的直線，排除（C）.因此應(yīng)選（D）.事實(shí)上，（D）正是兩條直線互相垂直的定義.

4.由圖1可見c

所以0

由②知，應(yīng)排除（D）.

所以應(yīng)選（B）.

選（D）.

解得α=78°.

選（B）.

7.由ac<0，可知a≠0，c≠0，a，c符號(hào)相反.

因此a²·ac<0.

即ca³<0.

且c²·ac<0，

即c³a<0.

若a=-1，c=1，ac=-1<0，但

a²·c=1>0.

若a=1，c=-1，ac=-1<0，但

a·c²=1>0.

可見，ac²<0，a²c<0不一定成立.

選（C）.

8.不超過100的所有質(zhì)數(shù)中包含質(zhì)數(shù)2與5，所以不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘積個(gè)位數(shù)字是0.不超過60的個(gè)位數(shù)字是7的質(zhì)數(shù)只有7，17，37，47四個(gè)，其乘積的末位數(shù)字是1，所以，不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘積減去不超過60的個(gè)位數(shù)字為7的所有質(zhì)數(shù)的乘積所得差的個(gè)位數(shù)字為9.

選（D）.

9.①當(dāng)0≤a≤2時(shí)，

②當(dāng)2

③當(dāng)3

=2a-5≤2×4-5=3.

當(dāng)a=4時(shí)，達(dá)到最大值3.

選（B）.

10.a₁，a₂，…，a_n是n個(gè)互不相同的負(fù)整數(shù)，其中n是奇自然數(shù).

若a₁=-1，（a₁+1）=0，則（a₁+1）（a₂+2）…（a_n+n）=0排除（A）.

若a₁=-1，a₂=-2，a₃=-3，…，a_n=-n時(shí)，

（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）

=（-2）（-4）（-6）…（-2n）

=（-1）ⁿ2×4×6×…×（2n）<0

（因?yàn)閚是奇數(shù)）.

故排除（B）.

事實(shí)上，若a₁<0，a₂<0，…，a_n<0，則

因此選（D）.

二、填空題

提示

11.圖7中，

長為1厘米的線段共4條，

長為2厘米的線段共3條，

長為3厘米的線段共2條，

長為4厘米的線段僅1條.

圖7中所有線段長度之和為

1×4+2×3+3×2+4×1=20（厘米）.

相加得2s=1+2+3+4+…+49

又2s=49+48+47+46+…+1

相加得4s=50×49=2450

所以s=612.5

13.根據(jù)題意畫圖，如圖8所示.連接AC交BD于O，則△ABO的面積等于△CBO的面積.△APO的面積等于△CPO的面積.因此，△ABP的面積等于△CBP的面積，所以由△APB面積是2平方厘米，可知△CBP面積是2平方厘米.而BM是△CBP的一條中線，三角形中線平分三角形的面積，所以△BCM的面積等于1平方厘米.

試除知231×230=53130

231×231=53361

231×232=53592

231×233=53823

231×234=54054

可見x=2，y=3.

x²-y²=4-9=-5.

15.如圖9，∠AOD

=∠AOB+∠BOC+∠COD

=2∠MOB+∠BOC+2∠CON

=2（∠MOB+∠BOC+∠CON）-∠BOC

=2∠MON-∠BOC

=2×50°-10°=90°.

16.易知a（b^bc+1）=2000=2⁴×5³

若a=5，則b^bc+1=400，

所以b^bc=399=3×133=3×7×19.

無論c=3、7或19都不能求得質(zhì)數(shù)b，故a≠5.

只能取a=2，此時(shí)b^bc+1=1000.

所以b^bc=999=3³×37，

則b=3，c=37.

因此，a+b+c=2+3+37=42.

17.所求五位數(shù)能被3、5、7、13整除，當(dāng)然也能被3、5、7、13的最小公倍數(shù)整除.即這個(gè)五位數(shù)是3×5×7×13=1365的倍數(shù).

通過除法，可算出五位數(shù)中1365的最大倍數(shù)是73×1365=99645.

但99645的五個(gè)數(shù)碼中有兩個(gè)9，不合題意要求.可依次算出

72×1365=98280（兩個(gè)8重復(fù)，不合要求）.

71×1365=96915（兩個(gè)9重復(fù)，不合要求）.

70×1365=95550（三個(gè)5重復(fù)，不合要求）.

69×1365=94185（五個(gè)數(shù)碼不同）.

因此，所求的五位數(shù)最大的是94185.

18.已知A、B兩港相距300公里，甲船速為27公里/小時(shí).設(shè)乙船速為v公里/小時(shí)，水流速為x公里/小時(shí)，則甲船順?biāo)贋椋?7+x）公里/小時(shí)，逆水速為（27-x）公里/小時(shí).

乙船順?biāo)贋椋╲+x）公里/小時(shí)，

逆水速為（v-x）公里/小時(shí).

甲船自A順?biāo)?，乙船自B逆水同時(shí)相向而行，相遇在C處時(shí)間為

同理，乙船自A順?biāo)?，甲船自B逆水同時(shí)相向而行，相遇在D處所需時(shí)間為

可見，兩個(gè)時(shí)間相等.

10v-270=27+v，

9v=297，v=33（公里/小時(shí)）.

270-10v=27+v，11v=243，

19.由觀察可知，當(dāng)x≥1時(shí)，

4x²-5x+9>0

x²+2x+2>0.

所以，當(dāng)x=1999時(shí)，

原式=4x²-5x+9-4（x²+2x+2）+3x+7

=-13x+9-8+3x+7

=-10x+8，

將x=1999代入，

原式的值=-19990+8=-19982.

20.將每人猜測(cè)的出賽順序列如下表：

由于每人的出賽順序至少被一人猜中，戊被猜測(cè)的兩個(gè)順序號(hào)都是第四，故可確定戊是第四位出賽.這時(shí)丁不能第四位出賽，而丁的順序至少被一人猜中，所以丁應(yīng)第五位出賽.順序推得丙只能第一位出賽，甲第三位出賽，乙第二位出賽.

答：出賽順序第一個(gè)是丙，第三個(gè)是甲，第五個(gè)是丁.

三、解答題

21.圖12中的正方形分別標(biāo)以A，B，C，D，E，F(xiàn)，顯然最小的正方形A的面積是1平方厘米，它的邊長為1厘米.

設(shè)最大正方形B的邊長為x厘米，則C的邊長為（x-1）厘米，D的邊長為（x-2）厘米，E的邊長為（x-3）厘米，F(xiàn)的邊長也為（x- 3）厘米.

根據(jù)矩形對(duì)邊相等，得

2（x-3）+（x-2）=x+（x-1）

即3x-8=2x-1，

所以x=7，（厘米）

于是，C的邊長為6厘米，D的邊長為5厘米，E和F的邊長均為4厘米.

長方形的面積為

（7+6）×（7+4）=13×11=143（平方厘米）.

22.①設(shè)這組四位數(shù)共n個(gè)，分別為

a₁=42x₁，a₂=42x₂，…，a=42x_n.

其中的每個(gè)a_i=42x_i是四位數(shù)，

所以1000≤42x_i<10000

②由題設(shè)知

90090=[a₁，a₂，…，a_n]

=[42x₁，42x₂，…，42x_n]

=42[x₁，x₂，…，x_n]

其中23i<239（*）

可知x_i是由3，5，11，13每個(gè)至多用一次組合成的在23和239之間的自然數(shù)，并且兩兩不同.其中兩個(gè)質(zhì)因數(shù)組合且滿足（*）式者，只有33，39，55，65，143，三個(gè)質(zhì)因數(shù)組合且滿足（*）式者，有165和195，一個(gè)質(zhì)因數(shù)以及多于三個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，都不能滿足（*）式.因此最多產(chǎn)生7個(gè)兩兩不同的四位數(shù)：

a₁=42×33=1386，

a₂=42×39=1638，

a₃=42×55=2310，

a₄=42×65=2730，

a₅=42×143=6006，

a₆=42×165=6930，

a₇=42×195=8190.

它們的和等于

42×（33+39+55+65+143+165+195）

=42×695

=29190.

答：這組兩兩不同的四位數(shù)最多是7個(gè)，它們的和是29190.