吳潔慧

[摘要]概念課是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一類重要課型，一個單元起始概念的學(xué)習(xí)是整個單元至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié).對于概念課，教師應(yīng)從單元整體視角解析概念的結(jié)構(gòu)，如從定義到表示，從分析到建模，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)，掌握學(xué)習(xí)概念的一般策略，從而提高知識遷移能力，提升思維品質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]單元整體;概念起始課;類比;建構(gòu);表示;建模

2021年10月，筆者參加了浙江省教育廳組織的“百人千場”送教下鄉(xiāng)活動，前往建德新安江一中講解了“認(rèn)識不等式”一課.現(xiàn)以該課為例，談一談初中代數(shù)基于單元整體視角的概念起始課的課堂設(shè)計.

備課過程中的思考

為了更好地開展教學(xué)，筆者先梳理了如下幾個要注意的關(guān)鍵問題.

1.思考1：什么是單元整體教學(xué)？

單元，是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)或課程綱要，圍繞某個主題或者專題、問題開展一系列活動，選擇不同的學(xué)習(xí)素材，并進行結(jié)構(gòu)化組織的學(xué)習(xí)模塊.它具有相對獨立，同時集目標(biāo)、任務(wù)、教學(xué)評價于一體的特征.一般來說，以單元主題為線索，聚焦單元目標(biāo)，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，統(tǒng)籌、設(shè)計相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容、作業(yè)內(nèi)容、評價內(nèi)容等，并保持這些要素之間的和諧統(tǒng)一，開展連續(xù)課時、循序漸進的教學(xué)，就是單元整體教學(xué).

2.思考2：本單元的核心概念是什么？

不等式具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的實際背景，它既是代數(shù)的研究對象，又是刻畫客觀世界的重要數(shù)學(xué)模型，是生活中基本的數(shù)量關(guān)系，還與方程和函數(shù)有著非常緊密的聯(lián)系.本單元的內(nèi)容是方程的延伸，核心概念有不等式的概念及其性質(zhì)，不等式的解集，不等式組的概念和解集.

3.思考3：本單元的學(xué)科思維是什么？

不等式主要研究不等關(guān)系，從內(nèi)容上看，包括不等式和一元一次不等式的基本概念，一元一次不等式的表示、性質(zhì)、解法（程序性知識）和簡單應(yīng)用.教材從大量的實際背景中抽象出不等式的定義和表示，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象，并從研究等式（方程）的方法中類比出研究不等式的基本路徑，最后和方程的應(yīng)用一樣建立數(shù)學(xué)模型去解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)建模思想.本單元還借用了數(shù)軸這一工具，滲透了數(shù)形結(jié)合思想.

4.思考4：本課的教學(xué)目標(biāo)是什么？

單元起始課是學(xué)生體悟單元教學(xué)“大概念”的重要載體，它的教學(xué)過程設(shè)計的依據(jù)是教學(xué)目標(biāo).在單元整體視角下，本課“認(rèn)識不等式”作為單元的起始課、概念課，既要體現(xiàn)等式（方程）的延續(xù)性，又要考慮代數(shù)模型邏輯的一致性，還要對后續(xù)函數(shù)學(xué)習(xí)起到啟示作用.基于等式（方程）的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，類比等式（方程）的學(xué)習(xí)，筆者覺得本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)可以定為如下幾方面.

（1）知識與技能：能夠從現(xiàn)實問題中抽象出不等關(guān)系，并類比等式理解不等式的概念，包括它的定義和三種表示方法.

（2）數(shù)學(xué)思考：經(jīng)歷由具體實例建立不等式模型的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的符號意識，會建立文字語言、符號語言、圖形語言之間的聯(lián)系，體會建模和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

（3）問題解決：利用不等式的圖形語言去解決簡單的現(xiàn)實問題.

（4）情感態(tài)度：通過小組討論、合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識，并讓他們在生生互動中獲得成功體驗.

單元起始概念課教學(xué)設(shè)計

1.單元教學(xué)中“大概念”的把握，需要足夠豐富的教學(xué)情境，并用數(shù)學(xué)的眼光看世界

單元整體教學(xué)是在“大概念”的引領(lǐng)下進行的，數(shù)與代數(shù)的“大概念”是其核心的數(shù)與數(shù)、數(shù)與式、式與式內(nèi)在的聯(lián)系和規(guī)律的高度概括.其中不等式概念的生成需要足夠豐富的情境，既要有生活中的，也要有足夠數(shù)學(xué)味的;既要有代數(shù)方面的，也要有幾何領(lǐng)域的.所以教師要盡可能地提供豐富的數(shù)學(xué)資源，讓學(xué)生找出盡可能多的數(shù)量關(guān)系，從而從“等”的概念、性質(zhì)遷移到“不等”的相關(guān)內(nèi)容.

（活動1：學(xué)生介紹自己的年齡、身高、體重，以及初一時的期末成績.）

問題1：你們能從上面的介紹中找到盡可能多的數(shù)量關(guān)系，并用盡可能多的方式表示這些數(shù)量關(guān)系嗎？

追問1：你們打算怎么表達？

追問2：“≠”表示什么？

教學(xué)解讀我們的生活中總存在相等關(guān)系或不等關(guān)系，于是在數(shù)學(xué)符號里便有了等號和不等號.其中，不等號除了以前學(xué)過的“>、<、≥、≤”，還有一個，那就是“≠”.上述活動能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時導(dǎo)入新課，活躍課堂氣氛.教師通過提問引發(fā)學(xué)生思考，讓他們充分感受生活中既有等量關(guān)系又有不等關(guān)系，從而引出課題.

（活動2：從圖片中找不等關(guān)系.）

問題2：觀察圖1，你能找到哪些與角度或者線段長度有關(guān)的數(shù)量關(guān)系？

教學(xué)解讀新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的課程內(nèi)容要反映社會的需要，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.這幅圖是建德航空小鎮(zhèn)的圖片，既貼近學(xué)生生活，又能引出等量關(guān)系以及不等關(guān)系.上面兩個活動，一個是從代數(shù)的角度出發(fā)，另一個是從幾何的角度出發(fā)，能讓學(xué)生感受到不同背景下都存在等與不等的關(guān)系.在學(xué)生回答問題的時候，教師可以把他們所說的不等式寫在黑板上.特別地，不等式的類型越豐富越好，這能讓學(xué)生加深對不等關(guān)系的感悟.

問題3：你能給上面的關(guān)系分一分類嗎？說一說你的分類標(biāo)準(zhǔn).

教師進一步引導(dǎo)學(xué)生對這些關(guān)系進行分類.在分類中，類比等式的概念能得到不等式的概念，類比等式的研究路徑能得到不等式以及其他代數(shù)概念的研究路徑.

問題4：下列各式，哪些是不等式，哪些不是不等式？

（1）3<2;

（2）x>2x+1;

（3）x-6;

（4）x=2x-5;

（5）a+b≠c;

（6）2x-y≥7;

（7）2021≤2021.

教學(xué)解讀概念的學(xué)習(xí)需要學(xué)生親歷概念的發(fā)生過程.在分類、類比的過程中，學(xué)生能形成不等式的概念，并根據(jù)不等式的定義來判斷式子是否是不等式.對于問題4（7），教師提問2021臆2021是否正確，引發(fā)學(xué)生思考，從而加深他們對不等號的理解.在這里，有些學(xué)生會問“‘≤包括等于的情況，那是不是當(dāng)它取等號時其實是等式”，對此，教師可以講一下嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式，適當(dāng)做拓展.

2.單元教學(xué)中概念的表示，要有足夠豐富的語言翻譯，要用數(shù)學(xué)的語言表達世界

概念的定義和表示，要通過不同的數(shù)學(xué)語言進行表達，包括文字語言、符號語言、圖形語言，教師教學(xué)時要建立這些語言之間的對應(yīng)關(guān)系.學(xué)生應(yīng)掌握這些語言的互相翻譯和轉(zhuǎn)化，這一點始終貫穿整個單元的學(xué)習(xí).

問題5：根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式，并小組討論.你能歸納出列不等式的一般步驟嗎？

（1）a是正數(shù);

（2）y的2倍與6的和比1小;

（3）x²減去10不大于10;

（4）x除以2的商加上2至少為5;

教學(xué)解讀概念的學(xué)習(xí)離不開概念的表示，在將文字語言翻譯為符號語言的過程中，教師要讓學(xué)生感受到不等式概念的兩種語言表示方法.那學(xué)生討論什么呢？他們討論的不僅是步驟，還有問題.比如第（5）小題寫“x≠3”可以，那寫“x-3≠0”行不行？寫“x>3或者x<3”行不行？這些問題的設(shè)計對于單元中后面課時的不等式的求解，都有鋪墊作用.

問題6：你可以在數(shù)軸上表示不等式嗎？歸納其基本步驟.

（1）已知x₁=1，x₂=-2，請在數(shù)軸上標(biāo)出x₁，x₂的位置.

（2）x<1表示怎樣的數(shù)的全體？如何在數(shù)軸上表示？

（3）x≥-2如何在數(shù)軸上表示？

（4）-2

（5）x≥b如何在數(shù)軸上表示？b≤x

教學(xué)解讀不等式概念的表示有三種形式：文字語言、符號語言、圖形語言.通過列舉x<1中的各個數(shù)，能讓學(xué)生討論并歸納出x<1的數(shù)的特征，并提問“是否包括1？”.若學(xué)生認(rèn)為不包括1，那應(yīng)怎樣表示？接著思考x≥-2是否包括-2，進而得出結(jié)論：小于a是數(shù)軸上a的左邊，大于a則是數(shù)軸上a的右邊;當(dāng)包括a時用實心點表示，不包括a時用空心點表示.

第（5）小題的設(shè)計，由數(shù)變成了字母，在這一從特殊到一般的過程中，教師要注意——表示x≥b時，數(shù)軸上沒有標(biāo)原點.最后，教師可帶領(lǐng)學(xué)生回顧不等式的三種表示方法：文字語言→符號語言→圖形語言.并解釋：文字語言比較通俗易懂，圖形語言比較直觀，符號語言則便于記錄和運算，各有優(yōu)勢.在數(shù)學(xué)中，要經(jīng)常進行三種語言之間的轉(zhuǎn)化.

另外，b≤x

3.單元教學(xué)中概念的理解落地，需要直接的應(yīng)用體驗，要用數(shù)學(xué)的思維思考世界

從生活實際入手，最后落回實際問題，要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)的思維方式分析問題、解決問題.在整個單元中，求解不等式的方法有很多，不等式組的解集需要借助數(shù)軸來幫助理解，因此，考慮到單元教學(xué)的整體性和延續(xù)性，我們不妨設(shè)置下面的簡單應(yīng)用.

問題7：你能用我們今天學(xué)過的方法解釋下面的問題嗎？（即課本例題2中水電站的水位問題，請用不等式和數(shù)軸給出解釋.）

教學(xué)解讀教材中本課時的文本引出部分就是水庫水位問題，本例反映了在數(shù)軸上表示不等式的實際應(yīng)用.在前面環(huán)節(jié)的鋪墊下，特別是對問題6中數(shù)軸表示不等式的深入思考，能讓本例的完成達到預(yù)想效果.

4.單元教學(xué)中概念的內(nèi)涵，要有足夠有趣的數(shù)學(xué)文化素材，要用數(shù)學(xué)文化吸引學(xué)生

數(shù)學(xué)文化有悠久的歷史，符號的演變往往經(jīng)歷了一些有趣的過程，介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，往往能更好地吸引學(xué)生的注意，激起他們的興趣，對部分學(xué)生會起到激勵的作用.

在教學(xué)設(shè)計的最后，教師可插入視頻介紹不等式符號的產(chǎn)生歷史，或一些有名的不等式，如柯西不等式、琴生不等式，還可以介紹每四年舉辦一次的國際不等式學(xué)術(shù)會議，以此鼓勵學(xué)生.

教后反思

1.單元整體視角下的起始課，要體現(xiàn)“整體把握，組織建聯(lián)”的作用

我們應(yīng)該遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，一方面帶領(lǐng)學(xué)生回顧已有知識以及已經(jīng)積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，另一方面，給學(xué)生提供新的學(xué)習(xí)資源，讓學(xué)生類比相同的學(xué)習(xí)路徑，建立更完善的知識結(jié)構(gòu)，整體把握知識體系，以便在后面的課時中進行局部研究.在這個架構(gòu)的過程中，學(xué)生要找到概念或者知識之間的聯(lián)系，并找到建立這種聯(lián)系的方法，還要找到模型之間的聯(lián)系，以及利用模型解決問題的共同策略，起始課起到了積極且關(guān)鍵的作用.

在相同的問題中，讓學(xué)生用不同的方式（語言）表達，建立不同語言之間的聯(lián)系，并互相轉(zhuǎn)換、翻譯，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)知識，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu).其不管是在不等式知識的學(xué)習(xí)中，還是在其他代數(shù)知識的學(xué)習(xí)中，甚至是幾何知識的學(xué)習(xí)中，都起著不可估量的作用.

2.單元整體視角下的起始課，要強化學(xué)生的主體地位，要重視教學(xué)的呈現(xiàn)過程

教師的有效引導(dǎo)，能促進學(xué)生的積極思考和思維發(fā)展.豐富的情境可以激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，且追問的過程能讓學(xué)生具有一定的思維深度，特別是列不等式的步驟和用數(shù)軸表示不等式的步驟，其歸納過程能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性.特別地，“問題6”的連續(xù)發(fā)問將圖形語言的發(fā)生過程展現(xiàn)得淋漓盡致，使得學(xué)生自然而然地學(xué)會用數(shù)軸這一工具解決不等式問題，為單元后續(xù)不等式的解的概念及表示做了鋪墊.

3.單元整體視角下的起始課，要重視數(shù)學(xué)思想的滲透，要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

單元起始課要類比，要歸納.類比的不僅僅是知識、技能，更是蘊含其中的思想、方法和研究路徑.歸納的不僅僅是方法、步驟，更是研究事物的一般規(guī)律，解決問題的一般策略.

在教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生學(xué)會使用數(shù)學(xué)語言，學(xué)會將文字信息、符號表達和圖形表征聯(lián)系起來，樹立完整的數(shù)與式觀念，這對大單元的學(xué)習(xí)起著積極的影響.在教學(xué)過程中，教師只有重視研究過程中數(shù)形結(jié)合、類比轉(zhuǎn)化等思想的滲透，才能幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.單元整體視角下的起始課，要改變思維層級，需要更加開放的問題和形式

本節(jié)課如果在最后的拓展問題中能設(shè)置一些更加開放的問題，布置一些更具創(chuàng)造性的任務(wù)，比如讓學(xué)生自主編題，那么會給學(xué)生創(chuàng)造更多的思考空間，對他們形成良好的思維品質(zhì)更有幫助.