周雪

【摘要】矩形是特殊的平行四邊形，它既是平行四邊形的應(yīng)用又是學(xué)習(xí)正方形的基礎(chǔ)，具有至關(guān)重要的作用，探究并證明矩形的判定定理，證明一個四邊形是矩形是中考常見的題目，下面對矩形的三個判定方法進行舉例說明.

【關(guān)鍵詞】矩形;證明

1有一個角為直角的平行四邊形是矩形

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿BC方向平移，得到△DEF.

（1）寫出由條件“△ABC沿BC方向平移，得到△DEF”直接得到的兩個結(jié)論，且至少有一個結(jié)論是線段間的關(guān)系;

（2）判斷四邊形ACFD的形狀，并證明.

分析（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可說明四邊形ACFD是平行四邊形，再根據(jù)∠DFE=∠ACB=90°，即可判定四邊形ACFD是矩形.

解（1）①AD∥BE或AD=BE;

②∠B=∠DEF.（答案不唯一）

（2）四邊形ACFD是矩形.證明如下：

因為△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，

所以AD∥CF，AD=CF，

所以四邊形ACFD是平行四邊形，

因為∠DFE=∠ACB=90°，

所以四邊形ACFD是矩形.

例2如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF.

（1）求證：BD=DC.

（2）若AB=AC時，試證明四邊形AFBD是矩形.

分析（1）由“AAS”可證明，得到

BD=DC;

（2）由AF平行且等于BD，得到四邊形AFBD是平行四邊形，利用等腰三角形三線合一，可知AD⊥BC，即可說明四邊形AFBD是矩形.

證明（1）因為AF∥BC，

所以∠AFE=∠DCE，

因為E是AD的中點，

所以AE=DE，

又因為∠AEF=∠DEC，

所以△AEF≌△DEC（SSA），

所以AF=DC，

因為AF=BD，

所以BD=DC.

（2）因為AB=AC，D是BC的中點，

所以AD⊥BC，

所以∠ADB=90°，

因為AF=BD，AF∥BC，

所以四邊形AFBD是平行四邊形，

又因為∠ADB=90°，

所以四邊形AFBD是矩形.

2對角線相等的平行四邊形是矩形

例3如圖3，已知平行四邊形ABCD，若M，N是BD上兩點，且BM=DN，AC=2MO，求證：四邊形AMCN是矩形.

分析根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得四邊形AMCN是平行四邊形，只需說明MN=AC即可.

證明因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以O(shè)A=OC，OB=OD，

因為BM=DN，

所以O(shè)B-BM=OD-DN，

即OM=ON，

因為OA=OC，

所以四邊形AMCN是平行四邊形，

因為OM=ON，

所以MN=2MO，

因為AC=2MO，

所以MN=AC，

所以四邊形AMCN是矩形.

例4如圖4，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，B交BC于點F.

（1）求證：AC=BE;

（2）若∠AFC=2∠D，連接AC，BE.求證：四邊形ABEC是矩形.

分析（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB=CD，再由CE=DC，可得四邊形ABEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可說明.

（2）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形得到∠ABC=∠D，再由∠AFC=2∠ABC，∠AFC=∠ABC+∠BAF，得到∠BAF=∠ABC，利用等角對等邊得到FA=FB，進而得出AE=BC，即可說明四邊形ABEC是矩形.

證明（1）因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB∥CD，AB=CD，

因為CE=DC，

所以AB∥EC，AB=EC，

所以四邊形ABEC是平行四邊形，

所以AC=BE.

（2）因為四邊形ABEC是平行四邊形，

所以FA=FE，F(xiàn)B=FC，

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以∠ABC=∠D，

因為∠AFC=2∠D，

所以∠AFC=2∠ABC，

因為∠AFC=∠ABC+∠BAF，

所以∠BAF=∠ABC，

所以FA=FB，

所以FA=FE=FB=FC，

所以AE=BC，

所以四邊形ABEC是矩形.

3有三個角是直角的四邊形是矩形

分析根據(jù)垂線的定義得到∠CEB=∠DEB=∠DFB=90°，可說明四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)可得.

證明因為BE⊥CD于點E，

DF⊥AB于點F，

所以∠CEB=∠DEB=∠DFB=90°，

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以CD∥AB，

∠EBF=∠CEB=90°，

因為四邊形DFBE是矩形，

所以BE=DF.

分析利用平行線的性質(zhì)可得∠DAB+∠ADC=180°，再根據(jù)角平分線可得∠FAD+∠FDA=90°，即∠AFD=90°，同理可得∠BHC=∠HEF=90°，即可說明四邊形EFGH是矩形.

證明因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB∥CD，

所以∠DAB+∠ADC=180°，

因為AF，DF分別平分∠DAB，∠ADC，

所以∠DAF+∠FDA=90°，

即∠AFD=90°，

同理可得∠BHC=∠HEF=90°，

所以四邊形EFGH是矩形.